2024高考数学必背公式与知识点过关检测 (二)

高考数学必背公式与知识点过关检测

——决胜高考数学基本公式、概念全掌握

第一部分：集合与常用逻辑用语

1.子集个数：含〃个元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空子集，

有个非空真子集

2.常见数集：自然数集:；正整数集：或；整数集:；有理数集:；

实数集：

3.空集：。是任何集合的,是任何非空集合的.

4.元素特点：、、确定性

5.集合的的运算：集运算、集运算、集运算

6.四种命题：原命题：若p,则q；逆命题：若,则；否命题：若,则；逆否

命题：若—，则—；原命题与逆命题，否命题与逆否命题互；原命题与否命题、逆命

题与逆否命题互；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为。互为逆否的命题—

7.充要条件的判断：pnq,p是q的条件；p=q,q是p的条件；

poq，°,q互为条件；若命题p对应集合A,命题q对应集合8,则p=q等

价于,pQq等价于

注意区分：“甲是乙的充分条件（甲n乙）”与“甲的充分条件是乙（乙2甲）”；

8.逻辑联结词：或命题：pvq,有一为真即为,p,q均为假时才为；

且命题：p/\q,p,q均为真时才为,有一为假即为；

非命题：「°和p为一真一假两个互为对立的命题

9.全称量词与存在量词：

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用V表示；

全称命题p：VxeM,p（x）；全称命题p的否定-ip：；

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用三表示；

特称命题P：GM,p（x）；特称命题P的否定->p：；

第二部分：函数与导数及其应用

1.函数的定义域：分母0；偶次被开方数0；0次累的底数0；

对数函数的真数0；指数与对数函数的底数0且_____1

2.分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；

分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的、值域是各段值域的

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3.函数的单调性：设X],x2e[a,b],且石片々，那么:

(1)(%1-X,)[/(%)-/(x2)]>0O一>o<=>/(X)在[a,可上是____函数；

一一七一马

(2)(Xj-%,)[/(%1)-/(x2)]<0o幺纪一"%)<0o/(x)在[a,可上是____函数；

-x,-x2

(3)如果/'(x)>0,则/(x)为_____函数；f\x)<0,则/(x)为_____函数；

(4)复合函数的单调性：根据“同异”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.函数的奇偶性：⑴函数的定义域关于对称是函数具有奇偶性的迪强条件

⑵/(X)是____函数O/(-X)=-7(X)；/(%)是_____函数of(-X)=/(X).

⑶奇函数/(%)在0处有定义，则

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有的单调性，偶函数有的单调性

⑸偶函数图象关于轴对称、奇函数图象关于坐标对称

5.函数的周期性：

周期有关的结论：(约定a>0)

(1)/(%)=/(%+a),则/(x)的周期T=；

(2)/(x+a)=-/(%),或/'(x+a)=^^(，(x)wO),f(x+a)=(/(%)*0),

/(x)/(%)

则/(%)的周期T=

(3)/(x+a)=/(x-a)或/(x-2a)=/(x)(a〉0)=>/(x)的周期为

(4)f(x+m)=f(x+n)=>/(x)的周期为

6.函数的对称性：

①>=/(x)的图象关于直线对称of(a+x)=f(a—x)of(2a—x)=/(x)；

②丁=/(x)的图象关于直线对称o/(a+x)=/(b-x)of(a+b-x)^/(x)；

③>=f(x)的图象关于点对称of(a+x)=-f(Jy-x)

④3=/(x)的图象关于点(―，。)对称o/(a+x)=2c-/(b-x)

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7.分数指数募与根式的性质：

m

(1)an=(。>0,相,〃£N*,且〃>1).

_生11

n

(2)a=——―,~(Q>0,m,〃£N,且〃>1).

■行

I—/—[a,a>0

⑶(五)"=a.(4)当〃为奇数时，虫"=a；当〃为偶数时，血"=3=<八

-a,a<0

8.指数性质：

(1)ap=；(2)a0=(awO)；(3)a""'=

(4)a-a=；⑸a"=；

9.指数函数(如右图)：

(1)丁=优(。>1)在定义域内是单调____函数;

(2)y=a\)在定义域内是单调减函数.

