2024年江苏省宿迁市九年级下册中考数学模拟试题

2023-2024中考模拟练习（1）

九年级数学

（考试时间：120分钟总分：150分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在所给出的四个选项

中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题

卡相应位置上）

1.2024的倒数是（）

A.-2024B.2024C.------D.------

20242024

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上

B.明天一定会下大雨

C.装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球

D.投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2

3.据国家统计局数据，2023年中国国内生产总值约1260000亿元.将1260000用科学

记数法表示为（）

A.0.126xl07B.1.26xl07C.0.126xl06D.1.26xl06

4.王华记录了某市一周的最高气温，气温数据如下表所示，则这组数据的中位数和众

数分别是（）

星期一二三四五六H

温度（℃）23252422252425

A.22℃,25℃B.25℃,22℃C.24℃,25℃D.25℃,24℃

5.《九章算术》是我国古代数学名著，卷7“盈不足”中有题译文如下：现有一伙人共同

买一个物品，每人出8钱，还余3钱每人出7钱，还差4钱，问有人数、物价各是多少?

设物价为x钱，根据题意可列出方程（）

x+3x—4x—3x+4

A.8x+3=7x-4B.——=——C.8x-3=7x+4D.-------=-------

8787

a-l<x<a+2

6.不等式组｛々的解集是3<%<。+2,则。的取值范围是（）

3Vx<5c

A.a>\B.a<3C.3Vl或〃>3D.\<a<3

7.如图，在以。为原点的直角坐标系中，矩形的两边OC、6M分别在x轴、y

试卷第1页，共6页

轴的正半轴上，反比例函数，=。（工>0）与48相交于点。，与相交于点£,若

BD=3AD,且AODE的面积是9,贝|左=（）

8.在平面直角坐标系中，已知平行四边形48c。的点、点2（3加,4加+l）（m/-1）,

点C（6,”）（">0）,以8。为直径画圆，则圆的面积的最小值是（）

A.3乃B.4〃C.9兀D.12乃

二、填空题（本大题共10小题.每小题3分，共30分.请将答案填在横线上）

9.分解因式：（x+2）x-x-2=.

10.若分式」的值为0,则X的值为___.

x-1

11.已知圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,则这个圆锥的侧面积为.

12.已知命题如下：甲组数据11、12、13、14、15与乙组数据91、92、93、94、95的

方差相等.该命题是命题（填“真”或"假"）.

13.已知一个多边形的内角和为540。，则这个多边形是边形.

14.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,AC=3石米，坡顶有一旗杆

BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度

为—,

B

4-1

15.如果关于x的分式方程^—=2无解，那么。的值是

1-X

试卷第2页，共6页

16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数了=左（工-1）的图象分别交x轴，y轴于/,B

两点，且08=204,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45。，交无轴于点C,则直线8c

的函数表达式是—.

17.如图，在中，ZA=S0°,半径为3cm的。。是“3C的内切圆，连接03、

0C,则图中阴影部分的面积是cm2.（结果用含兀的式子表示）

18.如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把4PAB沿着PA翻折得到aPAE,

过C作CF1DE于F,若CF=2,贝I]DF=

三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答

时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算：V8-(^-3)°+|-1j+|l-V2|+2tan60°.

2x

20.先化简，再求值:其中X是方程x2-6x+8=0的一

X2-16X-4yx+8x+16

个根.

21.为了丰富同学们2023年的课余生活，某校拟举行“亲近大自然”户外活动，现随机

抽取了部分学生进行主题为‘你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从学校周

边的“A（植物园），B（花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择

一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.

试卷第3页，共6页

(1)求本次调查的样本容量.

(2)补全条形统计图.

(3)若该校共有3600名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数.

22.如图，将口48co的边48延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边3c于点尸.

(1)求证：4BEF34CDF.

(2)连接2D,CE,若4BFD=2U,求证四边形2ECD是矩形.

23.在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男

生和2名女生获得音乐奖.

(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率

为一;

(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图

求刚好是一男生一女生的概率.

