安徽省马鞍山市2023-2024学年高二年级上册期中调研考试数学试卷(含答案)

安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.直线3x+y-2=0的方向向量为（）

A.（-l,3）B.（l,3）C.（-3,l）D.（3,l）

2.等差数列｛4｝中，若2%+佝=18,则%+3%的值为（）

A.36B.24C.18D.9

3.与直线3x-4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）

A.3x+4y+5=0B.3x+4y-5=0C.3%-4y+5=0D.3x-4y-5=0

4.经过原点和点（3,-1）且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的方程为（）

A.（x-5）2+（y+10）2=125B.（X+1）2+（^-2）2=5

C.（x-l）2+（y-2）2=5+'2=m

5.设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，贝广｛4｝为递减数列”是“存在正整数N。，当

〃>N0时，。“<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点P（4,3）,点。在f+丁2=4的圆周上运动，点〃满足则点〃

的运动轨迹围成图形的面积为（）

A.nB.2TIC.3KD.4K

7.等比^｛列｛%｝中，6+2+生+/+%=3,a；+a&+ag+a：+a；=15,则

—%+—+〃5=()

A.—5B.-l

8.过点F（2,0）作圆/+丁2-4=1的两条切线，设切点分别为A,B,则的面

积为（）

□岳C^

A咨D.----------D.V15

828

二、多项选择题

9.已知直线/:%+阳+〃z=0,若直线/与连接A（-3,2）,8（2,1）两点的线段总有公共

点，则直线/的倾斜角可以是（）

A.—B.-C.-D.-

3246

10.设S“，分别是等差数列｛4｝和等比数列｛2｝的前〃（〃eN*）项和，下列说法正确

的是（）

A.若+。16«15+«17<0,则使5“>0的最大正整数〃的值为15

B.若7；=50+c（c为常数），则必有c=-1

c.s5,sw-s5,几-4必为等差数列

D.4,T10-T5,工5-工0必为等比数列

11.已知等比数列｛凡｝公比为q,前M“eN*）项和为%前〃（aeN*）项积为T“，若

%=上，£=£，则（）

32

A.q=2B.当且仅当〃=6时，取得最小值

C.Tn=「_"D.S“>7；的正整数〃的最大值为11

12.已知圆C:炉+J=4,圆M:炉十J一8九一6）+加=o（）

A.若加=8,则圆C与圆M相交且交线长为更

5

B.若加=9,则圆C与圆M有两条公切线且它们的交点为（-3,T）

C.若圆C与圆”恰有4条公切线，则加>16

D.若圆Af恰好平分圆C的周长，则机=T

三、填空题

13.若｛」“｝是公差不为0的等差数列，的，%，%成等比数列，q=l，S“为｛4｝的

前〃（〃eN*）项和，贝1],+'++上的值为_________.

S]S2S]。

14.平面直角坐标系x0y中，过直线1:7x—3y+l=0与.x+dy-3=0的交点，且在y

轴上截距为1的直线/的方程为.（写成一般式）

15.如图，第一个正六边形44£。14片的面积是1,取正六边形4月。]。耳£各边的

中点4，B2,G，D2,E2,F2,作第二个正六边形432c234e，然后取正六边形

432c23石28各边的中点A，为，。3，2，石3，工，作第三个正六边形，依此方法

一直继续下去，则前〃个正六边形的面积之和为.

16.已知实数a,b,c成等差数列，在平面直角坐标系中，点A（4,l）,。是坐标

原点，直线/:公+2与+3c=0.若直线垂直于直线I,垂足为M,则线段的最

小值为.

四、解答题

17.已知直线4:2x-（a-l）y-2=0,Z2:（a+2）x+（2a+l）y+3=0（aGR）.

（1）若4,小求实数a的值；

（2）若a①，求乙，4之间的距离.

18.已知等差数列｛a“｝,前"eN*）项和为S“，又生=4,S9=90.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设包=|9—⑷，求数列｛0｝的前〃项和7；.

19.已知数列｛%｝的首项q=|,且满足a.M=言.

（1）求证：数列工-1等比数列；

UJ

（2）设2=g）_,求数列也｝的前2〃项和立.

20.如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=S,AB,间的距离为4,

以线段AB的中点为坐标原点。，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过A,B,

C,。四点的圆为圆M

(1)求圆”的标准方程；

(2)若点E是线段A0的中点，P是圆〃上一动点，满足求动点尸横

坐标的取值范围.