注：指数函数图象都恒过定点.

10.对数运算规律：

(1)对数式与指数式的互化：log.N=b=(a>0,awl,N>0)

h

(2)对数恒等式：log“1=,logaa=，logna=—.1g2+lg5=—，lne=

(3)对数的运算性质：

_M

①加法：log”M+log。N=②减法：=logfl—

③数乘：=log“M"5cR)④恒等式：ao&-N=

⑤log,,"b"=⑥换底公式:

11.对数函数(如右图):

(1)y=log“x(a〉l)在定义域内是单调递增函数；

(2)y=log.x(0<a<1)在定义域内是单调递减函数;

注：对数函数图象都恒过点.

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12.反函数：函数y=优的反函数是,函数y=logax的反函数是.

13.二次函数：

二次函数丁="/+/^+。(aWO)的图象的对称轴方程是,顶点坐标是

判别式A=Z>2—4ac；A>0时，图像与了轴有个交点；

△=0时，图像与光轴有个交点；A<0时，图像与％轴没有交点；

14.韦达定理：

若石,％2是一元二次方程ax?+bx+c=O(awO)的两个根，贝U：/+々=，xrx2=.

15.零点存在定理：若y=/(x)在[a,b｝上满足,

则V=/(x)在(。,妨内至少有一个零点

16.常见函数的导数公式：

①(C)=；②(x")=；(nx)=

®(sinx)=；@(cosx)=；⑤(e*)'=；

@(lnx)=；©(a1)'=；®(logx)=.

17.导数运算法则：

⑴(x)•g(%)]'=；

18.曲线的切线方程：函数y=/(x)在点/处的导数是曲线y=/(x)在尸(玉)，/(/))处的切线

的斜率为/(%),相应的切线方程是.

第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.角度制与弧度制互化：

360°=rad,180°=rad,1°=〜rad,lrad=〜

2.若扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为r,弧长为/,周长为C,面积为S,则

I=,C=,S==・

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3.三角函数定义式：角终边上任一点(非原点)P，设则

4.同角三角函数的基本关系：

(1)平方关系：(2)商数关系.

(3)三角不等式：

①的关系是.

②若一，则.③若一，则

④

5.函数的诱导公式：［口诀：奇变偶不变，符号看象限.1

,,.(keZ)

(2),,

(3)，，

(4)，,.

(6)_______________________

6.特殊角的三角函数值：

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

角a的

弧度数

Sina

Cosa

tana

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7.三角函数的图像与性质:

图象

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

对称性

8.几个常见三角函数的周期：

①||与||的周期为.

②或（）的周期为.

③—的周期为.

®H的周期为

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9.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

（l）cos（a-yff）=：（2）cos（a+夕）=：

（3）sin（a-尸）=；（4）sin（a+0）-；

（5）tan（a-2）=：（6）tan（a+0）=.

10.二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin2a=___________________

COS26T===

tan2a=___________________

=>降次公式：cos2a-，sin2a-.siiiacosa=

11.引入辅助角公式：asina+）cosa=__________________________

（其中，辅助角e所在象限由点（。,3所在的象限决定，tan^=1）.

12.正弦定理：（R是A43c外接圆直径）

注：①a:b.c=sin^4:sin5:sinC；②a=2RsirLA,b=2J?sin5,c=27?sinC；

abca+b+c

③-------=--------=--------=---------------------------

sin^4sin5sinCsinN+sin5+sinC

13.余弦定理：O.（逆定理）

（以A角和其对边来表示）

14.三角形面积公式：S3:_____________=_______________=_______________.

（用边与角的正弦值来表示）

三角形面积导出公式：

S®=（r为&4BC内切圆半径）=（R外接圆半径）

15.三角形内切圆半径尸外接圆直径2R===

第四部分：平面向量、数列与不等式

1.平面向量的基本运算：

设A（X1，M）,B（X2，V2），则4®=。一&=-

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设)

（定义公式）=1坐标公式）.

在方向上的投影为.=［坐标公式）

（一般表示）O（坐标表示）.

