安徽省皖中联盟2024届高三年级上册第五次联考数学试题（含答案解析）

安徽省皖中名校联盟2024届高三上学期第五次联考数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合屈=1|3/一8x—3V0｝,N=｛x\y=y/l-2x｝,则McN=()

111「111「1/1「C1]

A.B.C.---0D.0,-

32jL22jL3JL2_

2.在等差数列｛0”｝中，若与+。17=12,贝！|%2=()

A.4B.6C.8D.12

3.若-工+3i是关于x的实系数方程a/+6x+l=0的一个复数根，且z=a+bi,贝|

22

—=()

14-Z

A13.「13.八31.n31・

A.------1B.—I—iC.------1D.—I—1

55555555

4.已知向量@=(-1,2),B=(X,2),且3与彼的夹角余弦值为(，则无=()

A.1或2B.1或一11C.1D.-1或一11

5.设S“是等差数列｛%｝的前"项和，若K，S5=5S3-5,则%=()

d6J

A.2B.-2C.3D.-1

6.已知函数/(x)=(1)后，在区间(2,3)上单调递减，则正实数。的取值范围为()

A.(0,1)B.陷C.问D.

7.战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”•这是中国

古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧•在平面直角坐标系

xQy中，一条光线从点(2,3)射出，经了轴反射后与圆--6》+/+勺+9=0相交所得弦

长为2百，则反射光线所在直线的斜率为()

4-3355-3

A.——或——B.——C.—D.——或一-

344335

-75口［(sin6+cos，)cos26

8.已知。是三角形的一个内角，满足cosO-sin。---,则--------；---------—\)

5sin。

2929

A.——B.-----C.一D.——

510510

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.设正实数满足Q+b=l,则（）

A.J-a+y/b>V2B.-H—>4

ab

4

C.4〃2+〃的最小值为1D.2。+2b的最小值为2g

10.已知直线/经过点（0,-1）,且一个法向量为方二（私1）,若点力（-3,-4）,5（6,3）至！J/的

距离相等，则实数加的可能值为（）

7711

A.——B.-C.——D.-

9933

11.若函数〃x）=$3+/（）/+1则（）

A.r（l）=lB./（X）有两个极值点

C.曲线V=/（x）的切线的斜率可以为一2D.点（1,1）是曲线y=〃x）的对称中心

12.如图，已知正方体力3CD-4耳G2的棱长为I,。为底面/BCD的中心，/G交平

面4助于点£,点尸为棱CD的中点，则（）

4Di

BC

A.4,E,。三点共线

B.三棱锥4-88的外接球的表面积为37t

C.直线4c与平面48。所成的角为45。

9

D.过点4,B,方的平面截该正方体所得截面的面积为三

8

三、填空题

13.写出同时满足下列条件的函数/（无）的一个解析

式.oya）=/（-X）；㉘（x+-/仅）.

14.现有甲乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，已知Z8=3C=6,

4A=B£=2,现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是正四棱台高度的

试卷第2页，共4页

一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是正四棱台

高度的一半时用时分钟.

15.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，在鳖席E43c中,

P/_L平面/BC,NB_LBC,P/=/B=EJBC=2,。,E分别为棱PC,P8上一点，贝U

AE+DE的最小值为.

P

16.已知)=(sins,coss),不=(J§cos0x,-cos0x),®>0,且毛，巧是函数

/(x)=的两个零点，I网-马京=兀，若函数g(x)=y(x)+g在区间

[m,neR,m<n)上至少有100个零点，则实数n-m的最小值为.

四、解答题

17.已知正项等差数列｛%｝的前〃项和为5“,53=15,百,$2，邑+8成等比数列.

(1)求数列｛«„｝的通项公式；

(2)令bn=an-T,求也｝的前"项和北.

18.已知AJBC内角48,C所对的边分别为a/,c,A/3(a2-Z>2-c2)=2ocsinB.