24.某种落地灯如图1所示，22为立杆，其高为84cm；3c为支杆，它可绕点8旋转,

其中3C长为54cm；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度.支杆3c与悬杆OE之

间的夹角/BCD为60。.

试卷第4页，共6页

E

E

'D

B

AA

图1图2图3

⑴如图2,当支杆3c与地面垂直，且的长为50cm时，求灯泡悬挂点。距离地面的

高度;

(2)在图2所示的状态下，将支杆2C绕点3顺时针旋转20。，同时调节CD的长(如图

3),此时测得灯泡悬挂点。到地面的距离为90cm,求CD的长.(结果精确到1cm,参

考数据：sin20°»0.34,cos20°«0.94,tan20°®0.36,sin40°»0.64,cos400~0.77,

tan40°b0.84)

25.如图，已知是锐角三角形(/C<23).

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线/,使/上的各点到B、C两点的

距离相等设直线/与/8、3C分别交于点初、N,作一个圆，使得圆心。在线段

上，且与边/8、8c相切；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若8M=g,BC=2,则。。的半径为.

26.某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；

购进甲商品1件和乙商品2件共需70元.

(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

(2)商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，

需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你

求出获利最大的进货方案，并求出最大利润.

27.定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边

形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边

试卷第5页，共6页

形

⑴如图1,BD平分/ABC,BD=4亚,3C=10.四边形/BCD是被2D分割成的‘师

梅四边形”，求48长；

(2)如图2,平面直角坐标系中，A、8分别是x轴和y轴上的点，且。1=3,OB=2,

若点C是直线＞=》在第一象限上的一点，且OC是四边形O/C8的“师梅线”，求四边形

O/CB的面积.

⑶如图3,圆内接四边形4BC。中，N/8C=6O°点£是就的中点，连接瓦?交CD于

点尸，连接相，NDAF=30.,①求证：四边形/8C尸是“师梅四边形“；②若“3C的

面积为6省，求线段B尸的长.

28.如图，已知抛物线7=--》-2交》轴于A、8两点，将该抛物线位于x轴下方的部

分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象少”，图象少交了轴于点C.

(1)写出图象沙位于线段48上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线、=-工+6与图象少有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点P作尸M//y轴交直线3c于点交图象少于点N,

是否存在这样的点P,使ACMN与△08C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即

可.

【详解】解：•••2024'1=1,

2024

・•.2024的倒数是亲，

2024

故选：D.

2.C

【分析】根据事件发生的可能性判断.

【详解】解：A、任意抛掷两枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，错误；

B、明天可能下大雨，也可能天晴，错误；

C、装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，因为最多只有一个蓝球，所以至少有一个

是红球，正确；

D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任一个，错误；

故选C.

【点睛】本题考查确定性事件的应用，熟练掌握必然事件的意义是解题关键.

3.D

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中

14时＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝

对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数.

【详解】解：将1260000用科学记数法表示为1.26x106.

故选：D.

4.C

【分析】根据求中位数和求众数的方法求解即可.

【详解】解：把这组数据从小到大排列，位于中间位置的是24.

故中位数是：24℃.

这组数据中22出现1次，23出现1次，24出现2次，25出现3次.

故众数是：25。口

故选：C.

答案第1页，共20页

【点睛】本题考查求中位数，求众数，熟练掌握这些知识点是解题关键.

5.B

【分析】设物价为x钱，人数是固定的，根据“每人出8钱，还余3钱；每人出7钱，还差4

钱”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【详解】解：设物价为X钱，根据题意可列出方程胃=、一

故选：B

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次

方程是解题的关键.

6.D

【详解】根据题意可知a-143

即a+2<5

所以a<3

又因为3<x<a+2

即a+2>3

所以a>l

所以l<a<3

故选D.

7.C

【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出

8的横纵坐标的乘积，即为反比例函数的比例系数.

