2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）

2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项）

1.（4分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）

__I_____I_____I_____II_____II.

-3-2-10-1-2-3^

A.-2B.-AC.2D.3

2

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.cT'cr'—c^'B.3a-2a—1

C.（-2a2）3=_8/D.«64-a2=cz3

3.（4分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（）

主视方向

4.（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96,97,98,96,98.下

列说法中正确的是（）

A.该组数据的中位数为98

B.该组数据的方差为0.7

C.该组数据的平均数为98

D.该组数据的众数为96和98

6.（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若/1=28°,则/2

C.36°D.62°

7.（4分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实

验.如图所示，在轻质木杆。处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端8处挂钩码，

每个钩码质量是50g.若OA=20cm,OB=40cm,挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平

衡.设重物的质量为xg,根据题意列方程得（）

B.40x=20X50X3

C.3X20^=40X50D.3X40x=20X50

8.（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=27°,

BC=44cm,则高约为（）

（参考数据：sin27°心0.45,cos27°"0.89,tan27°七0.51）

A.9.90cmB.11,22cmC.19.58cmD.22.44cm

9.（4分）如图，已知AB是。。的直径，CO是的弦，A3_LC。，垂足为£.若A8=26,

CD=24,则/OCE的余弦值为（）

A.lB-i

012

10.（4分）已知A（-3,-2）,B（1,-2）,抛物线>=数2+&尤+c（a>0）顶点在线段AB

上运动，形状保持不变，与x轴交于C,。两点（C在。的右侧），下列结论:

①cN-2；

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,则点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABC。为平行四边形时，a=L

2

其中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11.（4分）习近平总书记指出''善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，

全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示

为

12.（4分）V18-圾=.

13.（4分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过

2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购

买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于

付款金额x（x>10）的函数解析式为

14.（4分）若反比例函数的函数值y在每个象限随着自变量尤值的增大而增大，则k

.（写出一个满足条件的值）

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=A8=5,点8到了轴

的距离为4,若将△OAB绕点0逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点8’的坐标

16.（4分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示

意图如图2所示，它是以。为圆心，分别以OA,长为半径，圆心角/。=120°形成

的扇面，若。4=3加，OB=1.5m,则阴影部分的面积为.

17.（4分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选

法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作跖将矩形窗

框分为上下两部分，其中E为边48的黄金分割点，即2序=4£.4左已知人台为

2米，则线段BE的长为米.

18.（4分）如图1,在△A3C中，NB=36°,动点尸从点A出发，沿折线A-8-C匀速

运动至点C停止.若点P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为t（s）,AP的长度

为j（cm）,y与t的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算NBAC的度数是

三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

〈三，①

19.（8分）解不等式组：23，并写出它的所有整数解.

,2x-5<3（x-2）.②

22

20.（8分）先化简，再求值：x+2x+l——x_7_1__+1）,其中x=cos60°.

x-2022x-2022x-1,

21.（8分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行

调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图:

学生平均每天完成作业时长学生平均每天完成作业时长

频数分布直方图扇形统计图

I35A:60<x<70

n35

105B:70<x<80

90

75C:80<r<90

60

45D:90<r<100

3o

15E:100<r<110

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：

(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是(填写“普查”或“抽样调

查”

(2)教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中机的值是；

(3)已知平均每天完成作业时长在“lOOWfCUO”分钟的9名初中生中有5名男生和4

名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，

则恰好抽到男生的概率是；

(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70Wf<80"分钟的初

中生约有人.

22.(10分)如图，在平行四边形A8CD中，点E,F分别在边AB,上，且四边形BEDF

为正方形.

(1)求证：AE=CF；

(2)已知平行四边形ABC。的面积为20,AB=5,求CF的长.

D____________F____C

A

EB

23.（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵

10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.

（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；

（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒

售价提高1元，则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w

元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.

