2024高考数学一轮考点突破-集合（解析版）

01集合

目录

【题型一】集合的表示......................................................................1

【题型二】集合元素的特征.................................................................3

【题型三】集合的关系.....................................................................4

【题型四】集合的运算.....................................................................6

【题型五】集合与排列组合.................................................................8

【题型六】新定义.........................................................................10

【题型七】集合与圆锥曲线................................................................12

一、热点题型归纳

【题型一】集合的表示

【典例分析】

如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，48是一条侧棱，£（，=1,2,…,8）是上底面

上其余的八个点，则集合卜卜=9•诙,，=1、2、3、…、8｝中的元素个数（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【分析】

本题首先可根据图像得出羽=刀+丽，然后将商•通转化为在②+方.丽，最后根据棱

长为1以及3?即可得出结果.

【详解】

由图像可知，羽=方+丽，则焉•亚=篇（益+明）+布•此，

因为棱长为1，B4,所以益.丽=0,益.亚=益。刀.丽=1+0=1，

故集合卜卜=海.亚,i=l、2、3、…、8｝中的元素个数为1,故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

1.列举法，注意元素互异性和无序性

2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素

【变式演练】

1.设集合M={x|x=竺产keZ},N={x|x=?+],keZ},则()

A.M=NB.M(jNc.M屋ND.MtN

【答案】B

【分析】

对于集合N,令4=2〃(〃eZ)和左=2"/-1(加eZ),即得解.

【详解】

a/(I左万兀77、-KT(Ikjl71JF、

M={x|X=-—F—,kGZffN={x|X=—F—,左£Z},

对于集合N,当A=20(〃eZ)时，x=+y,meZ；

当后=2"?-1("?eZ)时，x=号^+?,meZ.

•••WUN,故选：B.

2..L=；、：><":」=?，，]，“JV；,若闻表示集合4中元素的个数，贝!)

|4|=，则⑷+|阕+⑷+…+|4。卜.

【答案】11;682.

【详解】

试题分析：当〃=5时，.二-,二晶於~，即114加工21，..艮|=11，

由于二不能整除3,从21到2由，=«7-3的倍数，共有682个，

二.「4|+艮|+・・・+1九|=682

3.已知集合M是满足下列性质的函数/(%)的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意x,

等式/(区)=g+/(x)恒成立.现有两个函数：/("=狈+”叱0),g(x)=log2x,则函

数/⑺、g(x)与集合M的关系为.

【答案】/(X)eM,g(x)eA/

【解析】

(1)若/(x)=ax+b^M,则存在非零常数k,对任意xGD均有f(kx)=akx+b=—+/W,

2

k左一1二0,

即a(k—l)x=!恒成立，得{,n无解，所以/(x)任M.

2K=0,

(2)log2(foc)=g+bg?x,则log?k=g,k=4,k=2时等式恒成立，所以/⑶=log2xEM.

【题型二】集合元素的特征-

【典例分析】

已知集合N=1xeZ店<3，-W3，，3=1xeN|\|<0，，则集合{z|z=.xe4y©8}的元

素个数为()

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【分析】

解指数不等式求得集合/，解分式不等式求得集合8,由此求得集合{z|z=町,的

元素个数.

【详解】

由工<3"-叱3得3T-4<x-l<l,解得一3〈尤V2,所以/={-2,-1,0,1,2}.由

81

叶解得一2〈尤<3,所以8={0,1,2}.所以{z|z=v，xe4"3}={2,0,-2T,l,T4},

x—3

共有7个元素.

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。

2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。

【变式演练】

1.已知集合=a+则下列四个元素中属于M的元素的个数是（）

①1+叵兀:②711+672:③2+y/2；®也-6+也+6

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

［分析］__________

①②③都可以写成m=a+从历的形式，验证是否是有理数，④计算,2-月+也+8的

平方验证，判断.

【详解】_

①当a+b亚=1+JLr时，可得。=1/=乃，这与。,be。矛盾，

②J11+6行=/（3+也『=3+行:.a+by/2=3+42，可得"3,6=1,都是有理数，所

以正确，

©-^=^^=l--,:.a+b42=\-—，可得。都是有理数，所以正确,

2+V22222

④（也一。+也+G|=4+2=6而（a+=a1+2b2+2aby［2,a,beQ,

.,.（a+b0『是无理数，；."-百+也+行不是集合M中的元素，

只有②③是集合M的元素.