【详解】解：••・四边形0/8C是矩形，

AB^OC,OA=BC,

设2点的坐标为3勾，

•••BD=3AD,

b),

•・•点D、E在反比例函数的图象上，

7ab

・•・k=——,

4

:.E(a,与,

a

答案第2页，共20页

71ab1ab13ak、_

<*'S&ODE=S矩形O45C_S“OD~^OCE~^BDE=ab——--,-----,——'(bZ-T---)=9,

242424a

7ab3ab3k„

ab---------1---=9,

488

・•・ab+k=249

7ab

k=——

4

:卡=竺

5

故选：C.

【点睛】本题主要考查反比例函数系数左的几何意义：在反比例函数＞=人图象上任取一点,

X

过这一个点向X轴和y轴分别做垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值阳；在反比例函数

图象上任意一点向坐标轴做垂线，这一点和垂足以及坐标原点构成的三角形的面积?且

保持不变.掌握反比例函数系数人的几何意义是解题的关键.

8.C

/、

【分析】先根据8（3加,4加+1）,可知3在直线y=二4+l上，所以当皮）1直线〉=丁4+1时，BD

最小，找一等量关系列关于用的方程，过8作轴于27,贝|8〃=4加+1,利用三角形

相似得8/72=9/.尸8,列等式求加的值，得的长即可求出圆的面积的最小值.

3m=x

.•.令

4m+1=y'

答案第3页，共20页

:.y=—x+\,

3

4

B在直线＞=]%+1上，

4

・••当BD1直线＞=+1时，BD最小，

过5作轴于“，则加¥=4加+1,

4

,•,3在直线尸针+1上,且点E在％轴上,

连接,，CF,

••・四边形ABCD是平行四边形,

・•・万是4C的中点,

・•・4(0,-〃)，点

・•・尸(3,0),

•；/EBF=90°,/EHB=/BHF=90°,

•,./BEH+NEBH=90°,/EBH+/HBF=90°,

・•・ABEH=AHBF，

・•・AEBHS小BFH,

BHEH

••丽―曲‘

：•BH?=EH♦FH,

（4m+1）2=（3加+：］（3—3机）,

解得：=--（舍去），加2=］，

・••则对角线的最小值是6,

此时即为直径画圆时，圆的面积的最小值是"x9%,

故选：C.

答案第4页，共20页

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、三角形相似

的判定与性质、图形与坐标特点、勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用B的坐标确定

点8所在的直线的解析式是解题的关键.

9.(x+2)(x-l)

【分析】本题考查利用提公因式法分解因式，解题的关键是把把(x+2)看成一个整体.

【详解1解：(x+2)x—x-2=(x+2)x—(x+2)=(x+2)(x—1),

故答案为：。+2)。-1).

10.-1

【分析】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于

零.根据分式的值为零的条件即可求出x的值.

【详解】解：由题意可知：/-1=0且x-1/O,

解得X=±l且XW1.

故答案为：-1.

11.65^cm2

【分析】先算出母线长，根据圆锥的侧面积公式：S=7rrl,直接代入数据求出即可.

【详解】解：由圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,

根据勾股定理得到母线长=J52+122=13cm,

圆锥的侧面积==;rx5xl3=65万cmz.

故答案为：65万cmZ.

【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关

键.

12.真

【分析】本题考查了真假命题，方差，熟练掌握方差公式是解题关键.分别求出甲组数据和

乙组数据的方差，得到方差相等，即可得到答案.

【详解】解：,•・甲组数据的平均数为gx(ll+12+13+14+15)=13,

・•.方差为gx[(ll-13y+(12-13y+(13T3)2+(14T3)2+(15T3)1=2,

乙数据的平均数为gx(91+92+93+94+95)=93,

方差为gx[(91-93p+(92-93)2+(93-93『+(94-93『+(95-93)1=2,

答案第5页，共20页

甲组数据与乙组数据的方差相等，

故该命题是真命题；

故答案为：真.

13.5

【详解】设这个多边形是〃边形，由题意得，

（"-2）*180。=540。，解之得，„=5,

14.5米

【分析】试题分析：设CD=x,则AD=2x,根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC

的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长.

