2024年中考数学 二次函数中的10类定值、定点问题（含答案）

高考复习材料

二次函数中的10类定值、定点问题

二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊,

同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数

功底与几何功底都有较高的要求.

■CT"题型•解读/

知识点梳理题型五比值为定值

一、定值问题2024年广西钦州市一模

二、定点问题2024福建厦门一中模拟

2024年福州市屏东中学中考模拟

题型一面积定值

武汉•中考真题

2024•山东淄博・中考真题题型六横（纵）坐标定值

2024•福建厦门三模

2024•湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田•中考真

题型二线段长为定值

题

2024届湖北天门市九年级月考2024届湖北潜江市初12校联考

2024届福建龙岩市统考期中题型七角度为定值

2024•西藏•中考真题

2024•成都武侯区西川中学三模

题型二线段和定值

四川乐山•统考中考真题

2024广州市二中月考题型八其它定值问题

2024・四川巴中・中考真题

•浙江湖州•统考一模

2024届湖北黄石市•九年级统考2024

2024•四川乐山・统考二模2024届福建省南平市统考

2024•海口华侨中学考模2024年湖北省武汉市新观察中考四调

2024•江苏徐州-4月模拟题型九结合韦达定理求定点

2024•湖南张家界•中考真题

2024年湖北省武汉市外国语学校中考模拟

题型三加权线段和定值2024届武汉市青山区九年级统考

2024・四川广元・中考真题2024届武汉市新洲区12月统考

2024•四川德阳•中考真题2024届•福建厦门市第九中学期中

2024•武汉光谷实验中学中考模拟

题型四线段乘积为定值

2024广东省梅州市九年级下期中

2024・四川南充・中考真题2024届福州市九校联盟期中

2024届•武汉市东湖高新区统考2024年湖北省武汉市新观察中考四调

2024届福建省福州屏东中学月考题型十已知定值求定点

2024届福州市晋安区统考

2024•福建福州•校考三模2024届武汉市洪山区九年级统考

2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中

2024年广州市天河外国语学校中考三模

满分•技巧/

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知识点梳理

一、定值问题

一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用：

1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量（如线段长，点坐标）作为参数,将要求的定值

用参数表示出，然后消去参数即得定值。

2.韦达定理法：当涉及到直线（一次函数图象或x轴）与二次函数交点时，先联立方程消去y之

后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数

式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。

简单的引例1如下：若线段/B=x+2,线段PQ=-x+7,那么力B+PQ=x+2—x+7=9;即线段

45与线段PQ的和等于9,是一个定值.

简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y=x2—2（m+1）x+m（m+2）的图象

与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y=0,可以求得方程的两个实数根分别为xl=m,

x2=m+2,则两个交点之间的距离d=xl—x2=\m—m—2\=2,是一个定值

二、定点问题

函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变

化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。

方法：使待定的系数A失去影响力

【例】证明：无论左取何值，抛物线了=/+依-3左都经同一定点.

第一步：先找出所有含人的项，再提公因式A

y=x2+kx-3k=x2+上（x-3）

第二步：令与4相乘的因式为0,此时人就不起作用了

令工一3=0,此时y=兀2+左（工一3）=9

在一个函数中，知x可求修这个坐标就是定点，故无论左取何值，函数都经过定点（3,9）

总结：因为当x取某个值时，使含左项全部抵消了，即人不起作用了！

【例2】（2024•山东日照真题）在平面直角坐标系*分中，已知抛物线尸-*2+2g+3%，点Z（3,

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证明：无论股为何值，抛物线必过定点O,并求出点。的坐标；

【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=-x2+m(2x+3),进而根据2%十3=0,求得x的值.

