2024高考物理复习：功和能(学生版)

第五章功和能第一节功

基础学问一、功的概念

1、定义：力和力的作用点通过位移的乘积.

2.做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移

3、公式：W=FScosa（a为F与s的夹角）.

说明：恒力做功大小只与F、s、a这三个量有关.与物体是否还受其他力、物体运动的速度、

加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关.

4.单位：焦耳（J）1J=1N-m.

5.物理意义：表示力在空间上的积累效应，是能的转化的量度

6.功是标量，没有方向，但是有正负.正功表示动力做功，负功表示阻力做功，功的正负表

示能的转移方向.

①当0Wa<90°时W>0,力对物体做正功；

②当a=90°时W=0,力对物体不做功；

③当90°<aW180°时W<0,力对物体做负功或说成物脚体克服这个力做功，这两种说法是

从二个角度来描述同一个问题.

二、留意的几个问题

①F：当F是恒力时，我们可用公式W=FscosO运算；当F大小不变而方向变更时，分段求力

做的功；当F的方向不变而大小变更时，不能用W=Fscos6公式运算（因数学学问的缘由）,

我们只能用动能定理求力做的功.

②S：是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移来表述时，在很多问题上学生往往会产生

一些错觉，在后面的练习中会相识到这一点，另外位移S应当弄清是相对哪一个参照物的

位移

③功是过程量：即做功必定对应一个过程（位移），应明确是哪个力在哪一过程中的功.

④什么力做功：在探讨问题时，必需弄明白是什么力做的功.如图所示，在

力F作用下物体匀速通过位移S则力做功FScos6,重力做功为零，支持力

做功为零，摩擦力做功一Fscos6,合外力做功为零.

例1.如图所示，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S,则力F做的功为

例2.如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放（绳起先时拉直），则在两球向左下

摇摆时.下列说法正确的是（

A、绳子0A对A球做正功

B、绳子AB对B球不做功

C、绳子AB对A球做负功

D、绳子AB对B球做正功

扩展与探讨：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，推断的方法是：①看力与位移之间

夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB的拉力与

B球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB的拉力与A球的速度方

向就是钝角。为直角时，力对物体不做功，上例中0A与A球的拉力与A球速度方向就是直角。

②看物体间是否有能量转化。若有能量转化，则必定有力做功。此法常用于相连的物体做曲

线运动的情况。

练习1：如图所示，一辆小车静止在光滑水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上，由图

中位置无初速释放，则在小球下摆过程中，绳的拉力（）

A、对小球不做功B、对小球做正功

C、对小球做负功D、对小车做正功

规律方法1、恒力功的计算方法

1.由公式W=Fscosa求解

两种处理方法:

①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosa,即将物体的位移分解为沿F方向上

和垂直F方向上的两个分位移si和S2,则F做的功W=Fsi=Fscosa.

②W等于力F在位移s方向上的分力Feosa乘以物体的位移s,即将力F分解为沿s方向和垂

直s方向的两个分力Fi和F2,则F做功W=Fis=Fcosas.

留意：这种方法只能用来计算恒力做功（轨迹可以是直线也可以是曲线）

例3.如图所示，质量为m的物体，静止在倾角为a的粗糙的斜面体上，当两加仑

者一起向右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？L

物体m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面对物体m做功多少？/|

2、多个力的总功求解

①用平行四边形定则求出合外力，再依据w=F台scosa计算功.留意a应是合外力与位移

s间的夹角.

②分别求各个外力的功：Wi=Fiscosa1;W2=F2SCOSa2...再求各个外力功的代数和.

例4.物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力F】，经ts后撤去Fi,马上再对

它施一水平向左的恒力心,又经ts后物体回到原动身点，在这一点过程中，&、Fz分别对

物体做的功用、W?间的关系是（）

A.Wi=W2；B.W2=2WI；C.W2=3WI；D.W2=5WI；

拓展：若该物体回到动身点时的动能为32J,则b、Fz分别对物体做的功％、W?是多少？

3、变力做功问题

①W=F・scosa是用来计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力,

再用W=Fscosa计算.

