2022-2023学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设a,夕是两个不同的平面，直线mua,则“对夕内的任意直线I,都有机12”是“a10”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了

解学生的健康状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三

年级抽取25名学生，贝加为（）

A.75B.85C.90D.100

3.点4为椭圆摄+，=l（a>6>l）的右顶点，P为椭圆C上一点（不与力重合），若丽・

方=0（0是坐标原点），则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A.（1,1）B.存,1）C.（展1）D.（0,华

4.己知非常数数列｛5｝满足厮+2=竺喘酶（neN,n>1,%。为非零常数）,若a+。40,

则（）

A.存在a,0,对任意的，a2,都有数列｛&J为等比数列

B.存在a,B，对任意a2,都有数列｛a"为等差数列

C.存在的,a2,对任意a,0,都有数列｛斯｝为等差数列

D.存在的,a2,对任意a,B，都有数列｛厮｝为等比数列

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.点（2,—1）到直线x—y+3=0的距离为.

6.已知一组数据8.6,8.9,9.1,9,6,9.7,9.8,9.9,10.2,10.6,10.8,11.2,11.7,则该

组数据的第80百分位数为.

7.在空间直角坐标系中。-孙z,点（1,-2,3）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为

8.（x+；）i。的二项展开式中一项的系数为.

9.已知正方形4BCD的边长为4,若并=3而，则.丽的值为.

10.若双曲线/一、=1（》>0）的一条渐近线与直线丫=2久一1平行，则。=.

11.在长方体ABC。—A/iG/中，AD=AA1=1,AB=2,点E为棱48的中点，则二面

角Di-EC-。的大小为（结果用反三角函数值表示）

12.设等比数列｛斯｝的公比为2,前71项和为%,若S4=2s2+1,则.

13.有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念.若从这6人中随机选取2人拍双人照，则

选中的2人恰为1男1女的概率是.

14.某校开展“全员导师制”.有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一

名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）.

15.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正

四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”.若一个正四面体/、>一（•、

的棱长为12,则对应的“阿基米德体”的表面积为.\/

16.对于项数为10的数列｛即｝,若满足1<\ai+1-

a"W2（其中i为正整数，i€[1,9]），且a1=a】。€设ke｛an|an>0｝,则k的最大值

为.

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题14.0分）

记立为等差数列｛%｝的前n项和，已知59=-&5.

（1）若=4,求｛an｝的通项公式；

（2）若的>0,求使得配>与的n的取值范围.

18.（本小题14.0分）

已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,底面半径为2.

（1）若圆锥的侧面积为8m求圆锥的体积；

（2）设PO=4,点4、B在底面圆周上，且满足乙4。8=90。，M是线段2B的中点，如图.求直

线PM与平面POB所成的角的大小.

p.

19.(本小题14.0分)

已知，如图是一张边长为a的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形,

再折叠成无盖纸盒.

(1)试把无盖纸盒的容积U表示成裁去边长久的函数;

(2)当比取何值时，容积厂最大？最大值是多少？(纸板厚度忽略不计)

20.(本小题18.0分)

已知抛物线厂产=叙的焦点为入准线为

(1)若尸为双曲线C：盘一2y2=i(a>0)的一个焦点，求双曲线C的方程；

(2)设1与x轴的交点为E,点P在第一象限，且在「上，若圈=好，求直线EP的方程；

(3)经过点F且斜率为k(k*0)的直线Y与T相交于4、B两点，。为坐标原点，直线。力、OB分

别与I相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标;

若不是，说明理由.

21.(本小题18.0分)

已知函数g(%)=ax2—(a+2)%,ft(%)=Inx,令f(%)=g(%)+/i(x).

(1)当a=l时，求函数y=g。)在第=1处的切线方程；

(2)当。为正数且1<%<e时，=-2,求a的最小值；

⑶若弋？出)>—2对一切0<X]<与都成立，求a的取值范围.

X1x2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面垂直与面面垂直定义可解.