39

【详解】证明：,.,y=-N+加(2x+3),・,・当2x+3=0时，即、=—时，y=—,

24

无论m为何值，抛物线必过定点。，点D的坐标是［-5,

【例3】(2024•江苏连云港•真题)已知二次函数歹=d+(m-2)x+m-4,其中冽＞2.求证：二次函

数歹=7+(m—2)x+加—4的顶点在第三象限

2-m—m2+8m—20

【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为,然后分别证明顶点坐标

24

的横纵坐标都小于0即可;

2—m—m2+8m-20

【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为

24

2—YYI

*.*m>2,m-2>0,2-m<0,-------<0.

2

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m

+8加20=_j_(加―彳了-1<-1<O,・,•二次函数+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限.

44

题型一面积定值

2024•山东淄博•中考真题

1.如图，抛物线y=-N+bx+c与x轴相交于4,2两点(点/在点2的左侧)，顶点。(1,4)在

4

直线/：y=-x+t±,动点P(m,?7)在x轴上方的抛物线上.

(备用图)

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)设直线NP,AP与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以4,F,B,G(G是点E关于x

轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面

积；若变化，说明理由.

【答案】(1»=-/+2^+3

(2)定值16

【思路点拨】(1)利用顶点式可得结论；

(2)如图，设加2+2机+3),求出直线4P,AP的解析式，可得点E,尸的坐标，求出PG的

长，可得结论.

【详解】(1)解：•.•抛物线的顶点为。(1,4),

根据顶点式，抛物线的解析式为y=-(x-l『+4=-x2+2x+3；

(2)解：四边形NF5G的面积不变.

理由：如图，设尸(加,-加2+2加+3),

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♦./(TO),5(3,0),

直线AP的解析式为了=-(m-3)x-〃7+3,

E(1,-2加+6),

,:E,G关于x轴对称，

Z.G(1,2m-6),

直线PB的解析式为y=-(m+l)x+3(机+1),

.-.F(1,2m+2),

GF=2m+2—(2m-6)=8,

四边形AFBG的面积=」x48x尸G='x4x8=16,二四边形AFBG的面积是定值.

22

2024•福建厦门三模

2.已知抛物线y=。尤2_6ax经过点.

Ox

(1)求抛物线的解析式及其顶点£的坐标.

(2)将点A向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点8,若点尸为抛物线上的一个动点，则以

线段FS为直径的圆与直线y=?29交于点C,D,VECZ)的面积是否为定值？若是，求出它的值；若

不是，请说明理由.

【答案】⑴了=*+6x,(3,9)；

(2)是，匝.

16

【思路点拨】(1)待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出点E的坐标；

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⑵平移得到点B的坐标，设厂(。))，两点间的坐标公式得到即2=(a_3)2+伍-7)2=9-6+伍-7)2,

中点坐标公式，得到8月的中点M的坐标为进而求出点M到直线的距离，利

用垂径定理，得到(三)+废=1号]，求出C0的长，再求出点£(3,9)到直线的距离，然后

利用面积公式进行求解即可.

【详解】(1)解：将点/。⑸代入>=a/一6办得，a-6a=5f

u=-1,

y=-x2+6x,

y=-x2+6x=-(x-3)2+9,

，函数的顶点E的坐标为(3,9).

(2)由题意得，5(3,7),设厂(〃))，则6=—/+6。=—(Q—37+9,

SF2=(a-3)2+(/>-7)2=9-/?+(Z>-7)2,8尸的中点坐标为(号■，三2],记为点M,

_,、29,.,,7+62926-15

.•.点M到直线y=二的距离为d=丁——-=--一，

4244

由垂径定理得，[y]+/=(等)，；.=8产=9一6+伍一7)，:.CD。=：,/.

CD=乎,,点£(3⑼到直线y=彳的距离为/?=9-?=：,

SAECD=-CD-h=-x^-x-=^-,：.MECD的面积为定值.

由22241616

题型二线段长为定值

2024届湖北天门市九年级月考

3.如图，已知抛物线>=—/+加工+掰—2的顶点为/,且经过点8(3,-3).