例5.如图19-B-2所示，用恒力尸拉绳，使物体沿水平地面从A点移动/

到B点，AB=s图中a£已知（绳不行伸长；不计绳滑轮质量和滑轮摩擦）//

求尸对物体做的功。

图19-B-2

②有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它

们的功与路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空

气阻力等，在曲线运动或来回运动时，这类力（大小不变）的功等于力和路程（不是位移）

的积.

例6.以肯定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为力，空气阻力的大小恒

为凡则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）

A..零B.-FhC.FhD.-2Fh

③依据功和能关系求变力的功.如依据势能的变更求对应的力做的功，依据动能定理求变力

做的功，等等.

④依据功率恒定，求变力的功，归Pt.

⑤求出变力F对位移的平均力来计算，当变力F是位移s的线性函数时，

平均力尸=91.

27

例7、如图3所示，在光滑的水平面上，劲度系数为k的弹簧左端固定Q

在竖直墙上，右端系着一小球，弹簧处于自然状态时，小球位于。点，

今用外力压缩弹簧，使其形变量为x,当撤去外力后，求小球到达。点图3

时弹簧的弹力所做的功。

⑥作出变力F随位移，变更的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功.

量为：

例8.（08宁夏理综18）一滑块在水平地面上沿直

线滑行,t=0时其速度为1m/s.从今刻起先滑块

运动方向上再施加一水平面作用力F,力F和滑

块的速度v随时间的变更规律分别如图a和图

b所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内

力F对滑块做的功分别为也、W,、W3,则以下关

系式正确的是（）A.Wi=W2=W3B.Wi<W2<W3C.Wi<W3<W2D.Wi=W2<W3

4、作用力和反作用力的做功

作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做

正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就肯定有作用力、

反作用力的功数值相等，一正一负.所以作用力与反作用力做功不肯定相等，但冲量的大小

相等.

例9.以下说法正确的是（）

A.摩擦力可以对物体做正功B.摩擦力可以使物体的速度发生变更，但对物体不做功

C.作用力与反作用力做功肯定相等D.一对平衡力做功之和为零

5.摩擦力的做功

A、静摩擦力做功的特点

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用）,

而没有机械能转化为其他形式的能.

（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

B.滑动摩擦力做功的特点

如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V。从木板的左端

滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S,小木块相对木板滑动了d,则

由动能定理知：

滑动摩擦力对木块所做功为：W木块=-f(d+S)①

滑动摩擦力对木板所做功为：W木板=fs②

所以，木块动能增量为：AEK木块=-f(d+s)……③

木板动能增量为：AEK木板=fs.....④

由③④得：......⑤

⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的削减量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的

乘积。这部分削减的能量转化为内能。

故滑动摩擦力做功有以下特点:

1)滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

2)一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能

的转移；二是机械能转化为内能。转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

3)滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或来回运动时等于力和路程

(不是位移)的乘积

例10.如图所示，半径为R的孔径匀称的圆形弯管水平放置，小球在管内以

足够大的初速度V。在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为N,

设从起先运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功

A

分别为Wi和W2,在这一周内摩擦力做的总功为W3,则下列关系式正确的是图5-6

()

A.Wi>W2B.Wi=W2C.W3=0D.W3=WI+W2

例11.如图所示，PQ是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m的小

木块N从靠近P以肯定的初速度向Q运动，已知物块与桌面间的动摩

擦因数为口，P与Q相距为s,物块与Q板碰撞n次后，最终静止于PQ

的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？(n为自然数)

扩展与探讨：两类不同的力，一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等,

它们的功与路程无关系，只与位移有关。另一类是滑动摩擦力，空气阻力等，这类力做功与

物体的运动路径有关。在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变更，可转化为恒力做功,

同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必需牢记。

点评：求功的思路共有四条：(1)由功的定义.恒力做功；(2)由能量关系求解；(3)由功

率的定义；(4)由动能定理求解.

课后作业

1.探讨力F在下列几种状况下做功的多少.

(1)用水平推力F推质量是m的物体在光滑水平面上前进了s.

(2)用水平推力F推质量为2m的物体沿动摩擦因数为口的水平面前进了s.