(1)求角A的大小；

(2)若.=右，/A4c的角平分线交3c于点。，求线段长度的最大值.

19.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，且满足邑=49,2%=4+9,数列也｝满足

4=4抱用=34一

试卷第3页，共4页

(1)证明：数列也-力是等比数列，并求｛%｝,｛4｝的通项公式;

⑵已知数列｛5｝满足的=「仿-“n；为〃为偶奇数数，,求数列匕｝的前2〃项和心

20.已知函数/(x)=a(lnx+a)-x.

⑴讨论/(尤)的单调性;

(2)证明：当a>0时，2a2一2a.

21.已知半径为2的圆。的圆心在x轴的正半轴上，且直线/:3x-4y+4=0与圆C相切.

(1)求圆C的标准方程；

⑵若。的坐标为(-2,4),过点。作圆C的两条切线，切点分别为"，N,求直线的

方程；

⑶过点/(1,0)任作一条不与V轴垂直的直线与圆C相交于区厂两点，在x非正半轴上

是否存在点8,使得ZABE=ZABE?若存在，求点3的坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图所示，正方形48co所在平面与梯形4BAW所在平面垂直，MB//AN,

NA=AB=2,BM=4,CN=2G.

(1)证明：平面48cD；

(2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点£,使得二面角E-8N-M的余弦值为半,

CF

若存在求出的前值，若不存在请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】分别求出集合M,N,由此求出MCN.

【详解】解一元二次不等式3/-8x-3VO,得-夫尤43,故可=-j,3,

由于二次根式要求1-2x20,则N={x|y=Jl-2x}=(-00，；］，

所以McN=-1,1.

故选：A.

2.B

【详解】根据给定条件，利用等差数列下标和性质计算即得.

【分析】在等差数列{与}中，2%2=%+%7，而为+47=12,因此2%2=12,

所以q2=6.

故选：B

3.A

【详解】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出。、b,再由复数的运算和共

辗复数可得结果.

【分析】若-工+出4是关于x的实系数方程依?+法+i=o的一个复数根,

22

则另一个复数根为-

22

1

a6Z—1

，解得

b=l

则z=l+i,所以彳=1一"

而右彳（「i）（2-i）「3iJ3

故有1+z2+i（2+i）（2-i）555,

故选：A.

4.B

【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出.

2

【详解】v5-6=(-1,2)-(x,2)=4-x,\a\=45f|^|=A/X+4,

答案第1页，共15页

n./）4—Y3

肝（显然…），

故有：x2+1Ox-11=0,解得x=l或x=-ll.

故选：B.

5.A

【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前"项和公式得出等差数列的基本量，计算

可得结果.

【详解】记等差数列｛%｝的公差为d,

由工=5'-5可得凡=54+10d=5（3%+3d）-5,整理得2%+4-1=0；

因为裳=；,S6=3S3,即6%+15d=3（3%+3。）；

21

整理可得q=27,联立可得%=1,d=-,

故^。9="i+8d=2；

故选：A.

6.C

【详解】利用复合函数的单调性，结合指数函数和一次函数的单调性即可得解.

【分析】根据题意，函数〃x）=（：）E,令"“二

由正实数。知，函数t==/单调递减，

因为“X）在区间（2,3）上单调递减，

则/（尤）=（》单调递增且t=Vi二晟>0,

a>0

所以1>1,解得：

a3

1-3«>0

故0的取值范围是（of.

故选：C.

7.A

【分析】直接利用直线与圆的位置关系求出结果.

答案第2页，共15页

【详解】根据题意，设8与点（2,3）关于了轴对称，则B的坐标为（-2,3）,

则反射光线经过点B,且与圆尤2-6无+V+4y+9=0相交.

设反射光线所在直线的方程为了-3=MX+2）,即丘-y+2左+3=0,

圆/一6》+丁+4>+9=0的标准方程为(x-3>+(y+2)2=4,

则圆心为（3,-2）,半径『=2.