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(1)求顶点/的坐标；

(2)如图，将原抛物线沿射线。/方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C,。两点,

请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请

说明理由.

【答案】⑴。,1)

(2)72,过程见解析

【思路点拨】(1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

(2)根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与CM的解析式，可得C、。点的横坐标，根

据勾股定理，可得答案.

【详解】(1)解：把8(3,-3)代入>=一/+M+加一2得：

-3二—9+3冽+加一2,

解得m=2,

••y——+2x=-(x-1)+1,

顶点N的坐标是(1,1);

(2)在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值，

设直线04的解析式为y=&，把点/的坐标(1」)代入得，l=k,

直线ON的解析式为y=x,

可设新的抛物线解析式为y=-(x-<7)2+a,

联立卜=一—4+“，

y=x

-(X-Q)2+a=x,

x1=a,x2=a-1f

再一%二Q—(Q—1)=1,

/.必=a,y2=x2=a-1f

J必一%=1,

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即C、。两点的横坐标的差是1,C、。两点间的纵坐标的差为1,

CD=-X2)~+(%-%)=J1"+1~=^2,

在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值.

2024届福建龙岩市统考期中

4.已知，抛物线N=；x2+6x+c的对称轴为直线x=2,抛物线与无轴的另一个交点为N,顶点为

B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，设直线＞=履-2左(厚0)与抛物线交于C,。两点，点。关于直线x=2的对称点为。外直

线C。'与直线x=2交于点P,求证：3尸的长为定值.

1。

【答案]⑴y=—2x

⑵点P(2,-4)为定点，3尸为定值2

【思路点拨】(1)根据题意利用待定系数法求解即可；

(2)根据题意联立两个函数得出。()+2+J\~+4,左""+左，左~+4),。(左+2—J左~+4,42'—

再由题意确定直线CD的解析式，即可求解.

【详解】(1)解：,•,抛物线的对称轴为直线x=2,过原点，可得，

c=0

A[C=0]

一二=2;解得LC；即解析式为：J=-X?2-2X.

2,"22

12

(2)C,D为y=kx-2k与抛物线的交点,

y=kx-2k

v]2；

y=-x-2x

12

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.-.ck+2+扬+4,>+左“2+4),。,+2-J左2+4,左2_后“2+4),

f21

Z)C与。关于直线x=2对称，得：D(2—k+yjk+4,k—ky[k^+4

设直线CQ'的解析式为：y=mx+n,

k+2+“2Tm+n-k2+ky/k2+4

22

2-k+m+n=k-ky/k+4

图(2)

即直线CD'的解析式为：Y=VF+4X+-2VF+4-4,

当x=2时，y=-4..•.点P(2,-4)为定点，3P为定值2.

2024•西藏・中考真题

5.在平面直角坐标系中，二次函数y=：N+6x+c的图象与x轴交于/(-2,0),8(4,0)两点，交y

轴于点C,点尸是第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图乙，过4B,P三点作。过点P作尸轴，垂足为。，交。”于点E.点尸在运

动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求。£的长.

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【答案】⑴y=gN-x-4;⑵尸(3,-1);(3)没有变化，2

1。

【思路点拨】(1)由二次函数了=5一+反+。的图象与x轴交于/(_2,0),3(4,0)两点，可得二次函

数的解析式为1=；(x+2)(x-4),由此即可解决问题.

(2)结论：点尸在运动过程中线段DE的长是定值，DE=2.根据根据方程求出f,再

利用中点坐标公式，求出点£的纵坐标即可解决问题.

【详解】解：(1)••,二次函数y=+c的图象与x轴交于4(一2,0),8(4,0)两点，

二次函数的解析式为y=5(X+2)(X-4),

„12，

即y=—x-x-4

(2)结论：点尸在运动过程中线段。£的长是定值，DE=2.

理由：如图乙中，连接NM,PM,EM,设N(1J),P[m,1(m+2)(m-4)],E(m,n).