21.平面直角坐标系中，直线/:3x+2y-13=0,圆

M:x2+y2-12x-8y+48=0,圆C与圆M关于直线/对称，P是直线/上的动点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点尸引圆C的两条切线，切点分别为A,B,设线段A3的中点是。，是否存

在定点H,使得叫为定值，若存在，求出该定点H的坐标；若不存在，请说明理由.

22.记首项为1的递增数列为“W-数列”.

(1)已知正项等比数列｛4｝,前〃(〃eN*)项和为S,，且满足：a“+2=2S,+2.求证：

数列｛叫为“W-数列”；

(2)设数列也｝(〃eN*)为“W-数列”，前〃(〃eN*)项和为％且满足

邙;=s；(〃eN*).(注：邙；=厅+叫++“)

Z=1?=1

①求数列｛bn｝的通项公式切；

②数列｛c,｝(〃eN*)满足c“=*,数列｛c“｝是否存在最大项？若存在，请求出最大项

的值，若不存在，请说明理由.(参考数据：后引.41,%。1.44)

参考答案

1.答案：A

解析：由题意得直线3x+y-2=0的斜率为-3,

所以直线的一个方向向量为(1,-3),

又(1,-3)=-(-1,3),所以(-1,3)也是直线3x+y-2=0的一个方向向量.

故选：A.

2.答案：B

解析：令｛叫的公差为d,则2a3+佝=2(%+2d)+6+8d=3%+12d=18,即

+4d=%=6,

贝！J%+3a6=%+%+4+=2a3+%+。5=18+6=24.

故选：B.

3.答案：B

解析：令x=0,则y=j,可得直线3x-4y+5=0与y轴的交点为

令y=0,则x=-g,可得直线3x-4y+5=0与x轴的交点为:o],

此时关于y轴的对称点为联,0〉

所以与直线3x-4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点||,01

其直线的方程为?看=1,化为3x+4y-5=0,故选B.

34

4.答案：D

解析：由题设，令圆心为(x,5-3x),又圆经过原点和点(3,-1),

所以产=必+(5—3x)2=(%—3)2+(6—3x)2,整理可得x=g,故圆心为联刀],

所以半径平方r2=—,则圆的方程为L--T+/=—.

9(3-9

故选：D.

5.答案：C

解析：令｛叫公差为1且1/0的无穷等差数列，且=。1+(〃-1)2=册+(。1-4)，

若｛4｝为递减数列，则d<0,结合一次函数性质，

不论对为何值，存在正整数No，当〃〉TV。时。“<0,充分性成立；

若存在正整数N。，当〃〉N。时4<0,由于dwO,即｛q｝不为常数列，

故4=△〃+(%-d)单调递减，即d<0,所以｛%｝为递减数列，必要性成立；

所以“｛%｝为递减数列”是“存在正整数N。，当〃〉N。时，/<0”的充分必要条件

故选：C.

6.答案：A

解析：设析(x,y),Q(x0,y0),

x=2%-4

由得M是线段PQ中点，二0

,o=2y-3'

3

22

又。在圆炉+产=4上，(2x—4)2+(2y—3>=4,IP(x-2)+(y-1)=1,

点轨迹是半径为1的圆，面积为S=7l,

故选：A.

7.答案：C

。1(1一夕5)_Q

——J

,1—，两式相除得

解析：设公比为q,显然q,±l,则由题意得

)=]5

、1一/

4(1+/)二§

\+q

grpi.._%[1-(-_qQ+q)_v

/TT以%-％+%―/+%=-----------------------=5,

l-(-q)\+q

故选：C.

8.答案：A

解析：由题设，圆的标准方程为必+⑶―2)2=5,圆心为C(0,2),半径/=有,

所以|CP|=2应，如下图示，切点分别为A,B,则|8口=|4口=斥？=百，

所以cosZBPC==-^=,又/BPA=2/BPC,

\CP\2A/2ICP|272

、后

所以sinZBPA=sin2ZBPC=2sinZBPCcosZBPC=-—

4

2248

解析：因为直线/:x+/ny+zw=O可化为x+(y+l)m=O,

所以直线/过定点。（0,-1）,

又4(—3,2),8(2,1),所以3c=/空=一1,心==^?=1，

—J—U，一U

故直线AC的倾斜角为把，直线的倾斜角为4,

4

结合图象，可知直线/的倾斜角范围为£个,故ABC正确，D错误.

故选：ABC.