故选：C

fX2r<0

2.函数〃x）='.一，则集合{x1/I/（x）］=O}元素的个数有（）

I4sinx0<JCW）L

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】

根据分段函数/（x）解析式，结合集合元素要满足的性质/'［/■（同］=0,通过分类讨论求所

有满足条件的X的值，进而确定集合中元素的个数.

【详解】

当xVO时，/(尤)=尤2=0,解得x=0,

当0<龙4%时，若/(x)=4sinx=0,解得x=万，

当x40时，若/(%)=%2="，解得》=-6，

当0<x4;r时，若/(X)=4sinx="，贝！|sinx=工，解得x=arcsin工或万一arcsin工.

444

又•••/"(切=0

.*"(x)=0或/(x)=%

x=0或％二%或、=一6或％=@1\^11工或x=»—arcsin工.

44

集合W/⑺]=0}元素的个数有5个.故选：D.

3.已知集合审=:(3。吊，集合厂的所有非空子集依次记为：甄理夫…设

，分别是上述每一个子集内元素的乘积，(如果J的子集中只有一个元素，规

定其积等于该元素本身),那么沙粒7»岭¥黑眼物=.

【答案】5

【详解】

试题分析:集合p所有子集的“乘积”之和为函数/卜)=1-£|1+£|1+£|(》+1)卜+2)展

143

开式中所有项数之和7-1;因为T=/(1)=5X§X]X2X3=6,所以T-l=5.

【题型三】集合的关系-

【典例分析】

已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则是

集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为.

【答案】196个

【分析】

先找出集合U的子集个数，再减去集合/或集合3的子集个数，即可得出结果.

【详解】

集合。的子集个数为28,其中是集合/或集合8的子集个数为2、+2$-2,,所以满足条件

的集合个数为28-(25+25-22)=196.

【提分秘籍】

基本规律

1.注意子集和真子集的区别和练习

2.判断集合之间的关系：

(1)定义判断

(2)数形结合判断

【变式演练】

1.若{1,2}A{xeN|x(x-5)<0},则集合A的个数是.

A.4B.3C.2D.8

【答案】C

【分析】

先将集合{xeN|x(x-5)<0}用列举法来表示，即{1,2,3,4},根据真子集的关系确定集合A的

可能性即可

【详解】

V{xeN|x(x-5)<0}={xeN|0<x<5}={1,2,3,4}{1,2}A{1,2,3,4},

.♦.A可以为{1,2,3},{1,2,4},

故选C

2.设。是全集，若AuB=U,则下列关系式一定正确的是()

A.A[\B=0B.BcCL,A

C.CVA^BD.CuAr\CuB=U

【答案】C

【分析】

利用Venn图，通过举例说明A,B,D错误，从而选C.

【详解】

如图，AuB=U,止匕时NcBw。，A错，BOCuZ,B错，CVA^CVB^U,D错,

3.已知集合4={尤10<%<2}净=印-1<》<1}1=卜隰+1>0},若（力1^）=。，则实数加

的取值范围是（）

111…

A.—<m<lB.——

22

11

C.――<m<0D.——<m<1

22

【答案】B

【分析】

利用集合的包含关系即求.

【详解】

由题意，A<JB={X\-1<X<2},

・.・集合C={x\mx+1>0},(/u3)1C,

(T)加<0,xV-----，.=---22,.,.加N，.二一一Km；；

mm22

②m=0时，成立；

(3)加>0,x>-----，.=---<—L...加<1/.0<加41

mm

综上所述，-1V加W1,

2

故选：B.

【题型四】集合的运算-

【典例分析】

已知集合/=(y=sin(x+至+6cosx,xeR1,8={x[(x?+x-6)(x+5)>()},[7=R,则

4(AUB)=()

A.0B.(-OO,-5]D[-3,-77)C.[-5,-3]

D.[-3,5]

【答案】B

【分析】

求三角函数的值域求得集合A,解不等式求得集合3,由此求得务（/霞）.

【详解】

又寸于^^^*A,y=sin（x+—）+y[3cosx=_sinxH———cosx

=J7sin(x+e),tan0=3&.所以N=[-J7,J7].