乙

由题意4一2,0),AM=PM,

次+/=(…2+[*+2)(…)一日

解得t=l+；(加+2)(加-4),

n+—(m+2)(m—4)

...ME=PM,PEVAB,

2

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二.〃=2/—；(加+2)(加-4)=2[1+；(加+2)(加—4)]--i(m+2)(加-4)=2,:.DE=2,

.,.点P在运动过程中线段的长是定值，DE=2

题型二线段和定值

2024广州市二中月考

1,

6.已知抛物线>与无轴交于/、2两点，顶点为C,连接3C,点尸在线段3C下方的抛物

4

线上运动.

如图，直线P4,尸8分别与了轴交于点E,F,当点尸运动时，OE+。尸是否为定值？若是，试求出

该定值；若不是，请说明理由.

【答案】当点P运动时，OE+。尸为定值，定值为8.

【思路点拨】当点P运动时，OE+。尸为定值.如图，过点P作尸/_L/3,交43于点I,同(1),

110A4

令尸(见一加2-4),贝1J尸/二-一疗+4,可证VOAE:VL4P得OE=——骐=----IP,同理，VBIP:VBOF,

44L4m+4

OR444.321.

得OF=-glP=--IP,于是0E+OF=(--+--)IP='(--z«2+4)=8.

BI4-mm+44-mm-164

【详解】解：当点P运动时，。£+。尸为定值.

如图，过点P作尸/_L48,交48于点I,同(1),令尸(加,5/-韦，贝|尸/=-；/+4

,/BAOE=BA1P=90°,DOAE=DIAP

.・.\JOAE:\JIAP

.OE_OA

t9lp~1A

r)A4

/.OE=——g/P=-------IP

IAm+4

同理YBIP:YBOF—=—

'''rOFBO

：.OF=-g^=-^—IP

BI4-m

44_3?1

/.OE+OF=(-------+-------)IP=-------'(--m2+4)=8.

m+44-mm-164

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2024•四川巴中•中考真题

7.如图1，抛物线y=a/+2x+c,交x轴于/、8两点，交7轴于点C,尸为抛物线顶点，直线跖

垂直于x轴于点E,当丁之。时，74x43.

图1图2

（1）求抛物线的表达式；

⑵点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点尸作x轴的垂线交抛物线于点。，如图2,直线

AD,8。分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这

个定值；如果不是，请说明理由.

【答案】（1）_V=-X2+2X+3

（2）©4;②是，定值为8,理由见解析

【思路点拨】（1）由当了20时，-1WXW3,可知玉=-1,X2=3是狈?+2x+c=0的两根，代入方程

可得a,c从而得解；

（2）①把x=2代入抛物线解析式可得。点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得C点坐标，

从而得知线段C0〃x轴，利用配方法可知点尸坐标，从而利用

,四边孙CFD=S^FCD+SAACD=—CD（^yF-yA）求面积；

②设。（加，-/+2m+3）（1＜加＜3）,用待定系数法求出直线4D与直线BD的解析式，再令x=1得加，

yN,从而得出ME,NE的长,从而得到NE+Affi是定值8.

【详解】(1)解：•.,当了“时，-14x43,

/.xi=—lf/=3是QX?+2x+°=o的两根，4(-1,0),8(3,0),

[Q—2+c=0—0

,解得：〈,二•抛物线的表达式为：y=—x+2x+3；

[9a+6+c=0[c=3

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又当x=0,歹=3,...0(0,3),.•.线段S〃、轴.

=22

'''y~^+2x+3=—(X—I)+4,/.F(l,4),S四边形ZCFQ=S&co+Sa/co=^CD(yF-yA)=4；

②设Z)(加，—加2+2m+3)(1<加<3),

直线AD:y=kxx+a,BD:y=k2x+b2,

因此可得：

Jo=—k[+byf0=3k2+Z)2

22

[-m+2m+3=k{m+bxy—m+2m+3=k2m+b2

f左=3一加[k.=—l—m

解得：U2或k22，直线4D:y=(3-Mx+(3-"),

[4-5-m[o2=3m+3

BD:y=-(m+l)x+3。*+1).