10.答案：BCD

解析：令｛4｝的公差为d,=al+(n-V)d=dn+｛al-d),

”,/=2〃1+29d〉0i,29r

所以15161,故15d,且d<0,

阳+《7=2ax+30d<02

使S〃=nax+Dd=+(/—}n>0,贝0<孔<1-^-,

而29〈-也<30,即1-生e(30,31),故。<〃W30,

dd

所以使S〃>0的最大正整数〃的值为30,A错；

令包的公比为q且乡。0,则7；=」\［包—"=5〃+c(公比不能为1),

1-q1-q1-q

q=5

所以<l\,即c=—1,B对；

------——1

1-q

根据等差、等比数列片段和的性质知：55,S10-S5,九-九必为等差数列，T5,

T1O-T5,几-几必为等比数列，C、D对.

故选：BCD.

11.答案：AC

解析：对于A,因为4=及，所以4=4=1，因为q5="=32,解得q=2,故A正

T5

确；

对于B,注意至1」。6=1，故时，77>7,时，an>l,

所以当〃=5或〃=6时，J；取得最小值，故B错误；

n(«-l)n2-lln

a

对于C,Tn=qa2a3n=a；Z"2++z=)"-2k=2^(zieN*,zi<11),

(ll-n)(10-n)n2-lln

看_=的2=端一"严…°一"=(2-5)f.2-5—=2-(neN*,n<ll),

所以(=7；j("eN*”<ll),故C正确；

(一/)-Ti"

41T-12

对于D,S〃=』----=Tn=2,因为S"〉7；,

1-q25

r\n-in2-llnn2-lln+10

所以4F〉2.,BP2"-l>2~^,

25

所以2"—zY1I0〉i,即"""I"十】。,所以13-疝^<“<13+恒^正整数“

222

的最大值为12,故D错误，

故选：AC.

12.答案：AD

解析：A：相=8时圆M:(x—4)2+(y—3)2=17,则M(4,3),半径r=&7,

而圆C:Y+y2=4中C(0,0),半径/=2,所以|CM|=5,

故JI7—2<|CM|<JI7+2,即两圆相交，止匕时相交弦方程为4x+3y—6=0,

所以C(0,0)到4x+3y-6=0的距离为4=^|,故相交弦长为2x^2?-(§?=个，对;

B：加=9时圆M:(x—4y+(y—3)2=16,则M(4,3),半径r=4,

同A分析知：4-2<|CM|<4+2,故两圆相交，错；

C：若圆C与圆M恰有4条公切线，则两圆相离，则|。0|>厂+/=2+厂，

而圆M:(x—4)2+(y—3)2=25—加，即r=J25-

f25-m>0

所以1,--------016<m<25,错；

2+，25-根<5

D：若圆M恰好平分圆。的周长，则相交弦所在直线必过C(0,0),

两圆方程相减得相交弦方程为8x+6y-〃z-4=0,将点代入可得/”=-4,对.

故选：AD.

13.答案：三

解析：设等差数列｛。"｝公差为d,a2,a4,%成等比数列，由a：=%为，

则(q+3J)2=(q+d)(q+7d),即(1+34)?=(l+d)(l+7d),

由d/0,得d=1,所以4=6+(〃—1)2=〃,

则有得―”)

所以J+(+

故答案为：—.

11

14.答案：9x+5y-5=0

解析：由题设，令直线/的方程为7x—3y+l+/l(x+4y—3)=0,且直线过(0,1),

所以0—3+1+2(0+4—3)=0=>4=2,故直线/的方程为9x+5y—5=0.

故答案为：9x+5y—5=0.

15.答案：41—1皆

解析：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为正，故它们面积

2

比为3,

4

所以前〃个正六边形的面积是首项为1,公比为士的等比数列，

4

3

i-(7r3

所以前〃个正六边形的面积之和S=—3=4[l-(-f].

14

4

故答案为：4[1-(-)«].

4

16.答案：0

解析：由题设2b—a+c,则/:ox+(Q+c)y+3c=0,即/:a{x+y)+c(y+3)=0,

令(x+y=0=p=3,即直线/恒过定点5(3,_3),又OM工1,

。+3=0[y=-3

所以〃在以|O3|为直径的圆上，且圆心C(|,-,)，半径为半，

要求的最小值，即求4(4,1)到该圆上点距离的最小值，而

|C4|=J(4.|)2+(1+|)2=平,

所以=当一当=日

17.答案：(1)a=—1或2

2

(2)亚

解析：(1)由/i，4，则2(a+2)—(a—1)(2。+1)=0,即2a2—3a—5=0,

所以(2a-5)(a+l)=0,可得a=-1或

2

(2)由〃〃2，贝|J史2=犯口，可得"2+54=0,故a=0或—5,

21—a

当a=0,则［:2x+y-2=0,/2:2x+y+3=0,止匕时满足平行，且/一乙之间的距离为

3+2)=/.