//O（一般表示）=（坐标表示）.

=（坐标公式X

2.若为的重心，则=；

且G点坐标为（,）

3.三点共线的充要条件：P,A,B三点共线

4.三角形的四心

重心：三角形三条交点.

外心：三角形三边_______相交于一点.

内心：三角形三相交于一点.

垂心：三角形三边上的相交于一点.

5.数列｛｝中与的关系（注：该公式对任意数列都适用）

6.数列相关知识

★L等差数列：

通项公式：（1），其中为首项,d为公差,n为项数，为末项.

（2）推广：

前n项和：=；其中为首项,n为项数，为末项.

常用性质：（1）若7M+〃=p+q，则有：

注：若的等差中项，则有211,10邛成等差数列.

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(2)若、为等差数列，则为等差数列.

(3)为等差数列，为其前n项和，则也成等差数列.

(4)；

★2.等比数列：

通项公式：(1)，其中为首项,n为项数,q为公比.

(2)推广：

前n项和：

常用性质：(1)若〃z+〃=p+q,则有；

注：若的等比中项，则有n、m、p成等比.

(2)若、为等比数列，则为等比数列.

7.常见数列的和：

①1+2+3+...+n=

②上T+升……+n2=

@l3+23+33+...+n3=

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9.重要不等式：_______________________

基本不等式：若则

11.极值定理：已知都是正数，则有：

(1)如果积是定值，那么当时和有最小值________;

(2)如果和是定值，那么当时积有最大值_________.

12.均值不等式链：

如果a,b都是正数，那么(当仅当a=b时取等号)

即：平方平均》算术平均》几何平均》调和平均6为正数)

特别地，-------------(当a=b时，--------------)

幕平均不等式:

13.均值定理：已知都是正数,则有

(1)已知,若则有

(2)已知，若一一则有

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第五部分：立体几何与解析几何

1.三视图与直观图：

原图形与直观图面积之比为

2.常见几何体表面积公式：

圆柱的表面积s=______________圆锥的表面积s=_______________

圆台的表面积s=______________球的表面积s=________________

3.常见几何体体积公式：

柱体的体积v=锥体的体积v=_______________

台体的体积V=球体的体积V=

4.常见空间几何体的有关结论：

⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面，

截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的；相应小棱锥与小棱锥的侧

面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的.

⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b,c,则体对角线长为，全面

积为，体积V=

⑶正方体的棱长为则体对角线长为面积为，体积V=

⑷球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径=长方体的_______长.

球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的,

正方体的棱切球的直径=正方体的长，正方体的外接球的直径=正方体的体长.

⑸正四面体的性质：设棱长为。，则正四面体的：

①高：；②对棱间距离：；③内切球半径：;④外接球半径：

5.立体几何常用的六个定理(三种语言)

(1)直线和平面平行的判定定理

(2)直线和平面平行的性质定理

(3)平面和平面平行的判定定理

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(4)直线和平面垂直的判定定理

(5)平面和平面垂直的判断定理

(6)平面和平面垂直的性质定理

6.直线的斜率：k==

(c为直线的倾斜角，4(%,％)、内)为直线上的两点)

7.直线方程的五种形式：

直线的点斜式方程：(直线/过点片(%,%),且斜率为k).

直线的斜截式方程:(b为直线/在y轴上的截距).

直线的两点式方程：(4(%,%)、P,(x2,y2)xl^x2,%/%)・

直线的截距式方程：(a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且awO/彳0).

直线的一般式方程：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).

直线Ax+3y+C=O的法向量：/'=(A3),方向向量：/=(8,—A)

8.两条直线的位置关系：

(1)若乙：y=kxx+bx,l2'.y=k2x+d，则：

①乙〃4=________且________；②.

(2)若/］：4_¥+_8/+£=0,/,:AjX+52y+C2=0,则：

①4〃4=________________且__________________；②.4_L.