因为弦长I=2百＞

所以根据勾股定理得，圆心（3,-2）到反射光线的距离［==1，

B女+5|43

故d=+=T=l，即12/+25左+12=0,解得左=一二或左=一二.

J1+/34

故选：A

8.B

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式sin20+cos2e=l,可求tan。的值，进而利用三

角函数恒等变换的应用化简，即可计算得解.

【详解】因为cos0-sin6=-好，两边平方得l-2sin0cos0=L

55

49

即2sin^cos^=—,可得（sin6+cosOp=/l+-2sinecos6=—,

4

因为。是三角形的一个内角，且2sin6cose=M,所以sin。＞0,cos6＞＞0,

所以sinO+cos。＞0,得sin。+cos。=---,

5

又因为005。-5由。=一避^,sin0+cos0=,

55

联立解得：sin6=25,cos®=^~,故有：tan8=2,

55

“k士（sine+cos6）cos2esin6+cos6cos20-sin10tan3+11-tan209

sin。sin。cos七%inetan。1+tan电10

故选：B.

9.BCD

【分析】根据题意，利用二次函数性质和基本不等式，分别判断各个选项的对错，即可得结

果.

答案第3页，共15页

【详解】对于A中，取“b=3,此时口+口」+1〈收，所以A不正确;

44\4\422

对于B中，由L+1=(L+1)(a+6)=2+2+3z2+2j2><3=4,

ababab\ab

当且仅当时，等号成立，所以B正确；

对于C中，由4/+〃=/+4(1-b)2=5b2-Sb+4,

414

因为0<6<1,所以当6=《，。=《时，4/+〃取得最小值)，所以C正确；

对于D中，由2"+2"22,2'.26=26亍=23",

当且仅当2"=2J即”=6=；时，等号成立，所以D正确.

故选：BCD.

10.AC

【分析】分直线和直线与直线/相交两种情况求解即可.

【详解】由直线/经过点(0,-1),且一个法向量为力=(%/)，可得/：s+y+l=0,

3—4)77

当直线48/〃时，则fH，即加=-4；

6-(一3)99

当直线N3与直线/相交时，则A,3在直线/的两侧，

I—3m-4+11|6m+3+l|71

则"，=/,J，解得或加=-：.

Vl2+m2V/M2+1293

故选：AC.

11.BD

【分析】A项，求导赋值可得；B项，利用导函数研究单调性再求极值；C项，研究导函数

值域即可；D项，证明〃x)+〃2-x)=2.

【详解】选项A,由题意得/'(x)=x2+2/⑴x,

所以厂(1)=1+2/(1),解得/，⑴=-1,A错误；

选项B,由/''⑴=-1,则〃力=$3-/+1

/'(x)=x?—2尤=x(x—2),由/'(x)=0得x=0,或x=2,

贝！)当x<0或无>2时，/牛)〉0；

答案第4页，共15页

当0〈尤<2时，/'(无)<0,

所以/(x)在(-“⑼和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

则当x=0时，/⑴有极大值；当x=2时，/⑴有极小值.

所以/(x)有两个极值点，B正确；

选项C,/f(x)=x2-2x=(x-1)--1>-1,

所以曲线y=/(x)的切线的斜率不可能为-2,c错误；

选项D,因为/卜)+/(2_苫)=；/_/+:+：(2_;<:)3_(2-xj+：

=—x3-x2+y+—(8+6x2-12x-x3卜(4-4x+x2+32,

所以点(1/)是曲线了=/(力的对称中心，D正确.

故选：BD.

12.ABD

【分析】由题意可证得4,乙。三点都在平面4助与平面/CG4的交线上，可判断A；由

题意可证得3D1平面/CG4,从而助工/G，可判断B：由题意可证得

平面NCG4,则直线4c与平面4助所成的角为NC4Q,根据余弦定理，求解可判

断C；取。。的中点G,因为尸G〃C，〃48,所以等腰梯形48尸G就是过点4,民万的平

面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.