【详解】设CD=x,则AD=2x,

由勾股定理可得，AC=J/+（2X）2=屈,

•；AC=3百米，

V5x=3V5,

••.x=3（米），

••.CD=3米，

...AD=2X3=6米，

在RtaABD中，BD=V102-62=8（米），

.•.BC=8-3=5（米）.

故答案为5米.

15.-2或-1

【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程

的解是尤=1或整式方程无解，即可求出

【详解】解：产=2,

1-X

方程两边同时乘以l-x,得：ax+l=2（l-x）,

整理得：（a+2）x=l,

•••该分式方程无解，

若a+2=0,方程（a+2）x=l无解;

答案第6页，共20页

若Q+2W0,x=---=1,

a+2

「♦a=—1,

故答案为：—2或-1.

1c

16.y=-x-2

3

【分析】将X=1代入7=Mx-l)得y=o,可得0/=1,02=2,5(0,-2),在

比△480中，由勾股定理得/8=Jo/2+082=后,如图，延长2/,过C作CDLA4于

r,ADCDACADCDAC「

0‘证明"3"。，则用=方=商，即7==正，CD=2AD,AC=^AD,

根据/D8c=45。，/BDC=90°,可得N8C£>=45。，即3。=CD,令AD=a,则CD=2a,

8D=a+石，根据a+V^=2a,求。值，进而可求/C,OC的值以及C点坐标，然后根据

待定系数法求直线BC的表达式即可.

【详解】解：将x=i代入y=Mx-i）得v=o,

.•.4(1,0),即。4=1,08=2,

.-.5（0,-2）,

在RtAJSO中，由勾股定理得AB=sJo^+OB2=也，

如图，延长A4,过C作。，助于。，

ADAC=AOAB,ZCDA=ZBOA,

AACDS"B0,

ADCDACBnADCDAC

OA~OB~AB'12如

CD=2AD,AC=45AD,

NDBC=45。，ZBDC=90°,

ZBCD=45°,

答案第7页，共20页

BD=CD,

令AD-a,贝UCD=2a,BD-a+V5,

•*,Cl+y/S=2。9

解得a=45

AC=5,OC=OA+AC=6,

.-.C(6,0),

设直线BC的表达式为y=mx+n,

/、/\f—2=n

将0,-2,6,0,代入得，，

[0=6m+n

1

,,m=—

解得3,

n=-2

•・.直线BC的表达式为y=jx-2,

故答案为：T=1x-2.

【点睛】本题考查了一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股

定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

13

17.—万

4

【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形

面积公式即可求出

【详解】••,内切圆圆心是三条角平分线的交点

ZABO=ZCBO；ZACO=ZBCO

设ZABO=NCBO=a,NACO=NBCO=。

在中：NN+2a+26=180。①

在3OC中：NDOE+tz+"=180。②

由①②得：ADOE=90°+1=90°+1x80°=130°

130013

扇形面积：5=公心*乃x3=~71(cm2)

13

故答案为：--71

4

答案第8页，共20页

【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出/。。后的度

数

18.6.

【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMDwaDFC,贝!]DM=FC=2,由折叠和正形

的边长相等得：AE=AD,根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2,ZEAM=ZMAD,设/