本题考查线面垂直与面面垂直定义，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，因为a,£是两个不同的平面，直线mua,若对£内的任意直线都有机1根

据线面垂直的定义可知m10,

znua,a1)3,

所以，“对s内的任意直线I,都有"，〃,"0“a，S”；即充分性成立，

若a_L£,因为mua,对0内的任意直线/,zn与/的位置关系不确定，

所以，”对£内的任意直线2,“a1夕'今",即必要性不成立，

故“对0内的任意直线/,都有m11”是“a10”的充分不必要条件，

故选：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查分层随机抽样的比例分配，属于基础题.

根据条件建立比例关系是解决本题的关键.

【解答】

解：由分层随机抽样的比例分配可露4。。;黑+］。°。=个

即幽=生

3600n

得n=90,

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：•・•设P(%,y),

-PO-PA=0(。是坐标原点)，

,。一犷+V=?nc2%2—a3%+a2b2=0,

b2X2+a2y2-a2b2

=>(c2x—ab2)(x—a)=0

今x=a,x=哆

.ab2

n0<&Va,

・•・b2<c2.

c、C

・•・贝哈的取值范围是(空,1).

a2

故选：B.

2

一―一+vy=—22322

设P(久,y),由万■YA=0,可得4=>cx—ax+ab=0=>x=a,x

22

{bx+a2y2=a2b2'

0<4<a.即可求解.

CL

本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意，得与+2=吧喘维=施即+1+品即.

令"施,则扁=1，

•••a,0为非零常数且a+£力0,

.•.31—t均为非零常数，

・•・常数two,且tW1.

故%+2=tan+1+(1-t)an.

两边同时减去％i+i，可得

an+2~an+l=tan+l~an+l+Q-0an=(七一l)(an+l一an)-

•・,常数tW0，且tW1.

t—1W—1,且t—1H0.

aa=a2n-1

•••n+l-n~1)5-n-l)=(t-l)(an_t-an_2)=…=(t-l)(a2-。1)・

・••数列5｝是非常数数列，

・••g—。0，

(Y

则当t—1=1,即t=2,即由=2,即a+20=0时，

an+l~an=an~an-l=an-l—an-2=…=02-•

此时数列｛厮｝很明显是一个等差数列.

存在a,0,只要满足a,。为非零，且a+2。=0时，对任意的，a2,都有数列｛%J为等差数列.

故选：B.

本题先将递推式进行变形，然后令力=而，根据题意有常数two,且tW1.将递推式通过换元法

简化为%+2=力⑥1+1+(11.两边同时减去的1+1，可得册+2-%i+l=(t-1)(。九+1-&l).根据

2

此时逐步递推可得a九+1—CLn=(t—1)((1rl-dn-i)=(t—l)(czn-i—。九-2)=…=(t-

(X

l)nT(a2—根据题意有a2—a170,则当t—1=1,即t=2,即函函=2,即a+20=0时，

可得到数列｛厮｝是一个等差数列.由此可得正确选项.

本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列和等比数列的基本性质，换元法的应用，逻辑

思维能力和数学运算能力.本题属中档题.

5.［答案］3AT2

【解析】解：点(2,—1)到直线x-y+3=。的距离为d=导詈=3<7.

故答案为：3/攵.

由题意，利用点到直线的距离公式，计算求得结果.

本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

6.【答案】10.8

【解析】解：由题设知：数据共有12个，贝U12x0.8=9.6,即第80百分位数在第10位，

.•.第80百分位数是10.8.

故答案为：10.8.

根据题设及百分位数的求法，得到第80百分位数所在的位次，找到对应位次上的数，即为所求.

本题考查百分位数的定义，属于基础题.

7.【答案】(—1,—2,3)

【解析】

【分析】根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点(1,-2,3)关于坐标平面yOz的对称

点的坐标为(一1,一2,3),

故答案为：(-1,-2,3).

【解答】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可.

本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题.

8.【答案】210

【解析】解：在(久+；)1°的二项展开式中，通项公式为T「+i=码0-炉°一2,，

令10—2r=2,求得r=4,可得/项的系数为置。=210.

故答案为：210.

由题意，在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于2,求得r的值，可得展开式中含/项的

系数的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

9.【答案】6

【解析】解：如图所示建立平面直角坐标系：

则4(0,4),8(0,0),C(4,0),D(4,4),

设P(x,y),则乔=(x,y),4=(4一心4一y)，

因为丽=34，

则丽=|BD,

4

则P(3,3),

所以两=(-3,1),PF=(-3,-3)，

所以刀•~PB=(-3)x(-3)+1x(-3)=6.