令x=l得=6-2机，>N=2机+2,;.ME=6-2m,NE^2m+2,:.NE+ME=8.

2024届湖北黄石市•九年级统考

8.如图，抛物线尸加+6x+c过点4(一1,0),点8(3,0),点C(0,3),直线I为该二次函数图象的对

称轴，交x轴于点£

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图1图2

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点。为x轴上方二次函数图象上一动点，过点。作直线N0，8。分别交直线/于点N,在

点。的运动过程中，皿+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(l)y=-x2+2x+3

⑵是定值，值为8

【思路点拨】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)设0(加，一加之+2加+3),直线4。的解析式为广左(％+1),将0(加一加2+2加+3)代入歹=左(％+1)

得，一加2+2机+3=左(加+1),解得，k=3—m,则/。的解析式为＞=(3-加)(x+l),当％=1时，

y=2(3-m)=6-2m,则河(1,6-2加)，即〃石=6—2加，同理可得，NE=2m+2,然后求解作答即

可.

【详解】(1)解：将4T0),点5(3,0)，点。(0,3)代入》="2+及+。得，

a-b+c=0a=-1

9〃+36+。=0,解得，＜b=2,y=-x2+2%+3；

c=3c=3

-1+3

(2)解：由题意知，抛物线对称轴直线/=---=1,

如图I,连接BB'交4D于R,

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图1

由翻折的性质可知，AB'=AB=4,R为BB'的中点,

设3'(1,〃)，则£(1,0),AE=2,B'E=n,

222

由勾股定理得,AB'=AE+B'E,即42=22+/,

解得，〃=26或〃=-(舍去)，

.•.映,2⑹,则网2,⑹,

设直线4。的解析式为歹=云+"，

将4(T,0),R(2,6)代入得，

k=-

-k+b'=0

解得，,

2左+〃=百

b'=

(3)解：设以加，一加之+2冽+3),直线/Q的解析式为>=左'(％+1),

将以加，一加2+2加+3)代入y=左'(工+1)得，

-m1+Im+3=k'^m+1),

解得，k'=3-m,

：.的解析式为y=(3-加)(x+l),

当x=l时，y=2(3—机)=6-2加，

则”(1,6-2⑹,即Affi=6-2加，

同理可得，直线2。的解析式为>=-(m+l)(x-3),

当x=l时，y=2(加+1)=2加+2,

则N(l,2〃?+2),即NE=2机+2,

:.ME+NE=8,

+的值为定值，定值为8.

2024•四川乐山•统考二模

9.如图，已知二次函数了="2+区+4的图像与x轴交于N(-2,0),8(4,0)两点，与7轴交于点C,

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抛物线的顶点为。，点P是X轴上方抛物线上的一个动点，过P作尸轴于N,交直线3。

(1)求二次函数表达式及顶点。的坐标;

(2)设抛物线对称轴与x轴交于点连接4P交对称轴于连接8尸并延长交对称轴于尸，证明

HE+HF的值为定值，并求出这个定值.

【答案】(1)二次函数的表达式为y=-gY+x+4,顶点。的坐标为

(2)见解析，这个定值为9

【思路点拨】(1)将8点代入二次函数表达式中求得。、6的值即可确定函数解析式，然后再化

成顶点式即可确定顶点D坐标；

(2)如图，过点尸作尸G_Lx轴于点G,设点P的坐标为，,-g〃+/+4),再说明PG〃。打可得

“EHAHPGBG9,,丘”AHPG

\AHE-.\AGP,NBGP-.ABHF,艮口---=----,---=----；进而仔至EH=-------------

PGAGFHBHAG

BHPG；然后分当点G在8〃上和上两种情况，分别叫+FH的值即可解答.