(3)斜面倾角为。，与斜面平行的推力F,推一个质量为2m的物体沿光滑斜面对上推动了

s.()

A.(3)做功最多B.(2)做功最多C.做功相等D.不能确定

2.如图4TT0所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的质量也相等.在甲

甲乙

图4-1-10

图用力瑞拉物体，在乙图用力尸2推物体，夹角均为。，两个物体都做匀速直线运动，通过相

同的位移.设乙和心对物体所做的功为“和%，物体克服摩擦力做的功为*和*,下面哪组表

示式是正确的（）

7

A.W1=W2,H1=W2B./<w2,W<w2

7

C.>Vl>2,w1<w2D.w1<w2,H1>W2

2.如图19-B-3,物体以肯定的初速度沿水平面,由4点滑到6点,

摩擦力做功为心若该物体从k沿两斜面滑到B。摩擦力做功为例,

已知物体与各接触面的滑动摩擦系数均相同，贝h（）

A.W>=W2B.Wi>W2C.跖〈跖D.不能确定

3.（93年全国高考题）小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的图19-B-3

水平面上，如图19-AT,从地面上看在物块沿斜面下滑的过程中，

斜面对物块的作用力（）

A.垂直于继承面，做功为零

B.垂直于接触面，做功不为零

C.不垂直于接触面，做功为零

D.不垂直于接触面，做功不为零

19-A-1

（由于运动具有相对性，所以要留意物块相对地面的位移的方向。）

4.关于摩擦力对物体做功，说法正确的是（)

A.滑动摩擦力总是做负功

B.滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功

c.静摩擦力对物体肯定做负功

D.静摩擦力对物体总是做正功

5.如图19-A-4所示，电梯与水平地面成。角，一人站在电梯上，电梯从

静止起先匀加速上升，到达肯定速度后再匀速上升.若以及表示水平梯板

对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是（）

A.加速过程中存0,f、N、G都做功

B.加速过程中f#0,N不做功

C.加速过程中f=0,N、G都做功

D.匀速过程中f=0,N、G都不做功

（该题综合考查牛顿运动定律和功的学问）

6.如图19-B-4所示，木块/放在木块6的左上端，用恒力厂将/拉至

6的右端，第一次将6固定在地面上，尸做的功为例其次次让6可以在

光滑地面上自由滑动，尸做的功为例，比较两次做功，应有：（）

C.D.无法比较

A.W1<W2B.W1=W2.WJ>W2

7.如图19-B-5所示，站在汽车的人用手推车的力为尸，脚对车向后的

摩擦力为£当车向前运动时以下说法正确的是（）

A.当车匀速运动时，尸和f对车做功的代数和为零

B.当车加速运动时，尸和f对车做的总功为负功

C.当车减速运动时，尸和f对车做的总功为正功图19-B-5

D.不管车做何种运动，户和？对车做功的总功率都为零B

8.一个倾斜放置的皮带运输机工作稳定后，将一物体加缓慢放在

m

A

a

运动的皮带上，最终物体由/位置移到6位置（如图19-B-7）。在这段过程中，物体所受各力

中：（）

A.只有摩擦力做正功B.摩擦力肯定做负功

C.重力肯定做正功D.重力肯定做负功

其次节功率

基础学问

一、功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢.

二、单位：瓦（w）,千瓦（kw）；

三、功率是标量

四、公式:P=W/t=Fv

1.P=W/t所求的是这段时间内平均功率.

2.P=Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率.

3.P=Fv应用时，F、v必需同向，否则应分解F或v,使二者同向.这里的P=Fv事实上是

Fvcos9>。为F、v夹角.

4.我们处理问题时必需清晰是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P,这里指的是牵引力

的功率，不行认为是机械所受合外力的功率.

五、发动机铭牌上的功率，是额定功率，也就是说该机正常运行时的最大输出功率，该机工

作时输出功率要小于或等于此值.