对于集合3,(龙？+尤一6)(x+5)=(x-2)(x+3)(x+5)>0,

所以3=(-5,—3)U(2,E),

所以/u5=(-5,-3)U[-J7,+S),

故选：B

【提分秘籍】

基本规律

1.注意并集与交集的大小关系

2.补集和全集是不可分割的两个概念

【变式演练】

2

1.已知p=｛（”）,2一必=%e=｛（x,j）|（x-a）+/=i｝,若pn°=。，则"的取值范围

是（）.

A.—1<a<1B.a<-VWa>V10

c.-Vio<a<-l^l<a<Vn）D.以上答案都不对

【答案】D

【分析】

法1.可以代特殊值，对答案进行排除；

法2.画出图形，进而使得双曲线G：fy2

1与圆。2：@-。）2+/=1没有公共点即可，然

4

后根据图形的位置关系解得答案.

【详解】

法1.当间>2时，总可找到一个适当的a值，使尸no=0；又当a=0时，也有尸no=0.

于是。的取值范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.

故选：D.

22

法2.由已知，集合尸表示双曲线C|：=-t=l上的点构成的集合；集合。表示圆

c?：（x-a）2+『=1上的点构成的集合，则问题=双曲线C1与圆C2没有公共点.

如图1所示：圆C2位于双曲线C外，

由图形可知，若圆。2位于双曲线。内，贝Ijac-Ji不或4〉丽.

综上：或或故选：D.

2.已知”={(x,y)卜一4+|了一1区1},8={(X,J；)|(X-1)2+(J；-1)2<1},若集合Nc3w0,则

实数。的取值范围是()

A.[—1,3]B.卜1-夜,夜]C.[—31]D.[0,2]

[答案]A

【分析】

先由集合48分别求出的范围，由y得范围相同，可知A交B是否是空集取决于X的范

围，然后分情况讨论即可求解

【详解】

因为/={(苍〉),_4+|了_1区1},

所以|x-a|wl得至！Ja-lV尤Va+1；1yT区1得至(J0VyV2；

因为8={(x,y)|(x-l)2+(yT)2〈l}

所以04x42,0<y<2,

所以A交3是否是空集取决于X的范围，

因Q-1«X«Q+1,

月f以X—1«Q«X+1,

当x=0时，一IWQWI；当x=2时，1«Q«3

所以当集合时，实数。的取值范围是：-1<«<3

故选：A.

3.若N={x|"<1},s=Li1>il,

定义B={x\xE：A^J5且％任4c5},

贝！14x5=

13j_3

A.uB.一，o“i，C.D.(0,1]

42°C252

【答案】B

【解析】

[*|y•芈

试题分析：由题意/={x|x-彳<1}--二「J-3

B=1x|—>11»[%|-―1No}={x[0<x41},

3../

13=)x—<x<-)c娜|拿V_1.7—《「J&

所以/=B且％Ar\B}二

【题型五】集合与排列组合概率

【典例分析】

已知非空集合Z=R,设集合S={x+Mxe4ye4尤H了},T={x-y\x&A,yeA,x>y].

分别用阂、冏、图表示集合A、S、7中元素的个数，则下列说法不走确的是（）

A.若|”|=4,则，+团28B.若|/|=4,则冏+因412

C.若|/|=5,则同+团可能为18D.若M|=5,则同+团不可能为19

【答案】D

【分析】

分析集合S,T中的元素，将问题转化为排列组合问题，求出冏+|7|的最大值，若集合A由

相邻元素构成时，则冏+n取得最小值，依次分析各个选项，即可得解.

【详解】

已知S=卜+了|尤e4了e4无wy},T={x-,尤e4了e4x>y].

又陷、网、团表示集合A、S、T中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，

对于AB,阂=4,|S|WC；=6,|T|WC：=6,则网+闵412,故B正确；

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例/={1,2,3,4},则5={3,4,5,6,7},7={1,2,3},

即（冏+阕）皿=8,故A正确；

对于CD,H=5,同VC；=10,|7区仁=10,则网+|7区20,故D错误；

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例/={1,2,3,4,5},则5={3,4,5,6,7,8,9},

T={1,2,3,4},Bp（|5|+|r|）mn=ll,故网+闭可能为18,故C正确；

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

利用排列组合思想求集合或者集合中元素的个数，需要运用逻辑分析和转化化归的思想

【变式演练】

1.设/={1,2,3,4,},A与8是/的子集，若/n3={l,3},则称(43)为一个“理想配集”.那么

符合此条件的“理想配集”(规定(48)与(3,4)是两个不同的“理想配集”的个数是()

A.16B.9C.8D.4

【答案】B

【分析】

根据题意，子集A和8不可以互换，从子集A分类讨论，结合计数原理，即可求解.