FH=BG

【详解】(1)解：•••4-2,0),2(4,0)在二次函数的图像上，

...将4,8点代入二次函数表达式中，

1

4"+(-2)H4=。a=—

得2

16〃+4b+4=0

b=l

二・二次函数的表达式为J7=+X+4,将其化为顶点式为＞=—'(X—I)+—,

・•・顶点。的坐标为

(2)解：如图，过点尸作尸G_Lx轴于点G,设点尸的坐标为

*.*DH_Lx轴于点H,

：.PG//DH,

：.\AHE:\AGP,ABGP:ABHF,

.EH_AHPGBG

••花一芯'丽—曲’

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当点G在即/上时,

1

•：AH=BH=3,AG=t+2,BG=4-t,PG=--t29+t+4,

PGPG/A\4-/+/+2

：.EH+FH=3----+-----=3-(Z+2)(/-4)-------------=9.

t+24-t'八々+2)(4T),

同理：当点G在上，由抛物线对称性可知，结果相同.

综上可知，HE+HF的结果为定值，且这个定值为9.

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10.如图1，抛物线了="2+&+3交x轴于点/(TO)和点8(3,0),交于y轴点C,尸为抛抛物线

顶点，点。(2,3)在抛物线上.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式

⑵直线所垂直于x轴于点£,点尸是线段上的动点(除3、£外)过点尸作x轴的垂线交抛物

线于点。，连接。4。。,如图2,直线5。分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问：EM+EN

是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由.

【答案】(l)y=-x?+2x+3

⑵EN+EN是为定值，定值为8

【思路点拨】分//。。=90。或40。=90。两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；

【详解】⑴：抛物线y=o%2+6x+3经过点2(3,0),

高考复习材料

/〃一

"［9a+63+b3+=30=0,解存j］(7人==-21

该抛物线的函数表达式为：y=~x2+2x+3；

(2)设。(加，一次2+2加+3),

由4、。的坐标得，直线4。的表达式为：》=-(加一3)(%+1),

当x=］时，y=-2(m-3)=-2m+6=EM；

由点5、。的坐标得，直线8。的表达式为：y=-(加+1)(%-3),

当x=l时，y=2m+2=EN

则EM+EN是为定值，定值为8.

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11.如图，已知抛物线＞=经过点z(4,o)和5(1,⑼点，其对称轴交x轴于点X,点C是抛物

线在直线48上方的一个动点(不含45两点)

A

X^

H/

/

/

备用图

⑴求a,m的值;

(2)若直线4C、0c分别交该抛物线的对称轴于点E、R试问£〃+尸〃是否为定值，若是，请求出

该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)。=4,加=3

(2)是定值，8

【思路点拨】(1)用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；

(2)求出直线ZC的表达式为：歹=T(%-4),直线CO的表达式为：歹=(T+4)X,即可求解.

【详解】(1)解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4a,解得：。=4,

即抛物线的表达式为：y=-x2+4x,

当x=1时，y=-x2+4x=3,即点8(1,3),即加=3,

故。=4,m=3；

(2)是定值，理由：

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设点C(t,-t2+40,

由点A、C的坐标得：直线/C的表达式为：歹=-《工-4),

当x=2时，y=2t,即点E(2,2f),则E〃=2t,

由点。的坐标得，直线CO的表达式为：y=(T+4)x,

当x=2时，y=(T+4)x=-2,+8,即点尸(2,-2(+8),则F"=—2/+8,

贝寸印+FH=2f-2f+8=8,为定值.

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12.如图，己知抛物线＞="2+及+3(。*0)的图像与》轴交于/。,0),8(4,0)两点，与V轴交于点

。，点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标；

(2)抛物线的对称轴与x轴交于点尸，点G是点尸关于点。的对称点，点0是x轴下方抛物线图像上

的动点.若过点。的直线/：＞=履+机(阳＜》与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GN、GB相

交于点以、K,求证：G/7+GK为定值.