9.距离公式：

(1)点《(石,%),鸟(%2，y2)之间的距离：

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(2)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C-0的距离：

（3）平行线间的距离：Ax+及v+G=0与Ax+By+C2=。的距离：

10.圆的方程：

（1）圆的标准方程：______________________________________

(2)圆的一般方程：______________________________________(D2+E2-4F>0)

(3)圆的参数方程：___________________

11.直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d与半径R的大小关系

(1)当__________时,直线和圆__________（有两个交点）；

(2)当__________时,直线和圆_________（有且仅有一个交点）;

(3)当__________时，直线和圆_________（无交点）；

12.圆与圆的位置关系：判断圆心距d与两圆半径和Ri+R2,半径差&—R?（&>&）的大小

关系：

（1）当__________时，两圆__________,有4条公切线;

（2）当__________时，两圆__________，有3条公切线;

(3)当__________时，两圆__________,有2条公切线;

(4)当__________时，两圆__________,有1条公切线;

(5)当时，两圆,没有公切线；

13.直线与圆相交所得弦长|AB|=（d为直线的距离r为半径）

若A0,%）,B（X2,%）（%N%），则线段AB的垂直平分线为：.

已知两圆X?+y?+D^x+耳y+F[=0-^x2++D、x+E2y+与=0，

则这两个圆公共弦所在直线方程为.

14.椭圆的定义：

（1）平面内与两个定点片、鸟的距离和等于常数的点的轨迹叫椭圆.这两个

定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（。2=82+02）

（2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：.

（3）椭圆问题隐含条件：（1）,（2）.

15.双曲线的定义：

（1）平面内与两个定点片、鸟的距离之差的绝对值等于常数：的点的轨迹叫

双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（。2=〃+。2）

（2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：.

（3）双曲线问题隐含条件：（1）,（2）.

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16.抛物线的定义：

（1）平面内与一个定点R和一条定直线/（点R不在/上）的距离的的点的轨迹叫做双

曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.

（2）标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：.

（3）抛物线问题隐含条件：（1）,（2）.

17.离心率：e=（椭圆的离心率（0,1）,双曲线的离心率,抛物线的离心

率）

2222

18.双曲线的渐近线：5―二=1（。>0,b>0）的渐近线方程为_________，且与二―==1

abab

具有相同渐近线的双曲线方程可设为¥-==/I.

a"b~

19.过抛物线焦点的直线：

倾斜角为6的直线过抛物线y1=2px的焦点F且与抛物线交于A（w%）3（々,为）两点

（%>0）：

\AF\=\BF\=\AB\==

川2=---------------------山力=------嘉+焉=------

20.焦点三角形的面积：（1）椭圆：S=；（2）双曲线：S=（々产2=6）

21.几何距离：

（1）椭圆双曲线特有距离:①长轴（实轴）:；②短轴（虚轴）:；③焦距:.

（2）通径长：①椭圆、双曲线：；②抛物线：.

22.直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为A（X，%）,3（%,%），则

|AB|=__________________________==______________________

23.中点弦问题：椭圆：左AB左OP=双曲线：左48左OP=

第六部分：统计与概率

1.总体特征数的估计：

⑴样本平均数；

⑵样本方差；w=；

⑶样本标准差s=.

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2.概率公式:

⑴互斥事件：;对立事件：：

互斥事件的概率公式：P(A+B)^

⑵古典概型：基本事件的总数数为N,随机事件A包含的基本事件个数为〃，则事件A

发生的概率为：P(A)=

⑶几"P"试验优暮霏肾黑〔黑;需靠积等,

3.回归分析

(1)判断两个变量是正相关还是负相关可以用散点图；

(2)线性回归方程系数公式:其中b为斜率,a纵截距

n___♦__

^x^-nxyX(x，—%)(%—y)__

b=号----------=-..-------------=y-bx

22

^xt-nx£(%.—XP

z=li=\

(3)相关系数的理解；

4.独立性检验:判断两个变量的依赖关系

产(妙》4)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

k2_n(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

第七部分：复数

1.复数的基本概念：z=a+〃(〃，beR)

(1)实部：；虚部：；虚数单位：七_______

(2)模：|z|二二

(3)共掘复数：i=(4)在复平面内对应的点为

(5)复数相等：a+bi=c+di(a,b,c,d£R)O

2.复数的基本运算：