2021-2023年全国高考数学典例真题汇编16（新高考模式训练）

2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）16

姓名：班级：

单选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

1.12021-新IWJ考I卷】已知z=2—i，贝!]z（z+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

2.【2021-浙江卷】设集合A={x|x21},B=[x\-l<x<2],则AB=（）

A.{x|x>-l}B.C.|x|-l<x<ljD.1x|l<X<2}

2-i

3.12021-全国新高n卷】复数丁:7在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.【2022-北京数学高考真题】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制

冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和IgP的关系，其中7

表示温度，单位是任尸表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

%-2>0,

5.【2022-浙江卷数学高考真题】若实数x,y满足约束条件2x+y-7W0,则z=3x+4y的最大值是（）

%--2<0,

A.20B.18C.13D.6

6.【2021-浙江卷】如图已知正方体ABC。—A4G2，M,N分别是A。，的中点，贝U（）

、

DCi

A.直线4。与直线R3垂直，直线MN//平面ABCD

B,直线4。与直线平行，直线MN，平面3。。1用

C,直线4。与直线相交，直线MV//平面ABCD

D,直线4。与直线异面，直线平面5。口与

7.12022-全国甲卷数学高考真题】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度

的“会圆术”，如图，A3是以。为圆心，物为半径的圆弧，C是的力8中点，〃在A3上，A3.“会圆术”

2

给出A5的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+宾CD.当。4=2,NAOB=60。时，s=（）

A11-3百口11-4/「9-373n9-4石

2222

22

8.【2021-天津卷】已知双曲线三-斗=1（。>0,6>0）的右焦点与抛物线/=2px（p〉0）的焦点重合，抛

ab

物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、D两点,若|Cp=&|A8|.则双曲线的离心率

为（）

A.72B.73C.2D.3

二.多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）

9.【2021-全国新高n卷】下列统计量中，能度量样本石,4,的离散程度的是（）

A.样本石,々,一，X”的标准差B.样本石,々,・，%的中位数

C.样本石,9，-，毛的极差D.样本和％2,…,X”的平均数

10.12021-全国新高n卷】已知直线/:ax+勿—，=0与圆C：x2+y2=/，点A（a,»,则下列说法正确的

是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

klk

11.【2021-全国新高II卷】设正整数〃=。0,2°+%-2++ak_l-2-+ak-2,其中6e{0,l},记

（y（ra）=%+4++ak.贝!］（）

A.a）（2ra）=ty（ra）B.<»（2w+3）=cy（w）+l

C.co（8n+5）=co（An+3）D.（y（2"-1）=〃

三.填空题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）

12.【2022-北京数学高考真题】函数/（X）=^+J匚1的定义域是.

X

13.【2021-浙江卷】在ABC中，N3=60°,A5=2,M是的中点，4加=26，则AC=，

cosZMAC—.

14.【2023-北京数学乙卷高考真题】我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、

用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{%,},该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且％=1,%=12,2=192,则%=；数列{4}所有项的和

为.

四.解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

15.【2022-天津数学高考真题】在.ABC中，角/、8、C的对边分另U为a,b,c.已知。=a,b=2c,COSA=--.

4

（1）求c的值；

（2）求sin5的值；

(3)求sin(2A—J3)的值.

16.【2022-浙江卷数学高考真题】如图，己知A6CD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸—OC—5的平面角为60°.设弘“分别为AE,5c的

中点.

(1)证明：FN±AD；

(2)求直线与平面ADE所成角的正弦值.

17.【2022-全国甲卷数学高考真题】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，

负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率

分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用才表示乙学校的总得分，求才的分布列与期望.

18.【2023-全国数学甲卷(文)高考真题】已知函数/(x)=ax-上手

COS

⑴当。=1时，讨论/(力的单调性;

(2)若/(x)+siiuyO,求。的取值范围.

22

19.12021-北京数学高考真题】已知椭圆E:=+二=l(a〉6〉0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面

ab

积为4君.

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)过点?(0,-3)的直线/斜率为“，交椭圆£于不同的两点6,C,直线力6,就交尸-3于点从N,直线NC

交户-3于点儿若|掰+|/W|W15,求4的取值范围.