【答案】(1)〉=13/-1-5x+3；顶点为。弓5,-?-■7)

44216

(2)见解析

【思路点拨】(1)设二次函数表达式为：歹=”+旅+3,将2(1,0)、5(4,0)代入歹=办2+乐+3,进

3o15

行计算即可得》=—xX+3,根据二次函数的性质即可得；

44

597Q

(2)根据对称的性质得G(于-不)，根据直线/：歹二履+机(阳＜/与抛物线图像只有一个公共点，

即可得加="4一(4左+151利用待定系数法可得直线G/的解析式为：y=-gx+g,直线G5的解

4844

高考复习材料

尸出1丝7（纱+15.

析式为：y=:x-9,联立9948，结合已知用＜：，解得：有卫，同理可

4左+39

得：XK~,运用三角函数求出G4,GK即可得.

12

【详解】（1）解：设二次函数表达式为：y=ax2+bx+3,

将2（1,0）、8（4,0）代入歹="2+取+3得：

_3

a+b+3=0"-4415

1久AkQ八，解得，］，抛物线的函数表达式为：尸尸厂+3,

16。+4/?+3=015

7b=——

I4

154ac-〃=4XJX3-(-5=上

bT2

又•・・

2a24a4x-16

4

・•・顶点为。弓5,-27）；

216

5527

（2）解：..•点尸（不0）关于点。（二-/）的对称点为点G,

2216

9

•.・直线/:尸质+m（\k\＜彳）与抛物线图像只有一个公共点，

315

—X2---x+3=kx+m只有一个实数解,

44

即：［-（y+W-4x|.（3-m）=0,

解得：加「44…1»,

48

999

利用待定系数法可得直线GZ的解析式为：尸-,+:，直线G5的解析式为：j/=-x-9,

444

厂丘十144-(：’1»

Q

联立，结合已知此“

99

y=——x+—

44

44+21同理可得：以=”产，

解得：XH=

12

则：弓一⑴-5很+219，(/一，)4左+395历，

sinZAGP2124sin/BGP1224

厂口15,54k+21、V97「4左+395、屈3扃

，GH+GK=(--------)x-------+(---------------)x------=--------，

212412248

.•.G//+GK的值为秒7.

8

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题型三加权线段和定值

2024•四川广元•中考真题

13.如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数了=加+区+4的图象与x轴交于点/(-,20),

8(4,0),与了轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图2,尸为第一象限内抛物线上一点，连接AP交了轴于点连接3尸并延长交了轴于点N,

在点尸运动过程中，OM+goN是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

1

【答案】9+x+4

(2)OM+^ON=6,理由见解析

【思路点拨】(1)待定系数法求解析式即可；

(2)先求得抛物线的对称轴为直线x=l,设/与x交于点G,过点E作于点。，证明

NDFG4GBF,设厂(1,加)，则。£=1+加，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,进而得出E点的坐

标，代入抛物线解析式，求得加的值，同理可求得当点?在x轴下方时的坐标；当£点与A点重合

时，求得另一个解，进而即可求解；

【详解】(1)解：将点/(一2,0),5(4,0),代入了="2+队+4

]4"26+4=0a=--1,

得M“C，解得：12,.•.抛物线解析式为了=-？2+》+4；

16〃+46+4=0712

i[b=[

(2)设P(s"),直线"的解析式为歹=去+7,5尸的解析式为y=g%+〃，

♦.•点/(一2,0),5(4,0),尸(s,/),

.f-2d+f=0j4g+/z=0

，・[sd+f=t'\sg+h=t

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dg

解得：〈s+25-4

2t4Z

h=

s+24-s

2t、t4/

直线/F的解析式为y=----XH,BP的解析式为y=---xH--------,

s+2-----s+25-44-5

2t,当x=°时,T，即小2t

对于V=----x-\

s+2