VF7F，

当a=—5,则\:x+3y—1=0,/2:x+3y-l=0,此时两线重合，舍；

综上，时/-6之间的距离为百.

18.答案：(1)a“=2n

8〃-a?,1v〃<4,eN*)

(2)7；,=\\

n2-8n+32,〃25,eN*)

解析：(1)设等差数列的公差为d,首项为4,

因为品=90,所以Sg=9"%)=9%=90,

所以。5=1。，由%—a2=3d=10—4=6,解得d=2,

又%=4,所以a及=%+(〃-2)1=4+(〃-2)x2=2〃.

(2)优=|9-%|=|9-2叩

设g=9—2〃，｛%｝的前几项和为5小得=7+（9=—

Q

cn—9-2n>0,得〃<5,

当时，c„>0,即优=c"，所以1W/W4,(=S"=8〃—I,

当〃》5时，得c0<o,所以d=-。“，

则(二(。1+。2++c4)-(c5+c6++c„)

22

=S4-(S„-S4)=2S4-S„=32-(8«-n)=n-8n+32,

8〃-/J,1V〃V4,(〃eN*)

综上所述：Tn=<

n2-8n+32,〃25,eN")

19.答案：（1）证明见解析

解析：（1）因为4+1=%一，%=M所以q产0,

4+13

所以」_=&tl=J_+J.,所以」—

*2a„2an2氏+1

即(11

2--1=-----1,

an+l2\anJ

-------1

711

因为。1=—,]=_w0,4+i一1

1।一于

3%2-----1

an

所以，1-1是以工为首项,J为公比的等比数列.

2

/c、-c111111

(2)法—：S2n=----------1-----------FH-------------

%%的14。2n

"z、］

易知（-1）"+1。-1是以工为首项，」为公比的等比数歹U,

.\an22

4"-1

3x4"

法二：由⑴，所以?mt]'

所以

⑵口半

解析：（1）如图，因为AB=2CD=8,AB,CD间的距离为4,

所以A（-4,0）,8（4,0）,C（2,4）,D（-2,4）,经过A,B,C,。四点的圆即经过A,

B,C三点的圆，

法一：AB中垂线方程即x=0,6c中点为（3,2）,凝c=¥|=-2,

所以的中垂线方程为y-2=g（x-3）,即丁=3工+（

%=0

联立11,得圆心坐标

y=—x+—

22

网创=J(4—oy+[o—£|=半

所以圆M的标准方程为d65

T

法二：设圆〃的一般方程为炉+'2+m+硝+歹=0（。2+石2—477>0）,

-4D+F+16=0D=Q

代入A(-4,0),8(4,0),C(2,4),4D+F+16=0解得<E=-l

2D+4E+R+20=0F=-16

所以圆M的标准方程为一+|^-=?；

法三：以AB为直径的圆方程为(x+4)(x-4)+_/=0,

直线AB:y=0,

设圆”的方程为(x+4)(x—4)+y+；ly=o,

代入C(2,4),解得;l=—1,

所以圆M的标准方程为x2+h-1

(2)E(-2,0),设圆M上一点F(羽y),

PO=(-x,-y),PE=(-2-x,-y),

因为PE224,所以—x(—2—x)+(—同(—y)>24,

即x2+y2+2x-24>0,

由/+/+2%一2420对应方程为圆了2+/+2%—24=0=(1+1)2+/=25,

所以P点在圆(％+以+/=25上及其外部，

x2+y2-y-16=0

%2+y2+2%-24=0

解得xl-2,x2=4,

所以两圆交点恰为8(4,0),C(2,4),

结合图形，当圆〃上一点纵坐标为;时，横坐标为马=孚〉4,

所以点尸横坐标的取值范围是2,

21.答案:(1)/+/=4

64

（2）存在;H

13，13

解析：（1）圆时化成标准方程为（％-6）2+（y-盯=4,圆心M（6,4）,半径为2,

设圆心C（%o，%），圆C与圆”关于直线/对称,

3

直线/:3%+2、-13=0的斜率为-5,

--4=2

所以