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【参考答案】

1.【答案】c

【解析】

因为z=2—i,故］=2+i，故z（z+z）=（2—i）（2+2i）=6+2i

故选：C.

2.【答案】D

【解析】

由交集的定义结合题意可得：AB={%|l<x<2}.

故选：D.

3.【答案】A

【解析】

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i后将

----=-------------=-----=——，所以该复数对应的点为

l-3i10102

该点在第一象限,

故选：A

4.【答案】D

【解析】

当7=220,尸=1026时，lgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当7=270,尸=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当7=300,尸=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.

当T=360,尸=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

5.【答案】B

答案第1页，共14页

【解析】

当动直线3x+4y—z=。过A时z有最大值.

x=2fx=2/、

由。工7c可得<故42,3,

2x+y-7=0[y=3

故Zmax=3x2+4x3=18，

故选：B.

6.【答案】A

【解析】

连ADlt在正方体ABCD-中，

M是4。的中点，所以V为A2中点，

又N是的中点，所以肱V〃AB,

W平面ABC。,AB<=平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为AB不垂直BD,所以MV不垂直3。

则MN不垂直平面3。。1瓦，所以选项B,D不正确;

答案第2页，共14页

在正方体ABCZ)—AgGDi中，AD】-LAiD,

AB,平面相q£),所以A3,A。，

AD^AB^A,所以A。，平面AB。，

DXBu平面ABDX,所以A,。±DyB,

且直线A。,23是异面直线，

所以选项c错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角

线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7.【答案】B

【解析】

解：如图，连接。C,

因为C是AB的中点，

所以OC_LA5,

又CDLA3,所以O,C,D三点共线，

即OD=OA—OB=2,

又NAOB=60。，

所以AB—OA—OB=2,

则OC=石，故0)=2—6，

所以s=A5+空=2+9一

OA22

故选：B.

答案第3页，共14页

D

8.【答案】A

【解析】

22

设双曲线3-3=1（“>0,6>0）与抛物线丁=2px（p>0）的公共焦点为（c,0），

ab

则抛物线y2=2px（p〉0）的准线为x=-c,

22r2Qr2

令X=-C,则:—4=1,解得y=±幺，所以区剧=三_,

a2b2a11a

又因为双曲线的渐近线方程为y=±—%,所以|CD|=——，

aa

所以竺£=哀更，即°=①，所以/=02一加=餐2,

aa2

所以双曲线的离心率e=f=J5.

a

故选：A.

9.【答案】AC

【解析】

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10.【答案】ABD

【解析】

产

圆心。（0,0）到直线I的距离d=/.,,

答案第4页，共14页

2

若点A（a,"）在圆C上，则标+尸二产,所以d=_^==H，

J"+厅

则直线/与圆C相切，故A正确；

若点A（a,b）在圆C内，则42+〃<产，所以

yja+b~

则直线/与圆C相离，故B正确；

若点A（a,。）在圆C外，则所以d=,,=<,|,

+b2

则直线/与圆C相交，故C错误；

若点A（a,Z?）在直线/上，贝IJ。2+62一「2=0即+/=,，

所以直线/与圆C相切，故D正确.

荷+/।1

故选：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】

对于A选项，60（"）=4+%+,+以,2〃=g,2]+。]•2~++,2”+4•2*1,

所以，a）（2n）=a0+（\++ak=a）[n）,A选项正确；

对于B选项，取〃=2,2n+3=7=l-2°+l-21+l.22，.-.«（7）=3,

而2=0・2°+l-2i，则0⑵=1,即。⑺⑵+1,B选项错误；

34234k+3

对于C选项，8H+5=O0-2+«1-2++iz,-2^+5=1-2°+l-2+iz0-2+tz1-2++ak-2,

所以，。（8%+5）=2+4+q+,+%.，

23fc+2123k+2

4«+3=«0-2+01-2++tzr2+3=l-2°+l-2+tz0-2+a1-2++ak-2,

所以，o＞（4w+3）=2+a0+a1++ak,因此，0（8n+5）=o（4w+3）,C选项正确；

对于D选项，2"—l=2°+2i++2'i,故。（2"-1）=〃，D选项正确.

故选：ACD.

