人教版七年级数学下册常考点微专题提分精练 专题02 相交线中求角（原卷版+解析）

专题02相交线中求角【例题讲解】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．解：（1），又平分，．，平分，，．（2）平分，平分，，，设，则，故，，则，解得：，故．（3）由（1）知，即．【综合解答】1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3的度数．3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．4．如图，直线，相交于点，，垂足为．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．5．如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB，（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.(1)写出∠COE的邻补角；(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；(3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；8．如图，直线、相交于点，平分，．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度数．9．如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．(1)若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为_________°（直接写出结果）；(2)若∠AOD＋∠COE＝170°，求∠COE的度数．11．如图，直线，相交于点，把分成两部分．（1）直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______．（2）若，且．求的度数．12．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE．（1）若∠BOD＝80°，求∠BOE；（2）若∠BOF＝∠AOC+14°，求∠EOF．13．如图，直线，相交于点，，垂足为．（1）直接写出图中的对顶角为，的邻补角为；（2）若，求的度数．14．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．(1)若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=5∠COE，求∠AOD的度数．专题02相交线中求角【例题讲解】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．解：（1），又平分，．，平分，，．（2）平分，平分，，，设，则，故，，则，解得：，故．（3）由（1）知，即．【综合解答】1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；(2)若，且=2：3，求的度数.【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．【详解】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，故答案为∠BOD，∠AOE；（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠BOE：∠EOD=2：3，∴∠BOE=×70°=28°，∴∠AOE=180°-28°=152°．∴∠AOE的度数为152°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3的度数．【答案】∠3=52.5°【详解】试题分析：先求出∠EOD的度数，从而得出∠COF=105°，再根据OG平分∠COF，可得∠3的度数．试题解析：∵∠1=30°，∠2=45°∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°∴∠COF=∠EOD=105°又∵OG平分∠COF，∴∠3=∠COF=52.5°．考点：对顶角、邻补角．3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；(2)∠EOF＝60°【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数．（1）解：OF⊥OD，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°，∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC＝×180°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．4．如图，直线，相交于点，，垂足为．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．【答案】（1）125°；（2）150°【分析】(1)把的度数计算出来，再根据对顶角的性质即可得到答案；(2)根据，设，得到，最后根据即可得到答案；【详解】解：（1），，；（2），设，又，，，又，，．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）和邻补角的性质，熟练掌握邻补角的性质和对顶角的性质是解题的关键．5．如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB，（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．【答案】（1）90°；（2）∠AOC＝60°；∠MOD＝150°.【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得∠2+∠AOC＝90°，利用邻补角互补可得答案；（2）根据条件可得90°+∠1＝4∠1，进而可得求出∠1＝30°，从而可得∠AOC的度数，再利用邻补角互补可得∠MOD的度数．【详解】（1）∵OM平分∠AOB，∴∠1+∠AOC＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，∴∠NOD＝180°﹣90°＝90°；（2）∵∠BOC＝4∠1，∴90°+∠1＝4∠1，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°﹣30°＝150°．【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，关键是掌握邻补角互补．6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.(1)写出∠COE的邻补角；(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；(3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．【答案】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠FOC=150°．【分析】（1）根据邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角）可得，∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD两个角；（2）根据对顶角的定义（一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点）可得，∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）由∠BOF=90°可得：AB⊥EF，所以∠AOF=90°，由∠AOC=∠BOD可得：∠AOC=60°，由∠FOC=∠AOF+∠AOC即可求出∠FOC的度数；【详解】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∵∠BOF=90°，∴AB⊥EF∴∠AOF=90°，又∵∠AOC=∠BOD=60°∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；【答案】(1)∠BOF=33°(2)∠AOC=72°【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．（2）利用角平分的定义得出，进而表示出各角求出答案．【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°∴∠COE=142°，∵OF平分∠COE．∴∠EOF=∠COE=71°，又∠BOE+∠BOF=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴，∴设，则，故，，则，解得，故∠AOC=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．8．如图，直线、相交于点，平分，．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．【详解】(1)∵∠COF与∠DOF是邻补角，∴∠COF=180°−∠DOF=90°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOC=90°−∠AOF=90°−50°=40°．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠COB=180°−∠AOC=180°−40°=140°．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=70°；(2)∠BOD:∠BOE=1:4，设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°．【点睛】此题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定义．9．如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．【答案】∠3=54°

∠4=72°【详解】试题分析：本题首先根据方程思想，求出.∠1、∠2的度数，再根据对顶角、邻补角的关系求出∠3与∠4的度数．试题解析：由已知∠1=∠2，∠1+∠2=162°，解得：∠1=54°，∠2=108°．∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=54°．∵∠2与∠4是邻补角，∴∠4=180°﹣∠2=72°．考点：1二元一次方程组;2对顶角;3邻补角.10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．(1)若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为_________°（直接写出结果）；(2)若∠AOD＋∠COE＝170°，求∠COE的度数．【答案】(1)125(2)40°【分析】（1）先根据两角互余求出∠AOC的度数，再利用邻补角即可求出∠AOD的度数；（2）设，则，再利用周角列出方程，解出的值之后再利用互余即可求出∠COE的度数．（1）解：∵∠COE＝35°，EO⊥AB，∴，∴．又∵∠AOD是∠AOC的邻补角，∴．（2）解：设，则，∴，即，解得．∴．【点睛】本题考查了两角互余的关系和邻补角以及周角，解题的关键是熟练掌握互余、互补的概念和对顶角相等以及周角为，互余是指两角之和为90°，互补是指两角之和为180°，并且熟知两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．11．如图，直线，相交于点，把分成两部分．（1）直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______．（2）若，且．求的度数．【答案】（1），；（2）126゜【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE和∠EOD的度数，即可求出∠EOC的度数．【详解】解：（1）的对顶角为，的邻补角为．（2）∵∠BOE：∠EOD=2：3，设，，则解得：．∴．∴．【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE．（1）若∠BOD＝80°，求∠BOE；（2）若∠BOF＝∠AOC+14°，求∠EOF．【答案】（1）150°；（2）78°【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据邻补角，可得答案；（2）根据角平分线的性质，可得∠BOE，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据邻补角的关系，可得关于∠AOC的方程，根据角的和差，可得∠BOE，根据角平分线的性质，可得答案．【详解】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝80°，∵OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，∴∠AOE＝∠AOC×＝30°，由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣30°＝150°，（2）∵OF平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠BOF＝2∠AOC+28°，∵∠AOE：∠EOC＝3：5，∴∠AOE＝∠AOC，由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即2∠AOC+28°+∠AOC＝180°，解得∠AOC＝64°，∠AOE＝∠AOC＝×64＝24°，由角的和差，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣24°＝156°，∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠BOE＝×156°＝78°．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和角平分线的定义以及角的和差倍分关系，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和角的和差倍分关系．13．如图，直线，相交于点，，垂足为．（1）直接写出图中的对顶角为，的邻补角为；（2）若，求的度数．【答案】（1）；,；（2）150°【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义寻找对顶角和邻补角即可；（2）设∠BOD=x，则∠COE=2x，再根据∠BOD与∠COE互余可求得x的值，从而得出∠AOC的大小，进而得出∠AOD的大小．【详解】（1）∠AOC的对顶角为：∠BOD∠BOD的邻补角为：∠BOC，∠AOD（2）∵设∠BOD=x，则∠COE=2x∵OE⊥AB∴∠EOB=90°∴∠COE+∠BOD=90°，即x+2x=90°解得：x=30°∴∠BOD=∠COA=30°∴∠AOD=150°【点睛】本题考查角度的简单推导，解题关键是利用对顶角相等和补角为180°转化求解．14．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．(1)若∠BOD＝∠COD，求∠BON的度数；(2)若∠AO