函数的基本性质（单元教学设计）-高一数学（人教A版2019）

3．2函数的基本性质（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．【过程与方法目标】（1）知道判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性．（2）知道求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，体会最值与单调性之间的关系．（3）知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．【情感态度价值观目标】使学生感受学习函数的基本性质的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】第一个问题是建构符号语言描述函数的单调性．在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数时学生已经会从图象的角度观察出“上升”“下降”的变化趋势，会用文字语言“随的增大而增大（或减小）”描述这种规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：，当，都有（或），则称函数在区间上的单调递增（或递减）．这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点．所以，采用“教师示范一学生模仿一熟练运用一抽象概念”的教学方法，即先以初中学习过的具体函数为载体，老师示范如何用符号语言表达函数单调性，再让学生模仿，在具体情境中熟练掌握了符号语言的表达方式的基础上，抽象出单调性的定义，最后用定义证明具体函数的单调性，逐步加深对符号语言的理解．第二个问题是利用定义证明函数的单调性．学生刚开始接触证明单调性问题时，会出现直接写出函数值大小关系或者变形不充分就判断符号等情况．这是因为学生对代数证明的经验不足，对不等式的性质应用不太熟练．教学中要注意循序渐进，先证明简单、熟悉函数的单调性，梳理总结证明的一般步骤，理解代数变形的必要性和基本方法，在获得证明技能的过程中逐步积累活动经验．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约3课时教学重点：用符号语言表示函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性．教学难点：用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值；利用定义证明函数的单调性．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新在上一个单元，我们已经学习了用集合的语言，从对应关系说的角度给出函数的定义，知道了刻画了自变量与函数值之间的对应关系．函数是刻画现实世界中各种各样的变化关系的重要模型，研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而精确地“预测未来”．问题1：在第二章，我们以“运算中的不变性、规律性就是代数性质”为一般观念，来研究等式与不等式的基本性质．类似地，函数的性质指的是变化中的不变性，变化中的规律性．结合初中学习过的几类具体函数，回答以下问题：（1）可以从哪些角度研究函数性质?（2）用什么方法发现函数的性质?【破解方法】学生思考，回答问题，教师点拨．（1）随着自变量的增大，函数值是增大还是减小；有没有最大值、最小值；函数图象有什么特征等．（2）函数图象是直观形象的，可以通过观察函数图象特征，发现函数的性质．环节二、抽象概念，内涵辨析问题2：观察各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗?（1）（2）（3）【破解方法】教师引导学生观察图象特征，说出函数性质．比如：图（1）中图象从左到右是上升的，且关于原点成中心对称；图（2）的图象有升有降，有最高点；图（3）中的函数有升有降，有最低点，且关于轴对称．问题3：如图的图象在轴左侧部分从左到右是下降的，如何从自变量和函数值的数量关系，用数学符号刻画这个特征呢?【破解方法】“从左到右”就是自变量增大，“下降”就是函数值减小，所以得到文字语言：当时，随的增大而减小．在这个基础上进一步引导：自变量由增大到，表明，函数值由减小到，表明；并且蕴含着只要自变量增大了，函数值就会减小的含义，于是得到符号语言：，，当，都有．问题4：通过上述例子给出函数在区间上单调性的符号表述．【破解方法】一般的，设函数的定义域为区间如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增．如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减．【归纳新知】函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．问题5：观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标．思考如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？【破解方法】函数图象最高点的“数”的刻画：我们用函数值刻画一个函数图象的最高点．如果一个点是最高点，那么该函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值．简称为最大值．就函数而言，对函数定义域中任意的x，都有，即函数值是函数的最大值．【归纳新知】函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．问题6：同学们能否列举出一些图象具有轴对称性或中心对称性的函数？能否画出他们的图象？【破解方法】过原点的一次函数、二次函数、反比例函数．问题7：画出函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?【破解方法】学生动手画图，老师引导学生按照列表一描点一连线的步骤画图．在学生列表过程中，教师可以追问：观察解析式的特点，你认为自变量的哪个值必须取?如何取点才能反映这个函数的特征?学生从解析式的特点可以得出，必须取；应该把互为相反数的两个自变量的值同时取上．作出图象后，学生容易发现这两个函数的图象都关于轴对称．问题8：类比函数单调性，你能用符号语言精确表达“函数图象关于轴对称”这一特征吗?【破解方法】老师呈现画图时的表格，学生观察表格并发现结论：在表格中，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．问题9：上述结论对于定义域内的任意都成立吗?请以为例说明．【破解方法】学生经过思考后回答，鼓励学生有不同的说理方法．比如从解析式的角度说明：对于，都有．通过分析我们发现对于，都有；我们称是偶函数．问题10：你能给偶函数下一个定义吗?【破解方法】学生思考并回答，对照教材描述进行检查、完善．【归纳新知】偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．问题11：类比偶函数概念的建构过程，请你观察函数和的图象，你能发现两个图象有什么共同特征吗?你能用符号语言精确描述这一特征吗?【破解方法】学生观察图象，完成教科书第83页的表格，发现两个函数图象都关于原点成中心对称，并用符号语言刻画．我们称，为奇函数．问题12：你能给奇函数下一个定义吗?【破解方法】学生思考并回答，对照教材描述进行检查、完善．【归纳新知】奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．环节三：例题练习，巩固理解题型一：单调性的概念【例1】如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故A项正确；对于B项，因为在上是增函数，所以对于任意的，（），当时，，所以，，所以，当时，，所以，，所以，综述：，故B项不成立；对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立．故选：A．【对点训练1】下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同【答案】C【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则，当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．