24.（10分）知识再现

如图1,在中，ZC=90°,ZA,/B,/C的对边分别为a,b,c.

sinA=-S,,sinB=A,

cc

.\c=—^—,c=—----

sinAsinB

・ab

,,--------二---------•

sinAsinB

拓展探究

如图2,在锐角△ABC中，ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.

请探究之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinBsinC

解决问题

如图3,为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=

60m,ZA=75°,/C=60°.请用拓展探究中的结论，求点4到点8的距离.

图1图2图3

25.（12分）如图，△ABC内接于OO,AB,C。是。。的直径，E是DB延长线上一点,

且/Z)EC=ZABC.

（1）求证：CE是（DO的切线;

26.（12分）如图，已知点M（xi,yi）,N（X2,>2）在二次函数y=a（x-2）2-1（。>0）

的图象上，且X2-X1=3.

（1）若二次函数的图象经过点（3,1）.

①求这个二次函数的表达式；

②若yi=y2,求顶点到MN的距离；

（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1,点、M,N在对称轴的异侧,

求a的取值范围.

2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项）

1.（4分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）

A

-3-2-10-1-2-3^

A.-2B.-AC.2D.3

2

【答案】c

【分析】根据数轴得到点A表示的数为-2,再求-2的相反数即可.

【解答】解：点A表示的数为-2,

-2的相反数为2,

故选：C.

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.B.3a-2a—1

C.（-2a2）3=_8a6D.a64-a2=a3

【答案】C

【分析】选项A根据同底数幕的乘法法则判断即可，同底数累的乘法法则：同底数幕相

乘，底数不变，指数相加；选项3根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘

方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘；选

项。根据同底数幕的除法法则判断即可，同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.

【解答】解：A././=°5,故本选项不合题意；

B.3a-2a=a,故本选项不合题意;

C.（-2〃2）3=_8。6,故本选项符合题意;

D.。6+〃2=〃4,故本选项不合题意;

故选：c.

3.（4分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（）

7

/■

主视方向

B.1111

D.

【答案】A

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解答】解：从正面看，可得如图形:

故选：A.

4.（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意;

B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

5.（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96,97,98,96,98.下

列说法中正确的是（）

A.该组数据的中位数为98

B.该组数据的方差为0.7

C.该组数据的平均数为98

D.该组数据的众数为96和98

【答案】D

【分析】根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据

方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项.

【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96,96,97,98,98,中位数为97,故A

选项不符合题意；

C、平均数=96+96+97+98+98=97,故C选项不符合题意；

5

B、方差=1X[（96-97）2X2+（97-97）2+（98-97）2X2]=0.8,故B选项不符合

5

题意；

D、该组数据的众数为96和98,故。选项符合题意；

故选：D.

6.（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若/1=28°,则/2

的度数为（)

【答案】D

【分析】过直角的顶点E作利用平行线的性质解答即可.

【解答】解：如图所示，

过直角的顶点E作交AO于点"，交BC于点、N,

则N2=N3.

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,

9：AB//MN,

:.MN//CD,

・・・N4=N1=28°,

,.・N3+N4=90°,

：.Z3=90°-Z4=62°.

・・・N2=N3=62°.

故选：D.

7.（4分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实

验.如图所示，在轻质木杆。处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端8处挂钩码,

每个钩码质量是50g.若OA=20cm,OB=40cm,挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平

衡.设重物的质量为尤g,根据题意列方程得（）

B.4（比=20X50X3

C.3X20尤=40X50D.3X40x=20X50

【答案】A

【分析】利用重物的质量XOA的长度=3个钩码的质量X08的长度，即可得出关于x

的一元一次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：20x=40X50X3.

故选：A.

8.（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=27°,

BC=44cm,则高约为（）

（参考数据：sin27°心0.45,cos27°-0.89,tan27°—.51）

C.19.58071D.22.44cm

【答案】B

【分析】根据等腰三角形性质求出8D,根据角度的正切值可求出AD

【解答】解："：AB=AC,BC=44cm,

BD—CD—22cnt,A.DA-BC9

VZABC=27°,

J.tanAABC—旭■仁0.51,

BD

40-0.51X22=11.22cm,

故选：B.