12.【答案】（《,O）D（O,1]

【解析】

答案第5页，共14页

,.1i---1—>0

解：因为/(x)=—+J匚所以〈c,解得XW1且xwO,

\/X["0

故函数的定义域为(T?0)D(0,l];

故答案为：(TRO)D(O』

⑵■噜

13.【答案】(1).2A/13

【解析】

由题意作出图形，如图,

在.ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM-BA-cosB，

1

即12=4+8/092—2BMx2x—,解得5M=4（负值舍去），

2

所以BC=2BM=2CM=8,

在」A5C中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2—2AB-BC-COSB=4+64—2x2x8x1=52,

-2

所以AC=2jF；

AC2+AM2-MC-52+12-16_2如

在中,由余弦定理得cos/MAC=

2AMAC2x2石x2屈—13'

故答案为：2岳;撞9

13

14.【答案】①.48②.384

【解析】

方法一：设前3项的公差为d，后7项公比为q>0,

答案第6页，共14页

4。91921v八

则q=一=—7=16,且q>0,可得q=2,

为12

则为=1+2-=*,即l+2d=3,可得d=l,

Q~

空1：可得%=3,%=%/=48,

«3（1-2，）

空2：q+q+L+%=1+2+3+3X2+…+3x26=3+:?'=384

方法二：空1：因为{4},3W〃W7为等比数列，则d=%为=12x192=48?,

且a“〉0,所以%=48；

2

又因为—a3aq，则。3=~3；

%

空2：设后7项公比为q>0,则]2=e=4,解得q=2,

%

一，口3（q+a3）/a,-aqq3-192x2

可行〃]+%+。3=---------=6,%+〃4+〃5+〃6+%+%+%=---------=-----------=381,

21-q1-2

所以q+W+L+佝=6+381—%=384.

故答案为：48；384.

15.【答案】（1）c=l

（八.R_Vio

（2）sinB-----

4

（3）sin（2A—3）=乎

【解析】

（2）由（1）可求出6=2,再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根据两角差的正弦公式即可求出.

【小问1详解】

因为/=廿+°2-2bccosA，即6=/+。2+,次?，而Z?=2c,代入得6=4c?+c?+c?,解得：c=l.

2

【小问2详解】

答案第7页，共14页

由(1)可求出/?=2,而0＜人＜兀，所以sinA=J1-cos?A=",又一-一=一-一,所以

4sinAsinB

.nbsinA2_4A/10.

smB=--------=-----=-----------

aJ64

【小问3详解】

因为cosA=—士，所以/故0＜5＜乌，又sinA=Jl—cos?A=巫,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos?A-l=2x—-1=--,而sin5=,

{4481684

所以cosB=Vl-sin2B=，

4

故sin(2A-3)=sin2AcosB-cos2AsinB

16.【答案】(1)证明见解析；

(2)"L

14

【解析】

(2)由(1)可知F7VL平面ABCD,过点N做A5平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,NB、NF

所在直线分别为x轴、＞轴、z轴建立空间直角坐标系N-孙z,求出平面ADE的一个法向量，以及BM，即

可利用线面角的向量公式解出.

【小问1详解】

过点E、O分别做直线。C、A5的垂线EG、DH并分别交于点交于点G、H.

:四边形ABCD和/都是直角梯形，ABIIDC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

/BAD=Z.CDE-60°,由平面几何知识易知，DG=AH=2,AEFC—NDCF-NDCB=AABC—90°,

则四边形MCG和四边形OCB〃是矩形，...在Rt一EGD和Rt.DH4，EG=DH=26,

•：DC±CF,DCLCB,且CFcCB=C,

..•。。，平面5。£/8。/是二面角尸—。。—3的平面角，则/86=60，

...△BCE是正三角形，由£)Cu平面ABCD,得平面ABCD,平面

答案第8页，共14页

是的中点，.­••，5。，又。。，平面8。P，TWu平面86,可得FN_LC。，而BCcCDnC,

；.FN_L平面ABCD,而ADu平面ABCD「.FN_LA£）.