【详解】

由题意，对子集A分类讨论：

当集合/={1,3},集合8可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中结果；

当集合”={1,2,3},集合3可以是{1,3,4},{1,3},共2种结果；

当集合/={1,3,4},集合8可以是{1,2,3},{1,3},共2种结果;

当集合/={1,2,3,4},集合8可以是{1,3},共1种结果，

根据计数原理，可得共有4+2+2+1=9种结果.

故选：B.

2.已知集合P={1,2,3,4,5},若4,3是产的两个非空子集，则所有满足N中的最大数小于

5中的最小数的集合对(45)的个数为()

A.49B.48C.47D.46

【答案】A

【分析】

利用分类计数法，当/中的最大数分别为1、2、3、4时确定/的集合数量，并得到对应8

的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【详解】

集合尸={1,2,3,4,5}知:

1、若/中的最大数为1时，8中只要不含1即可：A的集合为出，

而3有2"-1=15种集合，集合对(/,8)的个数为15；

2、若”中的最大数为2时，2中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2},而8有23-1=7种，

集合对(48)的个数为2x7=14；

3、若/中的最大数为3时，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有合-1=3种,

集合对(48)的个数为4x3=12；

4、若/中的最大数为4时，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为{4},。,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而2有2J1=1种，集合对(4为的个数为8x1=8；

一共有15+14+12+8=49个，故选：A

3.设集合/={1,2,3,…,2020},选择N的两个非空子集5和C,要使C中最小的数大于5中

的最大数，则不同的选择方法有;

【答案】2018X22019+1

【分析】

分类讨论集合5中的最大元素，利用集合的非空子集的个数的求法把所有满足题意的情况求

出来即可得出结果.

【详解】

由题意得：

当集合5中的最大元素为1时，满足题意的集合B共有1个，对应的集合。共有（2刈9一1）个,

即满足题意的共有1x（2289-1）个；

当集合B中的最大元素为2时，满足题意的集合5共有2个，对应的集合C共有（2刈8-1）个,

即满足题意的共有2X（2刈8-1）个；

当集合3中的最大元素为3时，满足题意的集合5共有22个，对应的集合C共有（2刈7一1）个,

即满足题意的共有22x（22%7）个；

当集合5中的最大元素为4时，满足题意的集合8共有2?个,对应的集合C共有（2加6-1）个,

即满足题意的共有23x（22016-1）个；

当集合3中的最大元素为2019时，满足题意的集合3共有2刈-个，对应的集合。共有（2「1）

个，即满足题意的共有22°”x（2i-l）个；

综上：满足题意的不同的选择方法有：

1x（22019一1）+2x（22018-1）+22X（22017-1）+.••+22018x（21-l）

20192320182019

=2019x2-（l+2+2'+2+2+---+2）=2O19x2-^—

-2019x22019-（22019-1）=2018x22019+11故答案为：2018x22019+1.

【题型六】新定义-

【典例分析】

用如）表示非空集合N中的元素个数，定义黑案:爆若"J，

2},B={x|（x2+«x）-（x2+«x+2）=0},且4*5=1,设实数。的所有可能取值组成的集合是S,

则C（»等于（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】

根据题意可得C（B）=1或C（8）=3,进而讨论°的范围，确定出C（3）,最后得到答案.

【详解】

因为C（/）=2,A*B=1,所以C（3）=l或C（3）=3,

由+cix—0,得X]=0,々=—a,

关于x的方程/+ax+2=0,

当A=0时，即a=±2&时，易知C（8）=3,符合题意；

当A>0时，即0<-2A/2或a>25/2时，易知0,-a不是方程/+ax+2=0的根，故C（_8）=4,

不符合题意；__

当A<0时，即-2C<a<2C时，方程/+ax+2=0无实根，

若a=0,则2={0},C（3）=l,符合题意,

若-2拒<.<0或0<a<2&,贝i]C（3）=2,不符合题意.

所以5={0,20,-2&},故。6）=3.故选：B.