规律方法|1、功率的计算方法

例1.如图所示，质量为1kg的物体与平面间摩擦系数口=0.1（g取lOm/s?）,在2N水平

拉力作用下由静止起先运动了2s,求这段时间内拉力、摩擦力、重力、---------F

支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？〃匚二

例2.如图所示，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力

的即时功率为多少？

例3.一个小孩站在船头，按应当为图5-15两种状况用同样大小力拉

绳，经过相同的时间t（船未碰撞），小孩所做的功％、W2及在时间t内

小孩拉绳的功率Pi、R的关系为（）

A.Wi>W2,Pi=P-2B.Wi=W2,Pi=P2

C.W1<W2,P1<P2D.W1<W2,P1=P2

2、两种功率

例4、质量为2千克的物体做自由落体运动。在下落过程中，头2秒内重力的功率是J,

第2秒末重力的功率是,第2秒内重力的功率是Wo（g取lOm/s?）

；----生项

例5.从空中以10m/s的初速度平抛一个质量为1kg的物体，物体在空

h■：、

中运动了3s后落地，不计空气阻力，取g=10m/s,求物体3s内重力的.........飞

平均功率和落地时的瞬时功率。

例6.若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135nlmHg(lmmHg=133.322Pa)收缩一

次输出血量平均为70ml,那么心脏收缩时的平均功率有多大？

3、汽车起动问题分析

(1)以恒定功率起动：汽车从静止起先以额定功率起动，起先时由于汽车的速度很小，由

公式P=Fv知：牵引力F较大，因而由牛顿其次定律F-f=ma知，汽车的

加速度较大.随着时间的推移，汽车的速度将不断增大，牵引力F将减

小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍

在不断增大，牵引力将接着减小，直至汽车的牵引力F和阻力f相平衡

为止.汽车的牵引力F和阻力f平衡时，F-f=O,加速度a=0,汽车的速

度达到最大值Vm.汽车的运动形式是做加速度越来越小的变加速直线运

动，最终做匀速直线运动.其速度-时间图像如图所示.

I一一一变加速直线运动一一一一I---匀速直线运动一一一

(2)由于牵引力F恒定，依据牛顿其次定律F-f=ma,可知：加速度a恒定,

汽车作匀加速直线运动，随着时间的推移，实际功率将不

断增大.由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车

的匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功

率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动阶段的最大

速度V.其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加

速，其运动方式和第一种起动形式完全相同.即汽车接着

做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速

直线运动状态，速度达到最终的最大速度0.汽车的起动图4-1-4

过程经验了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加

速直线运动阶段，最终做匀速直线运动.其速度-时间图像如图4-1-4所示.

I——一匀加速直线运动———fI——一一变加速(aI)运动————|—匀速运动一

例7、额定功率为80左W的汽车在平直马路上行驶时，其最大速度可达到20m/s,汽车的质

量为2/。假如从静止起先做匀加速运动，设运动中阻力不变，加速度为2m//，求：

（1）汽车所受阻力；（2）这个匀加速过程能维持多长时间；

（3）第3秒末汽车的瞬时功率；（4）汽车做匀加速运动过程中，发动机做的功。

例8.一辆汽车在平直的马路上以速度V。起先加速行驶，经过一段时间t,前进了距离s,此

时恰好达到其最大速度q.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒

定为F,则在这段时间里，发动机所做的功为（）

A.Fvmt；B、Pt；C、%mv『+Fs—%mv（）2；D、"°；

思索：为何用得到ww于不正确？错在哪里？

4、实际问题中的功率

例9.推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地面h,其喷灌半径可达10h,

每分钟喷水质量为m,所用水从地面下H的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为

n,水泵的功率p至少多大？

课后作业

1、一辆汽车从静止起先做加速直线运动，运动过程中汽车牵引力的功率保持不变，所受阻力

恒定，行驶2min速度达到10m/s,那么该汽车在这段时间内行驶的距离为

A、肯定大于600mB、肯定小于600m

C、肯定等于600mD、可能等于1200m

2、人的心脏每跳一次大约输送体积8Xl（）Tm3的血液，正常人的血压为i.5X10」Pa。若某人心

跳70次/分钟，则他的心脏工作的平均功率多大？

3、（2024北京卷23题）风能将成为21世纪大规模开发的一种

可再生清洁能源。风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电能的装置，其主要部件包

括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示。风轮机叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可

接受风能的面积。设空气密度为0,气流速度为右风轮叶片长度为八求单位时间内流向

风轮机的最大风能R

4、汽车在平直马路上做加速运动，下列说法中正确的是

A.若汽车运动的加速度不变，则发动机的功率不变.

