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人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conicsections）．圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系．如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案．圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广．17世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线．本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力．椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用．那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2（图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．MF1F2这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance），焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．OMxyF1F2图3.1-2思考观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？设为2a能为问题研究带来方便．OPxyF1F2图3.1-3OxyF1F2图3.1-4M这个方程也是椭圆的标准方程．你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点．ODPMyx图3.1-5ODPMyx思考由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？OABMxy图3.1

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