【详解】因为。为底面/BCD的中心，所以。为8。和/C的中点，则OeAD,Oe/C,

因为8。u平面4A0,/Cu平面ACC^,所以Oe平面AXBD,Oe平面ACC1Al,

所以点O是平面ABD与平面ACC.A,的公共点；

显然4是平面4助与平面NCG4的公共点；

因为交平面4助于点瓦NGU平面NCQ4,

所以E也是平面A.BD与平面ACC.A,的公共点，

所以4，瓦。三点都在平面4瓦5与平面/CG4的交线上，即4,瓦。三点共线，故A正确；

答案第5页，共15页

三棱锥4-BCD的外接球和正方体是同一个外接球，棱长为1,所以2夫=6,

所以外接球的表面积S=4无尺2=3兀，故B正确；

4D}

BC

因为CC，平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AD，C。,

又BD1AC,ACHqC=C,AC,JCu平面ACC,A,,

所以8。1平面/CG4,BDu平面A.BD

所以平面平面/CG4,平面平面/CG4=Ato,

所以4c在平面4助的射影为4。,

即直线4c与平面4助所成的角为/a。，

22

4c=6,oc=孝，4。=^AXB-BO=卜;=乎

402+/<2_℃2_2拒

COS/。4。=浜，故C错误;

2xAlOxAIC~3

取。。的中点G,连厂G,G4,2尸,48,因为尸G〃C，〃48,

所以等腰梯形ABFG就是过点A,,B,F的平面截该正方体所得截面，如图:

5/7

因为AB=5,FG=AlG=BF=^~

答案第6页，共15页

所以等腰梯形4BFG的高为〃=

11I/—AI39

所以等腰梯形48尸G的面积为大（48+尸6）々=不V2+PX,

2212J4o

9

即过点4/*的平面截该正方体所得截面的面积为q,故D正确.

O

故选：ABD.

13./(x)=cos2x(答案不唯一)

【详解】分析题中两个条件得到了（X）的性质，从而得解.

【分析】因为/⑴^L力，故函数/（X）是R上的偶函数，

又因为/[x+；）=-/（x）,故/（尤+兀）=-/卜+3=/'（尤），

因此函数/（X）是周期为兀的函数，

故满足以上条件的一个函数为/（X）=C0S2X.

故答案为：/（x）=cos2x（答案不唯一）.

14.19

【详解】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得

解.

【分析】设正四棱台的高为2〃，由/8=6,44=2,正四棱台的中截面是边长为4的正方形,

1OQ

当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为§〃（4+8+16）=彳〃，

284

设水流速度为v,则7V=：■〃，v=~h,

33

当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为!〃（36+24+16）=,3

767

-h

所以当水的高度是四棱台高度的一半时用时为今-=19分钟.

-h

3

故答案为：19.

153+-\/3

,2

答案第7页，共15页

TTTT

【分析】根据题意，求得NAPB=J/BPC=；,作出将aPBC沿着反转动到尸,4卅。四点

46

共面的平面图形，利用两角和的正弦公式得sin//PC="及，进而求解即可.

4

【详解】因为尸/，平面/3C,BCu平面/BC,所以尸

又4B工BC,4BcPA=4,4B,P4u平面P4B,所以3C1平面尸,

PBu平面P/B,则BC_LP8.

因为P/_L平面N2C,A8i平面48C,所以尸N_L48,

贝|］尸8=2百,尸C=4,所以NAPB=三/BPC=%,

46

如图，将小BC沿着尸8转动到尸,4伐。四点共面，

UQ.//八八.（兀兀、.兀7171.71V6+V2

止匕时sinZ.APC=sin一+—=sin—cos-bcos-sin=-----------

U6）46464

过A作于〃，则/E+QE的最小值为

r./A仁V6+V23+6

AAHl=PnAsinXAPC=y/6x----------=---------；

42

故答案为：史匹.