B.若汽车运动的加速度不变,则发动机的功率不断增大.

C.若汽车发动机的功率不变，则汽车运动的加速度不变.

D.若汽车发动机的功率不变，则汽车运动的加速度不断减小.

5、质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，假如发动机的功率恒为P,且行驶过程中受到

的摩擦阻力大小肯定，汽车速度能够达到的最大值为v,那么当汽车的车速为v/4时，汽

车的瞬时加速度的大小为

A、P/mvB、2P/mvC、3P/mvD、4p/mv

6、升降机吊起重为1.4X104N的货物，货物以0.5m/s的速度匀速上升。这时升降机提升货物

做功的功率是Wo

第三节动能动能定理

基础学问一、动能

假如一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量.物体由于运动而具有的能.Ek

其大小与参照系的选取有关.动能是描述物体运动状态的物理量.是相对量。

二、动能定理

做功可以变更物体的能量.全部外力对物体做的总功等于物体动能的增量.

22

Wi+W2+W3+............!6mvt—!4mv0

1.反映了物体动能的变更与引起变更的缘由一一力对物体所做功之间的因果关系.可以理解

为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小.所以正功

是加号，负功是减号。

2.“增量”是末动能减初动能.AEK>0表示动能增加，AEK<0表示动能减小.

3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动

能定理.由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化.在动能

定理中.总功指各外力对物体做功的代数和.这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦

力、电场力等.

4.各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和.

5.力的独立作用原理使我们有了牛顿其次定律、动量定理、动量守恒定律的重量表达式.但

动能定理是标量式.功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解.故动能定理无重量式.在

处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理.

6.动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的状况下得出的.但它也适用于变为

及物体作曲线运动的状况.即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也

均适用.

7.对动能定理中的位移与速度必需相对同一参照物.

三、由牛顿其次定律与运动学公式推出动能定理

设物体的质量为m,在恒力F作用下，通过位移为S,其速度由V。变为火,

贝依据牛顿其次定律F=ma……①依据运动学公式2as=符一行……②

由①②得：FS-Amvt2-'/irnvo2

四.应用动能定理可解决的问题

恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般

比用牛顿定律及运动学公式求解要简洁的多.用动能定理还能解决一些在，

中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题.__________E

例1.如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为口，物体与转轴间1"I1一

距离为R,物体随转台由静止起先转动，当转速增加到某值时，物体起先在II

转台上滑动，此时转台已起先匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？ri3

点评：(1)一些变力做功，不能用W=FScos。求，应当擅长用动能定理.

(2)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变更

的细微环节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能.若过程包含了几个运动性质不同

的分过程.即可分段考虑，也可整个过程考虑.但求功时，有些力不是全过程都作用的，必

需依据不同状况分别对待求出总功.计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入公式.

例2.如图所示，质量为必的铅球从离地面人的高处由静止起先下落，落O

到地面后陷入泥潭，下沉的深度是s,试求泥潭对铅球的平均作用力。

解法一：运动公式结合牛顿其次定律

解法二：分段用动能定理，引进中间速度

---

解法三：整段用动能定理--S--

------题多解，体会应用动能定理的基本思路和优势。

规律方法I1、动能定理应用的基本步骤

应用动能定理涉及一个过程，两个状态.所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外

力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能.

动能定理应用的基本步骤是：

①选取探讨对象，明确并分析运动过程.

②分析受力及各力做功的状况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正

功？负功？做多少功？求出代数和.

③明确过程始末状态的动能Eki及EKZ

④列方程W=阮一Em必要时留意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解.