题型二：函数的单调性的证明【例2】已知函数．判断函数在上的单调性，并证明；【解析】函数在上单调递减；理由如下：取，规定，则，因为，，所以，所以，所以函数在上单调递减．【对点训练2】讨论函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义证明．【解析】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，以下根据函数单调性的定义证明：①设，则，，即，在内是减函数．②设由①知，即，在内是增函数．题型三：求函数的单调区间【例3】已知函数，则的单调递增区间为．【答案】，【解析】当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为．综上，的单调递增区间为，．故答案为：，【对点训练3】定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：（1）函数的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）函数的单调递增区间是；单调递减区间是．【答案】【解析】因为的定义域为，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，且的图象与的图象关于轴对称，所以的单调递增区间是；单调递减区间是；又的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是．故答案为：，，，．题型四：利用函数单调性求参数的取值范围【例4】若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，即，由，有，，所以，由，则，即实数的取值范围是．故答案为：【对点训练4】若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，则，即，同时在区间上恒成立，又在区间上是增函数，所以，即，所以实数a的取值范围是．故答案为：．【对点训练5】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：题型五：求函数的最值【例5】已知函数过点．（1）求的解析式；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明．（3）求函数在上的最大值和最小值．【解析】（1）由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．（2）在区间上单调递增．证明：，且，有．由，得．则，即．所以在区间上单调递增．（3）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为．【对点训练6】求关于的二次函数在上的最小值．【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，当时，二次函数在上单调递增，所以．当时，．当时，二次函数在上单调递减，所以．综上所述，．题型六：函数的奇偶性的判断与证明【例6】判断下列函数的奇偶性，并加以证明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【解析】（1）为奇函数定义域为R，关于原点对称，且，所以为奇函数．（2）为非奇非偶函数，定义域为R，关于原点对称，，且，所以，为非奇非偶函数．（3）为非奇非偶函数，定义域为，不关于原点对称，所以，为非奇非偶函数．（4）为奇函数，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数．（5）为偶函数，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数．（6）为奇函数，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数．（7）为偶函数，定义域为R，关于原点对称．对于，都有，且．对于，，有，．同理可推得，，．综上所述，，都有，所以为偶函数．（8）为奇函数，定义域为R，关于原点对称．对于，都有，且．对于，，有，．同理可推得，，．综上所述，，都有，所以为奇函数．【对点训练7】已知函数，点，是图象上的两点．（1）求，的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．【解析】（1）由题意，，解得．（2）由（1），易得定义域关于原点对称．又，故为奇函数．题型七：已知函数的奇偶性求表达式、求值、求参数【例7】（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．【解析】（1）设，则，∴，又∵函数是定义域为R的奇函数，∴，∴当时，．又时，，所以；（2）∵是偶函数，是奇函数，，∴．则即，解之得．【对点训练8】（1）若函数是偶函数，定义域为，则，；（2）已知，若，则．【答案】07【解析】（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得，又函数为二次函数，结合偶函数定义由，易得；（2）令，则是奇函数，又，可得，所以．又，可得．故答案为：，0，7【对点训练9】已知函数是偶函数，其定义域为，则．【答案】5【解析】因为函数是偶函数，其定义域为，所以，即，又，即，则，所以，则．故答案为：5．题型八：奇偶性与单调性的综合运用【例8】已知函数是定义在R上的增函数，满足（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）若，求x的取值范围．【解析】（1）依题意，，，令，则，所以．（2）函数是奇函数．函数的定义域为R，，令，，即，所以函数为奇函数．（3）由，得，又，因此不等式，而函数是R上的增函数，则有，解得，所以x的取值范围是．【对点训练10】已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明．【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，又，所以即，解得，经检验满足题意，故，．（2）由（1）知，在上单调递增，证明如下：设，则，其中，，所以，即，故函数在上单调递增．【对点训练11】已知函数是定义在上的偶函数，且．（1）求的值；（2）求使成立的实数的取值集合．【解析】（1）由题意可得：，解得，则，可得，则符合题意，所以．（2）因为的定义域为，则，解得，又因为在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，由，可得，则或，解得或，综上所述：或，所以能使成立的实数的取值集合为．环节四：小结提升，形成结构问题13：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）函数单调性的定义是什么，其中有哪些关键点?（2）如何用单调性定义证明函数的单调性?（3）最大值、最小值的定义是什么?其中要特别注意什么问题?（4）求函数的最大值、最小值有哪些方法?（5）奇偶性的定义是什么?奇（偶）函数的定义域有什么特点?（6）判断函数奇偶性的一般步骤是什么?【破解方法】（1）让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念，并明确单调性是函数局部性质，其中的关键词是“任意”“都有”．（2）明确证明单调性的基本步骤，特别要注意对的代数变形的方向和方法．（3）最大值、最小值是函数的整体性质，需要满足两个条件，特别要注意“能取得到”．（4）画出函数图象（如一次函数、二次函数），直接观察图象中的最高点和最低点求解；先判断和证明函数单调性，再求解最大（小）值．问题（5）和（6）让学生回顾本节课的知识技能．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，且，由增函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立．即对实数，“”是“”的充要条件．故选：C2．设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数；【解析】证明：任取，因为在上是单调减函数3．求函数在下列各区间上的最值：（1）；（2