【提分秘籍】

解题思路

1.新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在“翻译”

2.新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法理解。

【变式演练】

1.定义=设A、B、C是某集合的三个子集，且满足

(4—3)u(5—Z)qC,则/屋(C—3)u(3—C)是4口800=0的()

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】

作出示意图，由(/-3)。(3-4)=。可知两个阴影部分均为0,根据新定义结合集合并集

的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】

如图，由于(4-5)38-Z)UC，故两个阴影部分均为0,于是

A=I\JIV<JV,B=III<JIV<JV,C=I<JII<JIII<JV,

(1)若/ngnc=0,则厂=0,.•./=/□/%,而(c—3)u(5-c)=/u〃u//,

=叫成立；

(2)反之，若/=则由于(C-8)38-C)=/U〃U("),

/=/u(7T)uk,

,:.V=0,Ac^BoC=0,故选：A

2.已知集合P={1,2,3,4,5},若43是尸的两个非空子集，则所有满足N中的最大数小于

5中的最小数的集合对(4B)的个数为()

A.49B.48C.47D.46

【答案】A

【分析】

利用分类计数法，当/中的最大数分别为1、2、3、4时确定/的集合数量，并得到对应3

的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【详解】

集合尸={1,2,3,4,5}知：

1、若/中的最大数为1时，2中只要不含1即可：A的集合为田，

而8有2"-1=15种集合，集合对(48)的个数为15；

2、若/中的最大数为2时，8中只要不含1、2即可：

A的集合为{2},{1,2},而5有23-1=7种，

集合对(48)的个数为2x7=14；

3、若/中的最大数为3时，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合为⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有合一1=3种,

集合对（48）的个数为4x3=12；

4、若/中的最大数为4时，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而8有21-1=1种,集合对（N,8）的个数为8x1=8；

一共有15+14+12+8=49个，故选：A

3.在〃元数集5={%外,中，设x（S），+%+…+%,若S的非空子集A满足

n

尤（4）=尤（$）,则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的方元“平均子集”的个数为

fs回已知集合5={1,2,3,4,5,6,7,8,9},7={^,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},则下列说法错误的

是（）

A.%（9）=%⑴B.人⑻"⑴

C.%（6）=%（4）D.人（5）=力（4）

【答案】C

【分析】

根据新定义求出左元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项.

【详解】

x（S）=5,将S中的元素分成5组（1,9）,（2,8）,（3,7）,（4,6）,（5）.

则力（5）=C：C=6,/⑹=C；=4/⑻=C：=1/（9）=1；

同理：x⑺=0,将T中的元素分成5组（1,-1）,（2,-2）,（3,-3）,（4,-4）,（0）.

则力⑴=C：=1,%（4）=C：=6.

.•・人（9）=人⑴，人⑻=办⑴，%（5）=办（4）,人（6）7分（4）.

故选：C.

【题型七】集合与圆和圆锥曲线-

【典例分析】

设集合川=卜/）卜="^"[,N={（x,y）k-2『+（y-2『=/]（厂>0）.当McN有且

只有一个元素时，则正数厂的所有取值为（）

A.2+0或2血-2B.2<r<2s[5

C.2<rM26或r=2板-2D.2MrM2石或r=2拒-2

【答案】c

【分析】

依题画出满足题意的图形，因为McN有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，

所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.

【详解】

2

y=^4-x>y》0，即圆环/+产=4的上半部分，如图：

圆Af的圆心坐标为（0,0）,半径为2,圆N的圆心坐标为（2,2）,半径为厂,

因为McN有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，

所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，

①外切：d=2+r,d为圆心距，272=2+r.此时r=2-22，

②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径厂=2,

圆（3）处的半径r=HV=2石，所以2<r£2石，

综上，正数厂的所有取值为2<"26或厂=2应-2.故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

1.注意解析几何中公式的形式及应用

2.数形结合。

【变式演练】

1.已知集合/=｛（羽田|忖+2344｝,集合8=｛（x,y）|（x-m）2+y2=*,若5=/,则实数加

的取值范围是.

【答案】[-2,2]

【详解】

试题分析：集合/=｛（xj）|忖+2WV4｝表示由直线

x+2y=4fx-2y=4,-x-2y=4,-x+2y=4围成的平面区域，集合

3=｛（居y）|。-加）2+72=:表示以C（幽,0）为圆心，半径为竽的圆.为使31/,须圆C落

在上述平面区域内.由圆心c（机,0）到直线X+2、=4及-X+2、=4的距离等于述,