例3.一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m时物体的速度是2〃〃s,下列说法中错

误的是(g取IOrn/s2)；()

A.提升过程中手对物体做功12JB.提升过程中合外力对物体做功12J

C.提升过程中手对物体做功2JD.提升过程中物体克服重力做功10J

练习1。在离地面高度为人处竖直向上抛出一个质量为〃的物体，抛出时的速度为的,当它落

到地面时的速度为％用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力做的功为

121212127

A、mgh——mv——mv0B、——mv——mv0—mgh,

71212,1212

C、mgh+—mv0——mvD、mgh+—mv——mv0

例4.2024■全国卷H•24如图，MNP为整直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相

切于N、P端固定一竖直挡板。M相对于N的高度为h,NP长度为s.一木块自M端从静止起先

沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨

道上某处。若在MN段的摩擦可忽视不计，物块与NP段轨道

间的滑动摩擦因数为口，求物块停止的地方与N点距离的可

hh

能值。【答案】物块停止的位置距N的距离可能为2s-一■或一-2s

练习2、(2024年辽宁)如图所示，/及/是一个盆式容

器，盆内侧壁与盆底况■的连接处是一段与8c相切的圆弧，

B、C为水平的，其距离d=0.50m。盆边缘的高度为h=0.30m。

在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止动身下滑。已

知盆内侧壁是光滑的，而盆底灰因与小物块间的动摩擦因

数口=0.10。小物块在盆内来回滑动，最终停下来，则停的

地点到6的距离为()

A.0.50mB.0.25mC.0.10mD.0

总结：解决由摩擦的往复运动，用动能定理很便捷。

2、应用动能定理的优越性

(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变更与其合力所做功的量值关系，所以对由初

始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问

题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制.

(2)一般来说，用牛顿其次定律和运动学学问求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往

用动能定理求解简捷.可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿其次定律和运动学

学问却无法求解.可以说，娴熟地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应

当增加用动能定理解题的主动意识.

(3)用动能定理可求变力所做的功.在某些问题中，由于力F的大小、方向的变更，不能干脆

用W二Fscosa求出变力做功的值，但可由动能定理求解.

例5.如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动,

拉力为某个值F时，转动半径为R,当拉力渐渐减小到F/4时，物

体仍做匀速圆周运动，半径为2R,则外力对物体所做的功的大小是:

、FRn3FR_5FR

4——；B、---；C>----;D、零;

442

练习3、如图所示，一质量为加的小球，用长为/的轻绳悬挂于。点，

小球在水平力F作用下，从平衡位置?点，缓慢移动到0点，则力F所

做的功为（）

A.mglcos0B.mgl（l-cos0）c.Flsin0D.Flcos0

3、应用动能定理要留意的问题

留意1.由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律

的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直

线运动的物体作参照物来确定.u。’，

例6.如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在一I

水平面上的木板，木板质量为妹g,木板与水平面间动摩擦因数是0.02,---1--------1

经过2S以后，木块从木板另一端以Im/s相对于地的速度滑出，g取10m/丫?\"7777/

/s,求这一过程中木板的位移.

留意2.用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变更或方向变更，所以不

能干脆由W=Fscosa求出变力做功的值.此时可由其做功的结果一一动能的变更来求变为F

所做的功.

例7.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小

球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小

球接着做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的

功为（）

A.mgR/4B.mgR/3C.mgR/2D.mgR

4、动能定理的综合应用

动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，

解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理

39

例8.某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度P=1.3kg/m假如把通过横截面积=20m风的

动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为p=,大小约为

W（取一位有效数字）

例9。两个人要将质量M=1000kg的小车沿一小型铁轨推上长L=5m,高h=lm的斜坡顶端.已

知车在任何状况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800N.