故答案为：6.

先建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到同，丽的坐标，再利用数量积的坐标运算求

解.

本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.【答案】2

【解析】解：双曲线广―，=13>0),

则Q=1,

双曲线/一，=>0)的一条渐近线与直线y=2x-1平行，

则2=人=2.

a

故答案为：2.

先求出a=l,再结合渐近线的定义，以及直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查双曲线的性质，属于基础题.

11.【答案】arctan号

【解析】解：由题意，过点。作DO1EC,垂足为E,连接

则ADE2为二面角％-EC-。的平面角

在△DEC中，DEXEC=2x1

•••DE=7-2

在RMDEDi中，tanNDE£»i=?

二二面角—EC—。的大小为arctan

故答案为arctan号

由题意，过点。作DO1EC,垂足为E,连接。1E,贝ikDEDi为二面角Di-EC-D的平面角，求DE

长，即可求得二面角的平面角.

本题以长方体为依托棉球二面角的平面角，关键是利用定义作出二面角的平面角，从而在三角形

中求解.

12.【答案吗

【解析】解：由题意，可得S4=也#=15的，

S?=+。2=+2al=3a],

S4=2s2+1,

•••15al=2•3al+1,

解得的=上，

14

•••%=§•2o'2=》

故答案为：

先根据等比数列的求和公式写出S4与S2关于首项的的表达式，再代入题干已知条件列出关于首项

%的方程，解出的的值，最后根据等比数列的通项公式即可计算出的的值.

本题主要考查等比数列的基本运算.考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与

求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题.

13.【答案】|

【解析】解：设选中的2人恰为1男1女为事件4

故P（a）=警4=1,

故答案为：

根据组合数公式结合古典概率公式即可得到答案.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

14.【答案】20

【解析】解：有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多

只能被3位学生选择，

故可将学生分组为2,3,共有量程=10种，

再将分好的学生分配给2名导师，共犯=2种，

故不同的选择方案共有10X2=20种.

故答案为：20.

根据题意可知，将学生分组为2,3,分好之后再对其进行分配，结合分步乘法计数原理计算即可.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

15.【答案】112/3

【解析】解：正四面体的表面积为华x122x4=144，忑，

4

截去顶角所在的小正四面体以后，对应的“阿基米德体”的表面积为144「-4X2X厚X42=

4

112AT3.

故答案为：112小年.

先求出正四面体的表面积，由阿基米德体定义，分析减去的面积和增加的面积分别是多少，即可

得出结论.

本题考查多面体的表面积求法，属基础题.

16.【答案】8

【解析】解：因为1W|七+1-四|W2,

所以1W%+1—<2或—1>%+i—a；>—2,

设d=ai+1-a(£[—2,-1]U[1,2],

则｛斯｝中相邻两项相差最大为2,要保证的=的06[-1,。]，则数列｛即｝中的项有增有减，

假如仇中有x个2,增量最大为2久，则有9-x项是减少的，

则必有念e[1,2],所以久6[3,4.5],解得x=3或4,

取x=4,出取最大值0,按最大连续增量8计算，有口5=%+8,

即｛厮｝中有最大值为=8，

即k的最大值为8.

故答案为：8.

由已知根据数列的增减性计算即可.

本题主要考查了数列的单调性在数列最值项的求解中的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)根据题意，等差数列｛厮｝中，设其公差为d,

若S9=—a5,贝况=S+；9)x9_9a§=—a5,

可得as=0,即的+4d=0,

若=4,则d="#=-2,

则+(九—3)d——2.71+10；

(2)若S九>an,则几的+Dd>a-t+(n—l)d,

当九=1时，不等式成立，

当九之2时，有当之d-Q「变形可得(荏一2)d之一2a3

又由(1)得的+4d=0,即d=-y,

则有(九一2)等之一2%,

又由的>0,则有n<10,

则有2WnW10,

综合可得：lWnWl(kaneN*.

【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用.

