浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章-一元二次方程2

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章一元二次方程（解析版）2.2一元二次方程的解法（2）【知识重点】一、直接开平方法：1.直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2.直接开平方法适用范围：

直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n是r的平方根，当r≥0时，mx+n=,；当r<0时，方程没有实数根.3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.二、配方法(二次项系数为1)：1.定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2

.【经典例题】【例1】解方程：（1）(x+8)2【答案】（1）解：(x+8)2∴x+8=±6解得：x1【解析】此题左边是一个式子的完全平方，右边是一个正数，故直接利用开平方法进行计算即可；

（2）(x-1)2【答案】（1）解：(x-1)开平方，得x-∴x1=12，【解析】两边同时开平方可得x-1=±11，求解即可；

（3）（3x﹣1）2=（x+1）2【答案】解：方程两边直接开方得：3x﹣1=x+1，或3x﹣1=﹣（x+1），∴2x=2，或4x=0，解得：x1=1，x2=0．【解析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．（4）（2x+3）2=x2﹣6x+9【答案】解：由原方程，得（2x+3）2=（x﹣3）2，直接开平方，得2x+3=±（x﹣3），则3x=0，或x+6=0，解得，x1=0，x2=﹣6．【解析】先把原方程的右边转化为完全平方形式，然后直接开平方．【例2】如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.【答案】解：依题意得：x2=12×8∴x2=96∴x答：x的值为46【解析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x代表的实际意义.【例3】配方法解方程x解：∵x2∴

∴x2+4x+4=9，

∴(x+2)2=9，

∴观察方程特点：二次项系数是1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程，先移项（常数项移到方程的右边），再配方（方程的两边同时加上一次项系数一半的平方），左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可；

【基础训练】1．一元二次方程x2-9=0的解是（）A．x=3 B．x=-3 C．x=±3 D．x=9【答案】C【解析】x2-9=0，

∴x2=9，

∴x=±3.

故答案为：C.

2．用直接开平方法解方程(2x-3)2=4时，可以将其转化为2xA．完全平方公式 B．平方根的意义C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式【答案】B【解析】用直接开平方法解方程(2x-3)2=4时，可以将其转化为2x故答案为：B．3．用配方法解方程x2+2x=1，应在方程两边同时加上（）A．4 B．2 C．-2 D．1【答案】D【解析】x2+2x=1，

x2+2x+1=1+1，

（x+1）2=2，

x+1=2或-2，

∴x=-1+2或-1-2.

故答案为：D.

4．用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后可得（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝4C．（x﹣6）2＝5 D．（x﹣6）2＝31【答案】B【解析】x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4，故答案为：B．5．把方程x2-4x-3=0化成(x+a)2=bA．2，7 B．2，5 C．-2，7 D．-2【答案】C【解析】x2x2(x-2)2(x-2)2∴a=-2，b故答案为：C.6．方程4（x﹣1）2＝1的根是．【答案】x【解析】(x-1)2x-x1故答案为：x17．一元二次方程4x2-81=0的解是【答案】x【解析】4xx2∴x故答案为：x18．若将方程x2+mx+8＝0用配方法化为（x﹣3）2＝n，则m+n的值是.【答案】-5【解析】x2+移项：x2+配方得：x2+∴(x+12∵方程x2+mx+8＝0∴12m=-3∴m=-6∴m+故答案为：-5.9．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是【答案】4【解析】∵（x-3）2=1，

∴x-3=1或x-3=-1，

∴x1=4，x2=2，

∴Rt△ABC的两条直角边为4和2，

∴Rt△ABC的面积=12×4×2=4.

故答案为：4.10．解下列方程：（1）4(1+x)（2）x2（3）(2x+1)2【答案】（1）解：4(1+x)(1+x)21+x解得：x1（2）解：x2x2(x+2)2x+2=±解得：x1（3）解：(2x+1)2(2x+1)2(2x解得：x1【解析】（1）给方程两边同时除以4，然后利用直接开平方法进行计算；

（2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+2)2=2，接下来利用直接开平方法进行计算；

（3）将右边的式子移至左边，提取公因式(2x+1)可得(2x+1)(2x+1+3)=0，据此求解.【培优训练】11．已知一元二次方程式(x-2)2=3的两根为a、A．9 B．-3 C．6+3 D．【答案】C【解析】(xx-2=3所以x1=2+3即a=2+3，所以2a故答案为：C.12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9【答案】C【解析】x2+6x+c＝0，移项得：x配方得：(x+3)2=9-c，而（x+3）∴9-解得：c故答案为：C.13．对于任意的实数x，代数式x2-A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定【答案】A【解析】x2-∵(x-5∴(x-5故答案为：A.14．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2，x2=1(aA．x1=0，x2=3 B．xC．x1=-4，x2=2 D．x【答案】B【解析】∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2，x2=1∴把x+2当做第一个方程中的x，则方程a(x+2+m)2+则x+2=-2或x+2=1解得x1=-2-2=-4，∴方程a(x+2+m)2+b=0的解是x1故答案为：B.15．一元二次方程（x+5）2=（1-3x）2的根是.【答案】x1=-1，x2=3【解析】∵（x+5）2=（1-3x）2，

∴x+5=±（1-3x），

∴x+5=1-3x或x+5=-1+3x，

解之：x1=-1，x2=3.

故答案为：x1=-1，x2=3.

16．若一元二次方程ax2=b，当ab>0时的两个根分别是m+1与2m-4，则m=；当ab0时，一元二次方程ax2=b没有实数解.【答案】1；<【解析】ax2=b，

x2=ba，

∵ab>0，∴ba>0，

∴x=±ba，

∴（m+1）+（2m-4）=0，

解得m=1，

当ab<0，ba<0，

∴x2=ba<0，

∴原方程没有实数解.

故答案为：1，＜.

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4【答案】9【解析】∵a:b∴设a=3k，b由勾股定理得：(3k)2+解得：k=3(负值已舍)∴a=9故答案为：9．18．若(a2+b2)2=9【答案】3【解析】∵(a2∴a2+b2=3∵a2≥0，b∴a2+即a2故答案为：3.19．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程4a(x+12m)2【答案】32或【解析】∵方程a(x+m)2+b=0的解为：x1=3∴a(3+m)2解得：m=-5ba∵4a(x+12m)2∴4(x+1∴4(x-5∴x=32或故答案为：32或720．阅读下列材料，并回答后面的问题：数学课上，李老师在求代数式x2+4x解：x===∵(∴(∴当x=-2时，代数式x2通过阅读，求代数式x2【答案】解：x2－6x+7=x2－6x+9－2=（x2－6x+9）－2=（x－3）2－2，∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2－2≥－2，当x=3时，代数式x2－6x+7的最小值为－2．【解析】先求出x2－6x+7=（x－3）2－2，再根据（x－3）2≥0，求解即可。【直击中考】三、中考21．（2020·扬州）方程（x+1）2=9的解是.【答案】2或-4【解析】根据直接开方法即可解出方程.（x+1）2=9x+1=±3x=2或-4.22．（2019·安徽）解方程：(x-1)【答案】解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，解得：x=-1或x=3.【解析】利用直接开平方法直接将方程转化为两个一次方程，解出x值即可.23．（2022·齐齐哈尔）解方程：(【答案】