【分析】先利用平面向量的数量积运算与三角恒等变换化简/（X）,再由/（X）的零点求得。

的值，进而得到g（x）,结合正弦函数的图象和性质即可得解.

【详解】因为万=（sins,COSGX）①>0,

所以/（X）二一;=yf3sinCDXCOSCDX-COS269X-

—sin2s--cos2Gx—1=sin2a）x--\-l,

22

答案第8页，共15页

令/(x)=0，即sin12gx—£j=1,

故当巧,巧是的两个零点时，超此为/(%)的一个周期,

即『■=兀，解得0=1,故有g(x)=sin(2x-」-7，

令g(%)=0，贝心山(21-今］=，令2x-a=t,

因为/(x)在区间［九川(加,〃£R,加<〃)上至少有100个零点，

则sin，=g在区间%,t2］上至少有100个不等根，

即〉=sinf与y=g在区间［h4］上至少有100个交点，其中4=2加-弓，芍=,

296兀

3

辽生分、r148兀

故答案为：y-

【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数>=/(%)-g(%)的零点。函数

V=/(x)-g(x)在x轴的交点的横坐标=方程/(x)-g(x)=0的根O函数了=/(x)与

>=g(x)的交点的横坐标.

17.(l)a„=4M-3

⑵4=14+(4n-7)x2"+1

【分析】(1)根据等差数列的前一项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出%”,

从而得出通项公式；

(2)利用第(1)小问求出“，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论.

答案第9页，共15页

【详解】(1)设等差数列〈。“｝的公差为d,因为S"叫+〃,

所以&=3al+3d=15,S]=a1,S2—26+d,S4=4q+6d,

因为几邑,邑+8成等比数列，

所以(2%+=%(4%+6d+8),

_25

徂』/=i甫r

侍[d=4或L-10,

、a=-----

[3

因为此数列各项均为正，

所以％=l,c/=4得an=4M-3.

(2)2=(4〃-3)2",

123,M

所以Tn=1X2+5X2+9X2+---+(4«-7)2+(4»-3)2",

所以2<=1X22+5X23+9X24+-+(47L7)2"+(4"-3)2"+I,

123,,+1

两个等式相减得，-Tn=1X2+4X2+4X2+---+4.2"-(4«-3)2,

Q2ryn+\

所以_空=2+4-3»M,

所以7；=14+(4〃-7)x2。

18.(痔

【分析】(1)将V3(a2-Z>2-c2)=2<2csin5化成-2^bccosA=2acsmB,然后结合正弦定

理求解；

(2)运用等面积法先表示出AD=^~，然后结合余弦定理以及基本不等式求解线段AD

长度的最大值.

【详解】(1)t：4^(ci2-b2-c2^=2tzcsinS,

「•由余弦定理可得一2VJbccos/=2acsinB,即一百bcosZ=asinB,

答案第10页，共15页

.二由正弦定理可得一百sin5cos4=sirUsinS,

e.*BG（0,7c）,sinB0,，一百cos/=siih4,艮Ptaib4=一百，

?7T

又/£（0,兀），

27r

（2）因为a=6，A=^,所以由余弦定理得/=/+C2_26CCOS/,

即3=/+/+6c,所以3=人2+c?+力。之2bc+be=3bc,

即历＜1（当且仅当6=。=1时，等号成立），

因为S“3C—S"BD+S“CD，

匚U|、|17.2乃1/TA.兀1J彳八.兀

所以一xcxbxsin——=—xcxADxsin—+—xxADxsin—,

232323

解得勺，

b+c

因为b+c22痴（当且仅当6=c=l时，等号成立），

所以40=竟二V当且仅当6=c=l时，等号成立），

b+cbe22

所以/。长度的最大值为3.

n

19.（1）证明见解析；an=2n-lfbn=3+n

o2n+lo

（2）——+2n2+n--

88

【分析】（1）设数列｛。“｝的公差为d,根据题意求得&=7和%=5,得到1=1,得到。“=2〃-1,

再由%-（〃+1）=3（2-冷，得至U也-〃｝为等比数列，进而得到数列低｝的通项公式；

13"〃为奇数

（2）由（1）得到「：，±2结合分组求和，即可求解.