MAD=a,则NEAM=a,ZBAP=ZPAE=45°-a,可得4PAM=45。，则4PAH是等腰直角三

角形，证明△PGE~z\AMD,列比例式得：GE=1,AM=2PG,设PG=x,则AM=2x,根据

AH=PH,得2x-l=2+x,求得x的值，即可解决问题；

【详解】过A作AM1DF于M,

•・•四边形ABCD是正方形，

・・.AD=DC,ZADC=9O°,

.-.ZADF+ZFDC=9O°,

vzADF+zMAD=90°,

.*.ZFDC=ZMAD,

vzAMD=zDFC=90°,

.-.AAMD=ADFC,

..DM=FC=2,

由折叠得：AB=AE,BP=PE,

vAB=AD,

AE=AD,

・・.DM=EM=2,ZEAM=ZMAD,

rP是BC的中点，

••.PC=1BC=1AD=PE,

设NMAD=a,贝l|NEAM=n,zBAP=zPAE=45°-a,

.­.ZAPE=9O°-(45°-a)=45°+a,

,•,zEAM=zDAM,zBAP=zPAE,

.-.zPAE+zEAM=|ZBAD=45°,

过P作PH1AM于H,过E作EG1PH于G,

.•.△PAH是等腰直角三角形，

答案第9页，共20页

・・・2APH=45。，

Z.HPE=a=Z.MAD,

-.-ZPGE=ZAMD=9O°,

.-.APGE^AAMD,

PEGE_PG

••而一疝一而一5,

GEPG

•乃一而一5'

・・・GE=1,AM=2PG,

设PG=x,则AM=2x,

••・AH=2x-1,

•・・AH=PH,

••-2x-l=2+x,

x=3,

・・・PG=3,AM=6,

vADAM=ACDF,

••.DF=AM=6.

故答案为6.

【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定

理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明NPAM=45。是关键，

设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题.

19.-2+72+273.

【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行立方根运算，零指数次幕运算，负整数指数暴

的运算，化简绝对值和三角函数值的运算，最后加减运算即可，熟练掌握运用法则是解题的

关键.

答案第10页，共20页

-1

【详解】解：般-(乃-3)°+I+|1-+2tan60°

=2-1-2+72-1+273,

=-2+V2+2A/3.

【分析】先计算异分母分式的减法，再计算分式除法，约分化简后解方程得到x的值代入计

算.

2xx+4(x+4)2

【详解】原式=

(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)x

x-4(x+4)2

"(x+4)(x-4)X

_x+4

x

-—6x+8=0,解得x=2或4.

xw4,

..x—2.

e_u2+4

原式=-^―=3.

2

【点睛】此题考查分式的化简求值、解一元二次方程，正确计算分式的混合运算是解题的关

21.(1)60

(2)见解析

(3)估计该校最想去湿地公园的学生人数约有1380人

【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计

图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据扇形

统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

(1)由A的人数及其人数占被调查人数的百分比可得；

(2)根据各项目人数之和等于总数可得C选项的人数；

(3)用样本中最想去湿地公园的学生人数占被调查人数的比例乘总人数即可.

答案第11页，共20页

【详解】(1)解：本次调查的样本容量是15—25%=60；

(2)解：选择。的人数为：60-15-10-12=23(人)，

补全条形图如图：

答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约有1380人.

22.(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得且/3=CD,进而证明

乙BEF=AFDC,乙FBE=LFCD,ASA证明三尸.

(2)根据等边对等角证明FD=FC,进而证明8C=DE,根据对角线相等的平行四边形是矩

形即可证明

【详解】(1卜•四边形/BCD为平行四边形，

:.AB〃CD且AB=CD.

，；BE=AB,

.'.BE//CD且BE=CD.

・•・乙BEF=£FDC,"BE=dCD,

:•△BEF^ACDF.

(2)・・・5£〃CD且BE=CD.

••・四边形BECD为平行四边形，

：.DF=^DE,CF=^BC,

,•・四边形ABCD为平行四边形，

•・/FCD=U,

•:(BFD=(FCD+乙FDC,乙BFD=2U,

工人FDC=LFCD,

答案第12页，共20页

：.FD=FC.

又DF=gDE,CF=！BC,

：.BC=DE,

:.口BECD是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌

握平行四边形的性质与判定是解题的关键.

31

23.(1)—；(2)一・

72

【分析】(1)直接根据概率公式求解；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后

根据概率公式求解.

【详解】(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概

+1+23

率----二—.

3+47'

3

故答案为：—；

(2)画树状图为：

开始

音乐奖男男女女男男女女男男女女

共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6,

所以刚好是一男生一女生的概率(.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出

n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.

24.(D灯泡悬挂点。距离地面的高度为113cm

⑵CD的长为58cm

【分析】(1)利用锐角三角函数可求CF的长，即可求解；

(2)由锐角三角函数可求CN的长，由线段和差关系可求次W的长，CM的长，由锐角三

角函数可求CD的长.

