重难点01 全等三角形（5种模型）（原卷版）

重难点01全等三角形（5种模型）技巧技巧方法一、倍长中线倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD二、手拉手模型—旋转型全等【基本模型】1、等边三角形手拉手图1图2图3图42、等腰直角三角形手拉手两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图4三、对角互补模型一、双等边类型△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF二、双等腰直角类型△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE四、角平分线+垂直构造全等三角形【模型】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间角平分线+内垂直当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.五、一线三等角模型过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1图2能力拓展能力拓展题型一：倍长中线一、单选题1．（2020·浙江·高照实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是(

)A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．无法确定2．（2021·浙江杭州·八年级阶段练习）在Δ中，是边上的中线，则的取值范围是(

)A． B．C． D．3．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是(

)A． B． C． D．二、填空题4．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是_________．5．（2019·浙江宁波·八年级期中）在ABC中，AB=3，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是_________三、解答题6．（2021·浙江·八年级期末）证明：有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．7．（2019·浙江台州·八年级期末）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．（1）如图1，①若，请直接写出______；②连接，若，求证：；（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．8．（2019·浙江·八年级阶段练习）数学活动课中，老师给出以下问题：(1)如图1，在中，是边的中点，若，，则中线长度的取值范围______.(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、、之间的大小关系，并说明理由.(3)已知：如图3，，且，是线段的中点.求证：.9．（2019·浙江宁波·八年级期中）阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．（1）如图1，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF=∠BAD，求证：BE+DF=EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF=DB．求证：AC-AE=AF．10．（2019·浙江·天台县坦头中学八年级阶段练习）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASAⅡ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【学会运用】如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD．题型二：旋转模型一、单选题1．（2019·浙江杭州·八年级期末）在中，，CD平分，P为AB的中点，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2019·浙江温州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为(

).A．8 B．10 C．4 D．8二、填空题3．（2020·浙江杭州·八年级专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．4．（2020·浙江绍兴·八年级期末）如图，已知在中，于点，为上一点，且，，若，，则______.5．（2020·浙江宁波·八年级期末）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是．三、解答题6．（2020·浙江·临海市杜桥实验中学八年级阶段练习）（1）如图，、、三点共线，，．求证：；（2）如图，在中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积；（3）在中，，，点在上，且，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要是点恰好落在射线上，求点运动的时间．7．（2020·浙江温州·八年级阶段练习）在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2)当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；(3)当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．8．（2020·浙江杭州·八年级专题练习）（2017观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．9．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图①所示，已知中，，，MN是经过点A的直线，，垂足分别为点D、E．（1）求证：；（2）如图②，将MN绕点A旋转，使MN和BC交于G点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE、DB、DE的关系，并证明你的结论．10．（2019·浙江嘉兴·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．11．（2020·浙江省东阳市技术学校（东阳市职业中等专业学校）八年级期末）如图，在11×11的网格纸中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.例如的顶点和点都是格点要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图.若将平移，使点恰好落在平移后得到的的内部或边上，请在方格纸中画出两个符合要求的三角形，画出格点连(或延长)交边于，使，写出点的坐标为_______.12．（2019·浙江省江山市城南中学八年级期中）问题情境：如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的数量关系：

（2）合作交流：城南中学八年级某学习小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．（3）拓展延伸：图（1）中AD和BE存在着怎样的位置关系？在等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转的过程中AD和BE的这种位置关系是否会变化？请结合图（2）说明理由．13．（2019·浙江·台州市书生中学八年级阶段练习）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC．题型三：垂线模型一、单选题1．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(

)A．50 B．44 C．38 D．32二、解答题2．（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．（1）如图1，过点作交于点，求证：；（2）如图2，连结交于点，若，，求证：点为中点．（3）当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______．（直接写出结果）3．（2019·浙江湖州·八年级期中）如图，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连结BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．（1）线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF＝；（2）若AB＝6，AE＝8，求点A到点C的距离．题型四：角平分线+垂直构造全等三角形一．选择题（共2小题）1．（2020秋•鹿城区月考）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2020秋•天桥区期末）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2二．填空题（共2小题）3．（2021秋•新昌县期中）已知△ABC的两条高线所在直线AD，BE交于点H，若BH＝AC．则∠ABC的度数为．4．（2020秋•秀洲区月考）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为cm2．三．解答题（共2小题）5．（2019秋•莲都区期末）已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足，DM⊥AB，DN⊥AC，M、N分别为垂足．求证：DM＝DN．6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝2，E为AC边上一点（不与A，C重合），连结BE，作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，连结EG．分别记∠AEB，∠AGB，∠CEG为∠1，∠2，∠3．（1）AB的长为2（直接给出答案）．（2）当∠1＝∠2时，①求证：BE平分∠ABC．②求△EGC的周长．（3）当∠1＝∠3时，AE的长为（直接给出答案）．题型五：一线三等角模型一．选择题（共2小题）1．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三