水平轨道足够长，在不允许运用别的工具的状况下，两人能否将车刚好推到坡顶？假如能应

如何办？（要求写出分析和计算过程）（g取10m/s2）

例10、（2024金华模拟）如图，质量为m的小球用长为L的轻质细绳

悬于。点，与。点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已

知0P=L/2,在A点给小球一个水平向左的初速度v。，发觉小球恰能到

达跟P点在同一竖直线上的最高点B。贝1

（1）小球到达B点时的速率？

（2）若不计空气阻力，则初速度V。为多少？

（3）若初速度v0=3弧，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力

做了多少功？

例11、（2024年西城二模，22）

22.36分）“抛石机”是古代战争中常用的种设备，它实际上是一个费力杠杆,如

图所示，某研学小蛆用自制的抛石机演练抛石过程.所用抛石机长瞥的长度上=4.8m,质

用1OQkg的石块装在长臂末端的口袋中：开始时长件与水平面间的夹角a=30°,对

短臂能力，使石块经较长路径获得较大的速度，当长臂转到整直位置时立即停止转动.石

块被水平抛出，石块整地位置与抛出位置间的水平距离s=19.2m。不计空气阻力，重力加

速度取求：,•、、、

（1）石块刚被抛出时的速度大小心；：

（2）石块刚落地时的速度攻的大小和方向：：

（3）抛石机对石块所做的功W.

课后作业

1、（03上海）一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，

碰撞后小球沿相反的方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度的变

更量△■和碰撞过程中墙对小球的做功的大小/为

A、△尸0B、△i^l2m/s

C、股0D、聆10.8J

2、如图所示，光滑水平桌面上开了一个小孔，穿一根细绳.绳一端系一个小

球，另一端用大小为尸的力拉绳，维持小球在水平面上作半径为r的匀速圆/:----一二二:/

周运动.现在缓慢地拉绳，使圆周半径渐渐减小.当拉力变为8尸时，小球运/:―一/

动半径变为r/2在此过程中拉力对小球所做的功是（）

9FrIFr3>Fr

A.零B.4c.2D.2

3、（04北京）被竖直上抛的物体的初速度与回到抛出点时速度大小之比为左，而空气阻力在

运动过程中大小不变，则重力与空气阻力的大小之比为（）

A.（F+1）/（F—1）B.a+1）/（"1）c.kD.1/k

4、（2000年全国高考题）如图所示，2。是水平面，是斜面。初速度为％的物体从。点动身

沿〃以滑动到顶点A时速度刚好为零；假如斜面改为AG让物体从，点动身刚好能沿，。滑

到A点，则物体具有的初速度（已知物体与路面间的动摩擦因数到处相同且不为零，不计转

折点6点或。点的机械能损失）（）

A.大于为B.等于V。

C.小于%D.取决于斜面的倾角

5、质量为机的汽车发动机的功率恒为尸，摩擦阻力恒为牵引力为歹'。汽车由静止起先,

经过时间才行驶了位移s时，速度达到最大值%,则发动机所做的功为（）

12mP~Ps

mvFs---+一

mFvt^m+D.2F%

A.PtB.C.2

6、如图所示，斜面倾角为0,滑块质量为m,滑块与斜面的动摩擦因数为口，从距挡板为s。

的位置以V。的速度沿斜面对上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑

动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够

长.求滑块从起先运动到最终停止滑行的总路程s.

7、如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着

又在一个与斜轨道相连的竖直的光滑圆环内侧运动，阻力不计,

求：⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离

开圆环⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力

8、质量为m的物块从高为h的斜面上的A处下滑，又在同样材料的水平面上滑行S后静止于

B处。已知斜面的倾角为。，物块由斜面到水平面时圆滑过渡。求物块与接触面间的动摩擦因

数。

9、某人质量为m,从平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着曲腿使重心下降0.5m,问脚受

到的地面的作用力是重力的多少倍？

10、一小球从H高处由静止下落，与地面碰后又弹起。如球与地面碰撞时无机械能损失，球

下落和上升过程中所受空气阻力都是球重的0.2倍，那么球由起先下落到最终静止总共通过

的路程是多少？

11、质量为m=lkg的木块静止在高h=L2m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数口=0.2,用

水平推力F=20N使木块产生位移Li=3m,之后撤去推力，木块又滑行L2=lm飞出平台，求木块

落地时速度的大小？

12.质量加=2版的物体以50J的初动能在粗糙的水平地面上滑行,

其动能与位移关系如图4-2-8所示，则物体在水平面上的滑行时

间/为（）

A.5sB.4sC.2叵sD.2s

第四节机械能守恒定律

基础学问

一、重力势能

1.由物体间的相互作用和物体间的相对位置确定的能叫做势能.如重力势能、弹性势能、电

势能等.