(ai+9)X9

(1)根据题意，等差数列｛an｝中，设其公差为d,由S9=-。5,即可得59=；=9a5=-a5,

可得a5=0,结合。3=4,计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；

71

(2)若%>an,贝1仇％_+(7)d4-(n-l)d,分n=1与n>2两种情况讨论，求出n的取值

范围，综合即可得答案.

18.【答案】解：(1)因为圆锥的底面半径为2,侧面积为兀x2/=8?r,「本

所以圆锥母线长为1=4,

所以圆锥的高为％=742-22=2^3,//：?\\

圆锥的体积为^=**22*2q=殍兀；/\

(2)取。8的中点N,连接PN和MN,如图所示：B

因为PO=4,P。！平面2。8,MNc^^AOB,所以P。1MN,A

又因为乙4OB=90。，所以4。1OB,

又因为M是线段4B的中点，N是。B的中点，所以MN〃AO,所以MN10B,

又因为P。C08=。，所以MN1平面POB,

所以NMPN是直线PM与平面POB所成的角，

-MPV=MN=11

Rt4MPN中,TANZY7NI=717,

J4Z2+12Z

所以Z_MPN=arctan

17

即直线PM与平面P08所成的角是arctan/.

17

【解析】(1)求出圆锥的母线长和高，再计算圆锥的体积.

(2)取B。的中点N,连接MN、PN,证明MN_L平面POB,乙MPN是直线PM与平面POB所成的角.由

此求出直线PM与平面POB所成角的大小.

本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，也考查了线面垂直的判定与性质、线面角计算问题，

是中档题.

19.【答案】解：(1)由题意可知，正方体的底面的长与宽都为a-2x,高为x,

则U(久)=K(a—2x)2,%e(0,|)；

(2)由⑴可知，7(%)=x(a-2x)2,x6

则『(x)=(a-2x)2-4x(a-2x)=(a—2%)(a—6x),

当xe(o,$时，V'(x)>o,即VO)在(0*)上单调递增，

当久e(靓)时,V'(X)<0,即。(X)在(猊)上单调递减,

故心)在久建取得极大值，也为最大值，最大值为飞)=枭3

【解析】(1)根据已知条件，结合体积的公式，即可求解；

(2)根据(1)的结论，并利用导数研究函数的单调性，即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题.

(2乂与x轴的交点为E(-l,0),设点P(x,y)。>0),

・••点「在『上’盟=9,

y2=4%

.•-％+l_=C,%>0,解得％=1,y=2,

J(x+l)2+y22

・•・E(l,2),

・,・直线EP的方程为：y-0=何(、+1),化为：x—y+1=0.

—1—12

(3)设8(%2①)，

直线Y的方程为：y=/c(%—l),(fc0),

联立—D,化为：ky2-4y-4k=0,

4

■■■yi+y2=pyiy2=-4，

直线oa的方程为：丫=部=打，可得M(—i,一白)，

X1Z1Z1

直线。B的方程为：y=,x，可得N(—1,—/

二线段MN的中点c(—l,W),

_2__A=-2(力+力)=2

yiy-i一巧巧一觉

2

•••C(-l.p.

2

其半径静T竺电器严M+4.

•••以线段MN为直径的圆C方程为：(x+l)2+(y—，=5+4,化为Q+l)2+y2—N=0,

令y=0,则x=-3,或1.

•••以线段MN为直径的圆C过定点(一3,0),或(1,0).

【解析】由抛物线「y2=4%,可得焦点尸(1,0),准线/：x=—1.

(1)由F为双曲线C：胃—2必=1Q>0)的一个焦点，可得c=Ja2+-=解得a，即可得出

双曲线C的离心率e.

(2乂与无轴的交点为E(-1,0),设点P(x,y)。>0),根据点P在「上，罂=苧，可得

I产七IN

y2=4x

%+1―士,x>0,解得％,y,进而得出直线E尸的方程.

J(x+l)2+y22

(3)设A(%i，yi),5(%2，y2)，直线，'的方程为：y=k(x—1),(fcH0),与抛物线方程联立化为：ky2—

4y—4k=0,可得根与系数的关系，直线。4的方程为：y=^x=^x,可得M坐标，直线。8的

九1>1

4

方程为：y=-x,可得N坐标，可得线段MN的中点C,进而得出以线段MN