【详解】(1)过点。作分1BC于F,

答案第13页，共20页

E

B

A

图2

vZFCD=60°,ZCFD=90°,

：.FC=CDxcos60°=50x；=25(cm),

.•.E4=4B+3C—C尸=84+54—25=113(cm),

答：灯泡悬挂点。距离地面的高度为113cm；

(2)如图3,过点C作CG垂直于地面于点G,过点2作2NLCG于N,过点。作加fJ_CG

于〃，则NCMD=90。，/CNB=90。，ZDCM=60°-20°=40°,四边形/HNG是矩形,

.•・NG=/3=84cm.

BC=54cm,

,-.CN=BCxcos20°=54x0.94=50.76(cm),

MN=CN+MG-CG=50.76+90-50.76-84=6(cm),

CM=CN-MN=44.76(cm),

CM44.76

CD=«58(cm),

cos40°0.77

答案第14页，共20页

答：CD的长为58cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角

形.

25.(1)见解析；(2)r=1

【分析】(1)由题意知直线/为线段BC的垂直平分线，若圆心。在线段九W上，且与边

AB、3C相切，则再作出/48C的角平分线，与九W的交点即为圆心O；

(2)过点。作垂足为E,根据=SABNO+SABMO即可求解.

【详解】解：(1)①先作3c的垂直平分线：分别以8,。为圆心，大于;8c的长为半径

画弧，连接两个交点即为直线/,分别交/8、BC于M、N；

②再作2/3C的角平分线：以点8为圆心，任意长为半径作圆弧，与//3C的两条边分别

有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点3,

即为/NBC的角平分线，这条角平分线与线段的交点即为。；

③以。为圆心，ON为半径画圆，圆。即为所求；

(2)过点。作。垂足为E,设ON=OE=r

54

•:BM=—，BC=2,/.BN=\,:,MN=一

33

BMN=S4BNO+$△

根据面积法，・・・S4BMO

1.4115皿日1

',,2X1Xi=2X1'r+2X3，r＜斛得'=

故答案为：r=1.

【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角

答案第15页，共20页

平分线的尺规作图.

26.(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；(2)当购进甲商品48件，乙商

品12件时可获得最大利润720元.

【分析】(1)根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件

共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元

(2)根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题.

【详解】(1)设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，

+y=50zs(x=10

[x+2y=70'得=

答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；

(2)设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品(60-m)件，设卖完甲、乙两种商品商

场的利润为w元，

贝！|w=(20-10)m+(50-30)(60-m)=-10m+1200,

(60-m),

解得：m>48,

.•.当m=48时，w取得最大值,最大利润为：-10x48+最00=720元,

.•.60-m=12,

答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元.

【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答

本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

27.⑴43=10或1

(2)辿

2

(3)①见解析；②BF=2a

【分析】⑴分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求

的长度;

⑵得小。BCW,可知器啜，求出。C的长，由等腰直角三角形的性质及三角

形面积公式可得出答案.

答案第16页，共20页

(3)①由题意可得445E=/班C=30°,由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得

NBAF=NBFC,可证即四边形/BC尸是“师梅四边形“；②由相似三角形的

性质可得5/由三角形面积公式可求即可求8尸的长.

4

【详解】⑴•••四边形NBCD为被2D分割的“师梅四边形”,

.•・与△D8C相似,

AABD~ACBD,

皿ABBD,

贝I—=—=1,

BCBD

AB=BC=10,

若AABD~ADBC,

nlABBD

贝U—=—，

BDBC

助2_(4物2_16

,,AJJ=---------=---------------=—

BC105

综上所述：/3=10或1；

(2)解：,点£是直线＞=x在第一象限上的一点,

;.OC平分Z8CM,

即NBOC=ZAOC=45°,

又•••OC是四边形OACB的“师梅线”,

***AOBC~ZkOCL4,

OB_OC

"OC~OA9

即0c2=OBOA=6,

o