内蒙古包头市第一机械制造有限公司第一中学2023-2024学年数学高一下期末预测试题含解析

内蒙古包头市第一机械制造有限公司第一中学2023-2024学年数学高一下期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A． B． C． D．2．已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则（）A．8 B．16 C．32 D．643．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．－4 B． C． D．4．的值为（）A．1 B． C． D．5．在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．设，则的大小关系为（）A． B． C． D．7．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A． B．C． D．8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C9．函数的最小值为（）A． B． C． D．10．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（）A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．12．在等腰中，为底边的中点，为的中点，直线与边交于点，若，则___________．13．已知三棱锥的外接球的球心恰好是线段的中点，且，则三棱锥的体积为__________.14．数列满足：，，的前项和记为，若，则实数的取值范围是________15．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.16．已知数列的前n项和，则___________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，当时，比较和的大小．18．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).(1)若向量与向量垂直，求；(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.19．设是正项等比数列的前项和，已知，（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列的前项和.20．已知函数．（I）求的最小正周期；（II）求在上的最大值与最小值．21．如图，在四边形中，已知，，，，设．（1）求（用表示）；（2）求的最小值.（结果精确到米）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.2、B【解析】

先由数列前9项的乘积为1，结合等比数列的性质得到，从而可求出结果.【详解】由已知，又，所以，即，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.3、A【解析】

由奇函数的性质可得:即可求出【详解】因为是定义在上的奇函数，所以又因为当时，，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。2、在定义域上满足。3、若定义域包含0，一定有。4、A【解析】

利用诱导公式将转化到，然后直接计算出结果即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查正切诱导公式的简单运用，难度较易.注意：.5、D【解析】

根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的解的个数，于此可得出正确选项.【详解】对于A选项，，，此时，无解；对于B选项，，，此时，有两解；对于C选项，，则为最大角，由于，此时，无解；对于D选项，，且，此时，有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.6、B【解析】

不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．7、A【解析】

在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为,然后根据圆过点B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圆的方程.【详解】因为,又因为圆心为C（6，5）,所以所求圆的方程为,因为此圆过点B（3，6），所以,所以，因而所求圆的方程为.考点：圆的标准方程.8、B【解析】

由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题BA，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选：B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题9、D【解析】

令，即有，则，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件.【详解】令，即有，则，当且仅当，即时，取得最小值.故选：【点睛】本题考查基本不等式，配凑法求解，属于基础题.10、A【解析】

根据对立事件的定义判断．【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：画出图像，根据几何概型公式得到答案.【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）则相见需要满足：画出图像：根据几何概型公式：【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.12、；【解析】

题中已知等腰中，为底边的中点，不妨于为轴，垂直平分线为轴建立直角坐标系，这样，我们能求出点坐标，根据直线与求出交点，求向量的数量积即可.【详解】如上图，建立直角坐标系，我们可以得出直线，联立方程求出,,即填写【点睛】本题中因为已知底边及高的长度，所有我们建立直角坐标系，求出相应点坐标，而作为F点的坐标我们可以通过直线交点求出，把向量数量积通过向量坐标运算来的更加直观.13、【解析】

根据题意得出平面后，由计算可得答案.【详解】因为三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，所以和都是直角三角形，又因为，所以，，又，则平面.因为，所以三角形为边长是的等边三角形，所以.故答案为：【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥与球的组合，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.14、【解析】

因为数列有极限,故考虑的情况.又数列分两组,故分组求和求极限即可.【详解】因为,故,且,故,又,即.综上有.故答案为：【点睛】本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型.15、【解析】

根据三角函数图象依次求得的值.【详解】由图象可知，，所以，故，将点代入上式得，因为，所以.故.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.16、17【解析】

根据所给的通项公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【详解】数列的前n项和，则，而，，所以，则，故答案为：.【点睛】本题考查了数列前n项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）得，利用等差数列的求和公式可得；（3）分别求得和，作差比较即可得到大小关系．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，化简得①．由，得，得②．由①②解得：，，则．则数列的通项公式为．（2）由（1）得，①当时，，；②当且时，，两式作差得：有：有：有：得由上知．（3）由（1）得由，由（2）得当时，，令．则．由，有，得，故单调递增．又由，故，可得．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，也考查了错位相减法求数列的和，分类讨论思想和作差比较大小的问题，属于中档题．18、（1）10或2；（2）.【解析】

(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.【详解】(1)由题意，平面向量，，由向量与向量垂直，则，解得或，当时，，则，所；当时，，则，所，(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，即且，解得，且，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.19、(1)；(2)【解析】

（1）设正项等比数列的公比为，当时，可验证出，可知；根据可构造方程求得，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设正项等比数列的公比为当时，，解得：，不合题意由得：，又整理得：，即，解得：（2）由（1）得：…①则…②①②得：【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和；关键是能够得到数列的通项公式后，根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计算和求解能力有一定要求.20、（I）；（II）3，.【解析】

（I）利用降次公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期.（II）根据函数的解析式，以及的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得在区间上的最大值与最小值.【详解】（I）的最小正周期．（Ⅱ），．【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题.21、（1）；（2）米【解析】

（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表达式；（2