9.（4分）如图，已知AB是。。的直径，CD是。。的弦，A8_LCD垂足为E.若AB=26,

CD=24,则/OCE的余弦值为（）

A.J—B.c.J—D.H

13131212

【答案】B

【分析】利用垂径定理求得CE,利用余弦的定义在RtZkOCE中解答即可.

【解答】解：是。。的直径，A8_LC£）,

.\CE=Z）E=AC£）=12,

2

'：AB=26,

：.OC=13.

cosZ0CE=^5-

OC13

故选：B.

10.(4分)已知A(-3,-2),B(1,-2),抛物线y=a?+Zzx+c(a>0)顶点在线段AB

上运动，形状保持不变，与x轴交于C,。两点（C在。的右侧），下列结论：

①c2-2；

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,则点C横坐标的最大值为3；

④当四边形A3C。为平行四边形时，

2

其中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根据顶点在线段A8上抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）可以判断出c的取值

范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；

当顶点在A点时，。能取到最小值，当顶点在8点时，C能取得最大值，然后根据二次

函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y=0,利用根与系数的关系

与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得

AB=CD,然后列出方程求出。的值，判断出④正确.

【解答】解：•••点A,8的坐标分别为（-3,-2）和（1,-2）,

线段与y轴的交点坐标为（0,-2）,

又••.抛物线的顶点在线段A8上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）,

，c2-2,（顶点在y轴上时取“=”），故①正确；

•••抛物线的顶点在线段A8上运动，开口向上，

当尤>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线x=-3,C点的横坐标为-1,则CD

=4,

・・,抛物线形状不变，当对称轴为直线x=l时，C点的横坐标为3,

・,•点。的横坐标最大值为3,故③正确；

令y=0,则ax1+bx^-c=O,

2

CD2=（±2-4X£=b-4ac,

aaa2

根据顶点坐标公式，4ac」2=乜

4a

22

.•.4ac-b=一8,即bYac=&,

aa

.•.CD2=AX8=A,

aa

V四边形ABCD为平行四边形，

：.CD=AB=\-（-3）=4,

...@=42=]6,

a

解得。=工，故④正确；

2

综上所述，正确的结论有①③④.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

n.（4分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天,

全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为1.246义

108.

【答案】1.246X108.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,”为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于10时，w是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

【解答】解：124600000=1.246X108.

故答案为：1.246义1。8.

12.（4分）V18-'/8=_V2_.

【答案】见试题解答内容

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得.

【解答】解：原式=3&-2&=a，

故答案为：V2.

13.（4分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过

2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折.若某人付款14元，则他购

买了3千克糯米;设某人的付款金额为无元，购买量为y千克，则购买量y关于付

款金额x（尤>10）的函数解析式为y=-x-2.

4一

【答案】3；y=±2.

4

【分析】根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上糯米，超过2千克的部

分的糯米的价格打8折，即可得出解析式；再把x=14代入即可.

【解答】解：二"〉：!。时，

；•一次购买的数量超过2千克,

•尸x-10

•*y--------+2,

5X0.8

_x-2

4

V14>10,

..yx-2

T-

14-2

"T"

=3.

故答案为：3；尸x-2

4

14.（4分）若反比例函数yJL的函数值y在每个象限随着自变量尤值的增大而增大，则k

x

-2（答案不唯一）.（写出一个满足条件的值）

【答案】-2（答案不唯一）.

【分析】根据反比例函数的增减性可得/<0,写一个负数即可.

【解答】解：：反比例函数y生的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大,

：.k=-2（答案不唯一），

故答案为：-2（答案不唯一）.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=A8=5,点8到了轴

的距离为4,若将△OAB绕点。逆时针旋转90°,得到△OA'B',则点距的坐标为

【答案】（-4,8）.

【分析】过点8作轴，过点8'作8'轴，先求出ON=8,再证明△A08

名△&'OB'(AAS),推出OM=ON=8,B'M=BN=4,从而求出点8’的坐标.