【详解】（1）解：依题意，设数列｛与｝的公差为d,

因为S?=49,所以7（%+%）=7/49,则&=7,

2

因为2a4=4+9,即14=%+9,所以%=5,

所以d=%-%=2,6=%-24=1,所以%=1+（〃-1）x2,即。〃=2〃一1.

答案第11页，共15页

所以=32-%=32-(2〃一1),所以%「(”+1)=3色,一〃),

又因为4=4,所以4-1=320,故数列他,-〃｝是首项为3,公比为3的等比数歹!J,

所以6“一〃=色一1)31=3",所以4=3"+〃.

3”,〃为奇数

(2)解：由(1)知。“=2〃-1,b=?>"+n,可得c“=

n21,“为偶数'

所以7L=%+C2+C3+'"+C2„A+C2n

=(31+33+35+---+32"4)+[(2x2-1y@x4-l卜…+Qx2n-\j

3(l-9,')(3+4H-1)Ho2n+l

23

1-9+2=------1-2n+n----

88

20.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，根据。的符号分类讨论研究函数的单调性；

(2)原不等式等价于。(lna+a)-“V2/-2°,等价于证明InaW,构造函数

g(a)=lna-a+l,求导研究函数单调性，求解最大值即可证明.

【详解】(1)因为/(x)="(lnx+tz)-x,所以/

当aWO时，r(x)<0,所以〃x)的单调减区间是(0,+为，

当a>0时，/'(x)=『.令(无)>0得0〈尤<a,令/'⑺<0得x>a,

所以〃x)的单调递减区间是(a,y)，单调递增区间是(0,a).

(2)由(1)可得，当x=a时，/(x)取得极大值，也是最大值，

所以/⑺工/(a)=Q(lna+a)-a.

设g(a)=lna-a+l,则/(°)=!一1,令g<a)>0得0<a<1,令g'(a)<0得a>1,

所以g(a)的单调递减区间是(1,+s),单调递增区间是(0,1),

所以g(a)<g(l)=O，WIna<a-l.

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因为Ina4a-1,所以In”+a42“-1,所以。(lna+。)W2/-a,

所以a(lna+a)-aV2a2-2a,所以命题得证.

21.(l)(x-2)2+y2=4

(2)x-j-l=0

(3)存在满足条件的3,且坐标为(-2,0)

【分析】(1)根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心，

(2)根据四点共圆可得圆。方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标

关系可得切线方程，进而可得直线方程，

(3)根据斜率和为0,结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解.

【详解】⑴设圆心1的坐标为心,0)(。＞0),则圆C的方程为+卢=4,

因为直线%-4了+4=0与圆。相切，

|3a+4|

所以点C(a,0)到直线/:3x-4y+4=0的距离d=/,=2,

V3+H)

因为。＞0,所以。=2,

所以圆C的标准方程为(X-2)2+/=4；

(2)法1：由条件可知四点共圆，且。C直径，记为圆。，

则D(0,2)泮径"方'=26，

所以圆。的方程为/+/-4了-4=0,

因为圆。的方程为Y+y2-4x=0,

两圆方程相减可得-1=0,所以直线的方程为》-尸1=0；

法2：设河仁,乂)山优,居)，设直线W上任意不同于点的点为〃(尤,田，

根据标_L而河得切线QM的方程为同-2)(x-2)+为了=4,

因为。在直线。“上，所以-4(%-2)+4%=4,

同理-4(尤4-2)+4%=4,

从而直线的方程为-4(x-2)+4y=4,即x-y-1=0；

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（3）设存在点8。,0）0。。）满足条件,由题可设直线ZE：x=my+l,E（玉,力）/（再,力）,

\x=my