适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第二章一元二次函数方程和不等式第三节二次函数与一元二次方程不等式课件

第三节二次函数与一元二次方程、不等式第二章课标解读1.结合二次函数的图象,会判断一元二次方程根的个数,掌握二次函数零点与一元二次方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.3.能够利用二次函数图象解一元二次不等式.强基础增分策略知识梳理二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系设y=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.当a<0时,可利用不等式性质转化为系数为正的情况

判别式Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象判别式Δ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x<x1,或x>x2}R{x|x1<x<x2}⌀⌀微点拨1.简单分式不等式的解法

2.绝对值不等式(1)实数绝对值的意义:|a|=(2)当a>0时,①|x|<a⇔x2<a2⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x2>a2⇔x<-a或x>a.(3)解含有绝对值的不等式关键是如何去绝对值符号.|ax+b|<c⇔-c<ax+b<c;|ax+b|>c⇔ax+b<-c或ax+b>c.微思考不等式ax2+bx+c>0(≥0),ax2+bx+c<0(≤0)在R上恒成立的条件分别是什么?常用结论1.不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),不等式|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情形的讨论.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(

)(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(

)√×√×答案

C

3.若关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是

.

答案

(-∞,0]

增素能精准突破考点一一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1.不含参数的一元二次不等式的解法典例突破(2)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)≥0的解集为[1,4],则不等式af(x2-x-2)≤0的解集为

.

例1.(1)(2023陕西汉中一模)对于实数m,规定[m]表示不大于m的最大整数,那么不等式4[m]2-12[m]+5<0成立的m的取值范围是(

)A.() B.(1,3]C.[1,3] D.[1,3)解析(1)由4[m]2-12[m]+5<0,解得

.∵[m]表示不大于m的最大整数,∴[m]=1或2,故1≤m<3.故选D.方法点拨1.求解不含参数的一元二次不等式的步骤

2.由一元二次不等式的解集确定参数值的方法(1)一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根,因此根据一元二次不等式的解集可知方程的根,从而利用根与系数的关系解决问题.(2)根据一元二次不等式解集的形式,可确定二次项系数的正负,对于一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),若其解集是{x|x<x1或x>x2},则a>0;若其解集是{x|x1<x<x2},则a<0.对点训练1(1)已知不等式m(x-1)(x-2)≤0的解集为A,不等式n(x-1)(x-2)<0的解集为B,其中m,n是非零常数,则“mn<0”是“A∪B=R”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则(

)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}C.a+b+c>0答案

(1)C

(2)ABD

考向2.含参数的一元二次不等式的解法典例突破例2.解关于x的不等式kx2-2kx>x-2(k∈R).名师点析求解含参数一元二次不等式的基本思路解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.对点训练2解关于x的不等式x2-2ax+3≥0(a∈R).考向3.分式不等式的解法典例突破例3.(1)已知集合A=,x∈A的一个必要条件是x≥a,则实数a的取值范围为(

)A.a<0 B.a≥2C.a≤-1 D.a≥-1(2)(2023上海徐汇一模)不等式

≥1的解集为

.

答案

(1)C

(2)[-2,1]故A={x|-1<x≤2},若x∈A的一个必要条件是x≥a,则对于A,a<0,A={x|-1<x≤2}不一定是[a,+∞)的子集,A错误;对于B,a≥2,A={x|-1<x≤2}不是[a,+∞)的子集,B错误;对于C,a≤-1,A={x|-1<x≤2}是[a,+∞)的子集,C正确;对于D,a≥-1,A={x|-1<x≤2}不一定是[a,+∞)的子集,D错误.(2)∵x2+2x+3>0恒成立,∴原不等式可化为x+5≥x2+2x+3,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.方法点拨分式不等式的求解策略(1)分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式,对于形如

>m的分式不等式,一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解.(2)解不等式

>m时,不要直接在不等式两边同乘以分母g(x),以达到去分母化为整式不等式f(x)>m·g(x)的形式进行求解,因为g(x)的符号不确定,这种变形是不等价的.对点训练3不等式

<1的解集为

.

考点二一元二次不等式的恒成立问题(多考向探究)考向1.一元二次不等式在R上的恒成立问题典例突破例4.(2023宁夏中卫二模)已知点A(1,4)在直线

=1(a>0,b>0)上,若关于t的不等式a+b≥t2+5t+3恒成立,则实数t的取值范围为(

)A.[-6,1]B.[-1,6]C.(-∞,-1]∪[6,+∞)D.(-∞,-6]∪[1,+∞)答案

A

名师点析一元二次不等式恒成立的条件

对点训练4(2023山东潍坊一模)“b∈(-2,2)”是“∀x∈R,x2-bx+1≥0成立”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案

A解析因为∀x∈R,x2-bx+1≥0成立,则Δ=(-b)2-4≤0,即-2≤b≤2.所以“b∈(-2,2)”是“∀x∈R,x2-bx+1≥0成立”的充分不必要条件.故选A.考向2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题典例突破例5.(1)(多选)若不等式sin2x-asinx+2≥0对任意的x∈(0,]恒成立,则实数a的值可能是(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)若不等式x2-ax≥16-3x-4a对任意a∈[-2,4]成立,则x的取值范围为(

)A.(-∞,-8]∪[3,+∞) B.(-∞,0)∪[1,+∞)C.[-8,6] D.(0,3]答案(1)ABC

(2)A

(2)由题意得不等式(x-4)a-x2-3x+16≤0对任意a∈[-2,4]成立,名师点析一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围);(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.答案C

对点训练5(2023辽宁鞍山一中二模)若对任意的x∈(0,+∞),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围是(

)A.(-2,2) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]考点三一元二次不等式的实际应用典例突破例6.汽车智能辅助驾驶的自动刹车工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位:米/秒),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9).阶段0.准备1.人的反应2.系统反应3.制动时间t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距离d0=20米d1d2d3=v2米(1)请写出报警距离d(单位:米)与车速v(单位:米/秒)之间的函数关系式,并求当k=0.9时,若汽车达到报警距离,仍以此速度行驶,则汽车撞上固定障碍物的最短时间;(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于80米,则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?即v2+10v-600<0,解得-30<v<20,所以0<v<20.综上,0≤v<20.所以汽车的行驶速