【解答】解：过点8作BNLx轴，过点夕作夕轴，

；./B‘MO=ZBNO=90°,

,.,OA=AB=5,点8到x轴的距离为4,

：.AN=3,

：.ON=8,

•.•将△04B绕点。逆时针旋转90°,得到△OA'B',

:./BOB'=90°,OB=OB',

：.ZBOA'+ZB'OA'=ZBOA+ZBOA',

：.ZBOA=ZB'OA',

:.丛NOB"丛MOB'(A4S),

：.OM=ON=S,B'M=BN=4,

：.B'(-4,8),

故答案为：(-4,8).

16.(4分)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示

意图如图2所示，它是以。为圆心，分别以OA,。8长为半径，圆心角/。=120°形成

的扇面，若。，则阴影部分的面积为2

4=3mOB=\.5m,—--nAmill•----

A

【答案】学冗1tl2.

4

【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影=S扇形A。。-S扇形50c即可求解.

【解答】解：S阴影=S扇形490-S扇形30。

=120兀・0A2120兀・0B2

360360

-^12QK(QA2-0B2)

360

n(32-l>52)

~T~

=*兀(m2),

2

故答案为：lKm-

17.（4分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选

法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EP将矩形窗

框ABC。分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即^^二人后乂氏已知AB为

2米，则线段BE的长为（-1+JG）米.

【分析】根据BRUAEMB,建立方程求解即可.

【解答】解：,.•班3=&£.48,

设BE=x,贝ijAE=（2-尤），

'：AB=2,

：.^—2（2-%）,

即｝?+2x-4=0,

解得：xi=-1-H/5,-1-丁m（舍去），

线段BE的长为（-1+遍）米.

故答案为：（-

18.（4分）如图1,在△A8C中，ZB=36°,动点P从点A出发，沿折线A-B-C匀速

运动至点C停止.若点P的运动速度为Icm/s,设点P的运动时间为t（s）,AP的长度

为y（cm）,y与/的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算/8AC的度数是72

【答案】72；275+2.

【分析】由图象可得AB=BC=4on,通过证明△APCS/\8AC,可求AP的长，即可求

解.

【解答】解：如图，连接AP,

图1

由图2可得AB=BC=4cm,

VZB=36°,AB=BC,

:./BAC=/C=72°,

TAP平分N3AC,

AZBAP=ZB=36°,

：.AP=BPfZAPC=12°=ZC,

：.AP=AC=BP,

*：ZPAC=ZB,/C=/C,

：.AAPC^ABAC,

•・•—AP二—PC,

ABAC

：.AP1=AB'PC^4（4-AP）,

：.AP=245-2=BP,（负值舍去），

；.t=4+2>/5-2=275+2,

故答案为：72；275+2.

三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

〈三，①

19.（8分）解不等式组：23，并写出它的所有整数解.

,2x-5<3（x-2）.②

【答案】见试题解答内容

【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可.

【解答】解：解不等式①得：x<3,

解不等式②得：

原不等式组的解集为：

...整数解为1,2.

22

20.(8分)先化简，再求值：*+2x+l_u——x_7_L__/1+i),其中尤=cos60°.

x-2022x-2022x-1,

【答案】，，-2.

x-l

【分析】根据分式混合运算法则进行化简计算，然后再代入求值即可.

22

【解答】解：X+2X+1+工_1]__S+1)

x-2022x-2022x-l'

=(x+l)2.x-2022_工

x-2022(x+1)(x-l)x-l

=x+1x

x-lx-l

=1

X-l

x=cos60°=~^f

J原式-=-2.

——1

2

21.(8分)某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行

调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图:

学生平均每天完成作业时长学生平均每天完成作业时长

频数分布直方图扇形统计图

n35A:60<x<70

n35

n05B:70<x<80

O

97(5C:80<r<90

6Q

45D:90<r<100

3Q

15E:100<x<110

O

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题:

(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查(填写“普查”或“抽样

调查”)；

(2)教育局抽取的初中生有300人，扇形统计图中机的值是30

（3）已知平均每天完成作业时长在“lOOWfCUO”分钟的9名初中生中有5名男生和4

名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，

则恰好抽到男生的概率是A；

一9一

（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70Wf<80"分钟的初

中生约有3000人.