【小问2详解】

因为F7VL平面ABCD,过点N做A3平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NF所在直线分别为

x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-孙z,

(百3

设A(5,6,0),5(0,6,0),D(3,-A0),E(l,0,3),则加3,—,-

(n八

BM=3,--,-,AD=(-2,-273,0),DE=(-2,^3,3)

(22)

设平面ADE的法向量为n=（x,y,z）

n-AD=Q—2x—=0

由＜，得取〃=扬，

n-DE=0—2x+y/3y+3z=0

设直线BM与平面ADE所成角为6,

5石

sin0=|cos(n,BM)^=

|n|BM|y/7-2^3~14

17.【答案】（1）0.6；

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【解析】

（2）依题可知，X的可能取值为0/0,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小问1详解】

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为

答案第9页，共14页

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小问2详解】

依题可知，X的可能取值为0/。,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6*0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

18.【答案】(1)“力在上单调递减

(2)a<Q

【解析】

⑵法一：构造函数g(x)=/(x)+sinx,从而得到g(x)<0,注意到g(0)=0,从而得到g'(0)W0,进而

得到a<Q,再分类讨论a=0与a<0两种情况即可得解；

einX

法二：先化简并判断得sinx——厂<0恒成立，再分类讨论a=0,a<0与a>0三种情况，利用零点存在定

cosX

理与隐零点的知识判断得a>0时不满足题意，从而得解.

【小问1详解】

因为a=l,所以/(x)=x—嬴ypxepij,

…,cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinx«cos2x+2sin2x

则/(x)=1----------------------―---------------=1-------------3--------

cosXcosX

答案第10页，共14页

32232

_cosx-cosX-2(1-COSX)_COSX+cos%2,

―3-3

COSXCOSX

令t=COSX,由于所以1=COSX£(0,1),

所以cos3%+cos2x—2=，3+»—2=/—干+2t2—2=金—1)+2(%+1)(Z一1)=(产+2/+2)(，一1),

因为产+2%+2=(1+1)+1>0»才一1<0,cos3x=t3>0>

所以,(X)=COSS』’—<0在［o,［上恒成立，

cosX\L)

所以在［e)上单调递减.

【小问2详解】

法一：

构建g(x)=/(x)+sinx=ax-+sinx^0<x<］］，

2

eft\1+sinx(兀)

则g(%)=〃-----z——+cosx0<x<—,

cosxI2)

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(0)+sin0=。，

则g'(O)=Q—1+1=Q<。，解得〃<0,

,,「，.sinx.乙1、

当〃=0时，因为smx----=smx1-----厂，

cosX卜cosX)

又所以0<sinx<l,0<cosxvl,则一>1,

V2)cosx

sinx

所以/(%)+sin%=sin%....-<0,满足题意；

cosX

TT

当4<0时，由于0<%<不，显然以<0,

2

UL”\•sinxsinx八田口由*

所以/(x)+smx=«x-----——Fsinx<sin%----<0，满足题忌;

cosXcosX

综上所述：若/a)+sinx<0,等价于aW0,

所以。的取值范围为(-8,0］.

答案第11页，共14页

法二:

因为.sinx_sinxcos?%—sin%_sin%(cosx-lj_sir?%.

SinX2——2-2-2-'

COSXCOSXCOSXCOSX

因为XE［。,］),所以Ovsinxvl,0<cosx<L

故sin%—上竽<0在(0,上恒成立，

COSX\2)

sinx

所以当a=0时，f(x)+sinx=smx----—<0,满足题意；

cosX

JT

当。<0时，由于0<%<不，显然以<0,

2

by£(\•sin尤sin九八田口旧土

所以/(%)+smx="X-----——I-sin%<sinx-----<0,满足题意；

cosXcosX

••3

当a>0时，因为/(%)+sinx=ax-SmX+sinx=ax-SmX,

cosxcosx

A/\sin3xf兀),(、3sin2xcos2x+2sin4x

令g(x)=QX----—0<x<-,贝!Jg［%)=a----------------------,

cos%I2J'，cos3x

件上“八、3sin20cos20+2sin40八

汪意到g'(0)=a--------------------二a〉0,

若V0<x<］,g'(x)>0,则g(x)在［W［上单调递增，

注意到g(O)=O,所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不满足题意；

,

30<x0<|,g(x0)<0,则g〈O)g〈Xo)<O,

所以在,或］上最靠近x=0处必存在零点Xi使得g'(%)=0，

此时g'(x)在(0,$)上有g'(x)>0,所以g(x)在(。,石)上单调递增,

则在(0,可)上有g(尤)>g(o)=o,BP/