浙江省衢州市旅游学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

-2024学年浙江省衢州市旅游学校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共11小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝（）A．{2} B．{2，3} C．{1，2} D．∅2．（2分）“x＞9”是“x2＞81”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2分）函数的定义域为（）A．[﹣1，0）∪（0，1] B．[﹣1，1] C．（0，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）4．（2分）已知点A（1，2），B（4，1），则＝（）A．（2，﹣3） B．（﹣6，2） C．（10，6） D．（6，﹣2）5．（2分）若x2sinα+y2cosα＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2分）已知，则sinθ＝（）A．或﹣ B． C．﹣ D．或﹣7．（2分）抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．8．（2分）方程+＝10所表示的曲线为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线9．（2分）过点P（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是（）A．3x﹣2y+2＝0 B．2x+3y+7＝0 C．3x﹣2y﹣12＝0 D．2x+3y+1＝010．（2分）直线y＝x+1与椭圆2x2+y2＝2相交，所截得的弦长为（）A． B． C． D．311．（2分）F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，点A的坐标是（3，2），当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标是（）A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（2，2） D．（﹣2，2）二、填空题（本大题共6小题，每小题4.0分，共24分）12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝.13．（4分）已知函数，则该函数的定义域为．14．（4分）已知x＞2，则的最小值为．15．（4分）若圆锥的底面周长为4π，高为3，则圆锥的体积为．16．（4分）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则PB＝.17．（4分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为.三、解答题（本大题共6小题，共52分。）解答题应写出文字说明及演算步骤18．（7分）计算：．19．（8分）已知角α的终边上有一点P（4，3），求：（1）；（2）sin2α﹣cos2α．20．（8分）已知圆心为（0，2）的圆与直线x+y+4＝0相切．（1）求圆的标准方程；（2）求x轴被圆所截得的弦长．21．（8分）张大爷要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上搭建花园的一边靠墙，另一边用总长为40m的栅栏围成如图形状．（1）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时长方形边BC的长；若不能，请说明理由；（2）长方形的边BC长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？22．（9分）若椭圆的焦距为2，离心率为，斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆与A，B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求|AB|的值．23．（12分）已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线l过其焦点F，且与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求直线l的方程；（2）求△AOB的面积S；（3）有（2）判断：当直线斜率k为何值时△ABC的面积S有最大值；直线斜率k为何值时△ABC的面积S有最小值．2023-2024学年浙江省衢州市旅游学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共11小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，∴A∩B＝{2}．故选：A．2．【答案】B【解答】解：∵x2＞81，∴x＞9或x＜﹣9，∴“x＞9”能够推出“x2＞81”，“x2＞81”不能推出“x＞9”，∴“x＞9”是“x2＞81”充分不必要条件，故选：B．3．【答案】A【解答】解：∵函数有意义，∴1﹣x2≥0且x≠0，∴﹣1≤x＜0或x＜x≤1，故选：A．4．【答案】D【解答】解：由题意得，＝（3，﹣1），∴＝（6，﹣2），故选：D。5．【答案】D【解答】解：依题意，，则α在第四象限．故选：D．6．【答案】A【解答】解：∵，∴cosθ＝，∴sinθ＝＝±，故选：A．7．【答案】C【解答】解：将抛物线化为标准方程为，则其焦点坐标为．故选：C．8．【答案】B【解答】解：方程+＝10表示点P（x，y）到定点F1（﹣3，0）和F2（3，0）的距离之和为定值10，10＞|F1F2|＝6，所以点P（x，y）的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，故选：B。9．【答案】D【解答】解：设与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是2x+3y﹣C＝0，∵该直线方程过P（1，﹣1），∴2﹣3﹣C＝0，∴C＝﹣1，∴过点P（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是2x+3y+1＝0，故选：D．10．【答案】B【解答】解：∵y＝x+1，2x2+y2＝2，∴3x2+2x﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴直线y＝x+1与椭圆2x2+y2＝2相交，所截得的弦长为＝＝，故选：B．11．【答案】C【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+＝，此时yP＝2，xP＝2，即P（2，2）．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4.0分，共24分）12．【答案】8.【解答】解：f[f（﹣2）]＝f（5）＝5+3＝8.故答案为：8.13．【答案】{x|x＝+kπ，k∈Z}．【解答】解：∵函数有意义，∴sin2x﹣1≥0，∴2x＝+2kπ，k∈Z，∴x＝+kπ，k∈Z，∴函数的定义域为{x|x＝+kπ，k∈Z}，故答案为：{x|x＝+kπ，k∈Z}．14．【答案】4．【解答】解：∵x＞2，∴＝﹣2+2≥2+2＝4，当且仅当x＝3时取等号，故答案为：4．15．【答案】4π．【解答】解：∵圆锥的底面周长为4π，∴圆锥的底面半径为＝2，∴圆锥的体积为＝4π，故答案为：4π．16．【答案】。【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接并延长PO交平面A′B′C′D′于点O′，连接O′B′，具体如下图所示，∵几何体上层为正四棱锥，∴O′是正四棱锥底面A′B′C′D′的中心，∵正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，∴OB＝O′B′＝，∴PO′＝＝，∴PO＝PO′+OO′＝，∴PB＝＝＝，故答案为：。17．【答案】.【解答】解：因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以b＝a，所以c＝＝a，所以e＝＝，故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共52分。）解答题应写出文字说明及演算步骤18．【答案】11．【解答】解：＝3﹣1﹣1+9+1＝11．19．【答案】（1）；（2）﹣．【解答】解：（1）∵角α的终边上有一点P（4，3），∴cosα＝＝，sinα＝＝，∴＝＝＝；（2）sin2α﹣cos2α＝﹣＝﹣．20．【答案】（1）圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18；（2）圆与x轴的交点为（﹣，0）和（，0），弦长为2．【解答】解：（1）∵（0，2）到直线x+y+4＝0的距离d＝＝3，∴圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18；（2）∵圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18，圆与x轴相交时纵坐标为0，∴x2+（0﹣2）2＝18，∴x2＝18﹣4＝14，∴x＝，∴圆与x轴的交点为（﹣，0）和（，0），弦长为2．21．【答案】（1）花园面积不能达到200m2；（2）长方形的边BC长是15米，花园面积最大，最大面积是187.5m2．【解答】解：（1）设栅栏宽BC为xm，长为（40﹣x）m，则花园面积y＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x（0＜x≤15），∵﹣x2+20x＝200，∴x＝20，∵0＜x≤15，∴花园面积不能达到200m2；（2）∵y＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x二次项系数为负，对称轴为x＝20，∴当x＝15时，y取得最大值，∵当x＝15时，y＝﹣×152+20×15＝187.5m2，∴长方形的边BC长是15米，花园面积最大，最大面积是187.5m2．22．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）．【解答】解：（1）根据题意设椭圆的标准方程为，∵椭圆的焦距为2，离心率为，∴2c＝2，，∴c＝1，a＝，∴椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的标准方程为，∴椭圆的左焦点为（﹣1，0），∴过椭圆的左焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x+1，∵y＝x+1，，∴3x2+4x＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝0，∴|AB|＝＝．23．【答案】（1）kx﹣y+1＝0；（2）2；（3）无论k取何值，面积S无最大值，当k＝0时，S＝2为最小值．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点F