【答案】（1）抽样调查；

（2）300,30；

（3）包

9

（4）3000.

【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；

（2）根据60</<70的人数45人占所有抽样学生的15%即可求出抽样学生的人数，根

据扇形统计图各部分的百分比之和为1即可求出m的值；

（3）根据概率公式求解；

（4）根据样本中70^?<80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可.

【解答】解：（1）•••教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，

，教育局采取的调查方式是抽样调查，

故答案为：抽样调查；

（2）454-15%=300（人），

1-15%-3%-7%-45%=30%,

故答案为：300,30；

（3）.••所有可能抽到的结果数为9,抽到男生的结果数为5,且每一名学生被抽到的可

能性相同,

:.p（抽到男生）=巨，

9

故答案为：旦；

9

（4）10000X30%=3000（人），

故答案为：3000.

22.（10分）如图，在平行四边形4BCD中，点E,E分别在边AB,CD上，且四边形8即尸

为正方形.

（1）求证：AE=CF-,

（2）已知平行四边形ABC。的面积为20,AB=5,求CP的长.

（2）1.

【分析】（1）根据正方形的性质可以得到。F=即，根据平行四边形的性质可以得到A8

=CD,然后即可得到结论成立；

（2）根据平行四边形的面积，可以得到。E的长，然后根据正方形的性质，可以得到BE

的长，从而可以求得AE的长，再根据（1）中的结论，即可得到CF的长.

【解答】（1）证明：•••四边形尸为正方形，

：.DF=EB,

,：四边形ABCD是平行四边形，

：.DC=AB,

：.DC-DF=AB-EB,

，CF=AE,

即AE=CF；

（2）解：•.•平行四边形ABC。的面积为20,AB=5,四边形小为正方形，

：.5DE=20,DE=EB,

：.DE=EB=4,

：.AE=AB-EB=5-4=1,

由（1）知：AE=CF,

：.CF=1.

23.（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵

10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.

（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；

（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒

售价提高1元，则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w

元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.

【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；

（2）该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元.

【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价

比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即

可.

（2）根据当。=50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为。元时，每天可售出猪肉

粽［100-2（a-50）］盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解.

【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元,

由题意得：y,

|x+2y=100

解得：卜=4°,

ly=30

每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；

(2)w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+1800,

：-2<0,

.•.当a=70时，w有最大值，最大值为1800元.

•••该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元.

24.(10分)知识再现

如图1,在RtZkABC中，ZC=90°,ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,c.

：sinA=旦，sinB=A,

cc

•・^•一c--a----,c「一----b----.

sinAsinB

•­•-a---=---b--•

sinAsinB

拓展探究

如图2,在锐角△ABC中，ZA,ZB,/C的对边分别为a,b,c.

请探究厂曳_,「二，二邑―之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinBsinC

解决问题

如图3,为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=

60m,ZA=75°,/C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点8的距离.

图1图2图3

［答案］拓展研究：——a-——=---b--=-----：一；

sinNBACsinBsin/BCA

解决问题：

【分析】拓展研究：作CDLA8于点。，AEL3C于点E,根据正弦的定义得AEcsinB,

AE=bsinZBCAfCD=asinB,CD=bsinZBACf从而得出结论;

解决问题：由拓展探究知，一空一，代入计算即可.

sinCsinZCBA

【解答】解：拓展探究

如图，作CDJ_AB于点D,AE±BC于点E,

sin/BAC噜丹,

ACb

sin/BCA噜平

ACb

.•.AE=csin8,AE=bsinZBCA,CD=asinB,CD=bsinZBACf

bca_b

sinBsin/BCAsin/BACsinB

a_bc.

sin/BAC