(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为EP=mgh.式中h是物体到零重力势

能面的高度.

(2)重力势能是物体与地球系统共有的.只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才

有确定的值。重力势能的负号不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，明显零势能参考

面选择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的.通

常在不明确指出的状况下，都是以地面为零势面的.但应特殊留意的是，当物体的位置变更

时，其重力势能的变更量与零势面如何选取无关.在实际问题中我们更会关切的是重力势能

的变更量.

(3).重力势能的变更与重力做功的关系：重力做正功，重力势能就削减；重力做负功，或

者物体克服重力做功，重力势能就增加

重力做的功等于重力势能削减量WG=AEPJS=EP初一Ep末

特殊应留意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变更.

二、弹性势能：

L定义：物体由于发生弹性形变而具有的能量.

2.弹性势能的变更与弹力做功的关系，与重力势能的变更与重力做功的关系相类似：弹

力做正功，物体的弹性势能就削减；弹力做负功，或者叫外力克服弹力做功，物体的弹性势

能就增加.(说明：物体的弹性势能的大小与物体的材料、发生弹性形变的大小等有关.)

弹簧弹力做的功等于弹性势能削减量

三、机械能：动能和势能统称机械能，即：机械能=动能+重力势能+弹性势能

例1.如图所示，桌面高地面高H,小球自离桌面高h处由静止落下，不计空

气阻力，则小球触地的瞬间机械能为(设桌面为零势面)()

A.mgh；B.mgH；C.mg(H+h)；D.mg(H—h)

四、机械能守恒定律

1、内容：在只有重力（或系统内弹力）做功的情形下，物体的重力势能（或弹性

势能）和动能发生相互转化，但总的机械能保持不变。

2.机械能守恒的条件

（1）对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和

为零），则该物体机械能守恒.

（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发朝

气械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒.

3.表达形式：EKI+Epi=Ek2+Ep2

（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建

立方程式.此表达式中EP是相对的.建立方程时必需选择合适的零势能参考面.且每一状态

的EP都应是对同一参考面而言的.

（2）其他表达方式，AEP=-AEK,系统势能的增量等于系统动能的削减量.

（3）AE产一A&,将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另一部分b的机械能的

削减量，

三、推断机械能是否守恒

首先应特殊提示留意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力

等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合

外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在

削减.

（1）用做功来推断：分析物体或物体受力状况（包括内力和外力），明确各力做功的状况，若

对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能

守恒；

（2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能

的转化，则物体系机械能守恒.

（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特殊说明，机械能必定不守恒，

完全非弹性碰撞过程机械能不守恒

（4）大多数状况下匀速运动不守恒，有摩擦不守恒

例2.对一个系统，下面说法正确的是（）

A.受到合外力为零时，系统机械能守恒

B.系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C.只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D.除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

例3.如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M=96.4kg的木箱，用

细绳跨过定滑轮0与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的口年

绳长A0=8m,0A绳与水平方向成30°角，重物距地面高度h=3m,起先时\

让它们处于静止状态.不计绳的质量及一切摩擦，g10m/s2,将重帆亡与

物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？仆…。书

四.机械能守恒定律与动量守恒定律的区分：

动量守恒是矢量守恒，守恒条件是从力的角度，即不受外力或外力的和为零。机械能守

恒是标量守恒，守恒条件是从功的角度，即除重力、弹力做功外其他力不做功。确定动量是

否守恒应分析外力的和是否为零，确定系统机械能是否守恒应分析外力和内力做功，看是否

只有重力、系统内弹力做功。还应留意，外力的和为零和外力不做功是两个不同的概念。所

以，系统机械能守恒时动量不肯定守恒；动量守恒时机械能也不肯定守恒。

例4。如图所示装置，木块B与水平面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木

块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为探讨对象（系统），则此系统

在子弹射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（）2

A.动量守恒、机械能守恒B.动量不守恒，机械能不守恒

C.动量守恒、机械能不守恒D.动量不守恒、机械能守恒，，’，，，，，，，，，”>

例5。两个完全相同的质量均为m的沿块A和B,放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，

弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以V。的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰A后不