2024年辽宁省大连市普兰店区九年级中考数学质检试题

2023-2024学年辽宁省大连市普兰店区中考数学质检试卷（4月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．3的相反数是（）A．-3 B． C．3 D．2．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A． B． C． D．3．计算的结果为（）A．4 B．-4 C．8 D．-84．点关于x轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．5．如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A． B． C． D．6．下列运算正确的是（）A． B． C． D．7．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．9．如图，Rt△ABC中，，，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且，，则（）A． B． C． D．10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．计算：________．12．如图，在△ABC中，，若，，则________．13．如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在、位置上．若，那么________°．14．如图所示的半圆中，AD是直径，且，，则的值是________．15．如图，△ABC中，，点D、E分别在AC的延长线和CA的延长线上，，，则________度．16．如图，△ACD中，B是边CD上一点，且，，E是AB上一点，且．若，，，则y与x的函数关系式为________．三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题9分）计算：．18．（本小题9分）解不等式组把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．19．（本小题9分）如图，AB和CD相交于点O，，．求证：点O是DC的中点．20．（本小题12分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别成绩x分频数（人数）第1组6第2组8第3组14第4组a第5组10请结合图表完成下列各题：（1）①求表中a的值；②频数分布直方图补充完整．（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）若某校有1500名同学参加初赛，按60分以上为及格，则可以估计共有多少同学可以及格？21．（本小题9分）中山市某施工队负责修建1800米的绿道，为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成，求实际平均每天修绿道的长度？22．（本小题10分）如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度（结果精确到0.1米）（，，）23．（本小题10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）AB第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．24．（本小题11分）△ABC中，，，，点D在线段BC上，将线段BD绕点D顺时针旋转，得到线段DE，再将线段DE顺时针旋转90°，得到△DEF，若，△EFD和△ABC重合部分的面积为S．图1备用图（1）当EF恰好经过点A时，________；（2）求S与x之间的函数关系式．25．（本小题11分）如图△ABC中，，垂足为D，，若，，CD长为y，则y与x的函数关系式为________．二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以下想法：①小明：由，想到构造等腰三角形，把△ACD以AD为轴翻折，到△ADE，可设∠DAC为，则∠ABC为，通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出y和x的数量关系．（1）问题：请按照上面两名同学的思路，证明：①；②写出y和x的数量关系式．（2）问题拓展：矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，，，若，求的值．26．（本小题12分）如图，△ABC中，CE、BF相交于点D，，（1）图中和∠EBD相等的角是________；（2）若，，求的值．

答案和解析1．【答案】A【解析】解：根据概念，3的相反数在3的前面加“-”号，则3的相反数是-3．故选：A．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【答案】B【解析】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴，解得：．故选：B．直接利用分式有意义的条件分析得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．3．【答案】A【解析】解：．故选：A．直接利用算术平方根的定义得出答案．此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．4．【答案】C【解析】【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标为，故选：C．5．【答案】C【解析】解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最右边是一个正方体．故选：C．根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可．本题考查了三种视图中的主视图，培养了学生空间想象能力．6．【答案】C【解析】解：A、，错误；B、，错误，；C、，正确；D、，错误；故选：C．此题只需根据整式加减的运算法则对各选项中的等式进行判断．本题考查了整式的加减，比较简单，容易掌握．注意不是同类项的不能合并．7．【答案】B【解析】解：由得，∵方程有负数解，∴，解得．故选：B．把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可．本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．8．【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．设该店有客房x间，房客y人：根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选A．9．【答案】D【解析】解：如图，过点D作于H，于G，∵，，∴可设，．∵，，，∴四边形DGCH是矩形．∴，，．∴，，且，∴，．∵，∴．∴，且．∴．∴．∴．故选：D．依据题意，过点D作于H，于G，可证四边形DGCH是矩形，，，，由题意，可设，，由平行线分线段成比例可得，，通过证明，可得，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．10．【答案】C【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．【解答】解：根据题意，．设，则．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：，即，解得，∴．故选C．11．【答案】【解析】解：原式．故答案为．本题考查了分式的加减运算．解决本题主要是因式分解，然后化简．此题的关键是运用平方差公式进行因式分解．分解后再化简，即．12．【答案】12【解析】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：12．通过证明，可得，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．13．【答案】100【解析】解：∵四边形纸片ABCD是矩形纸片，∴（矩形的对边相互平行），∴（两直线平行，内错角相等）；又∵（已知），∴，根据图形的翻折不变性，，∴（外角定理）．故答案是：100．根据纸片是长方形，找到图中的平行线，再根据平行线的性质和翻折不变性解题．本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，只是上的位置变化．14．【答案】【解析】解：∵AD是直径，∴．∵，，∴．∵，∴．故答案为．根据圆周角定理得到，因而．本题考查了圆中圆周角的转化和直角三角形三角函数的求解，决定三角函数值大小的是角的大小，只要角的大小相同，函数值就相同．15．【答案】96【解析】解：设，，∵，又，∴，∵，∴，△ABC中，，∴，∴，∴．故答案为：96．设，，根据等腰三角形的性质得：，，根据三角形的内角和定理得：，可得，从而得结论．本题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，学会利用参数表示角的大小是关键．16．【答案】【解析】解：如图，过点A作于P，作交BC的延长线于G，∴．由题意，得，，，∵，，∴．∴，∴．∴．∵，，∴，∴．∴．∵，∴．∴．∴．故答案为：．作辅助线，构建相似三角形，由题意，，，，再证明，通过列比例式结合平行线分线段成比例定理可得解．本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及平行线的判定，解本题的关键是作出辅助线构造相似三角形．17．【答案】解：原式．【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18、【答案】解：由①得由②得∴原不等式组的解集为数轴表示：不等式组的整数解是-1，0，1，2．【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．本题考查不等式组的解法，需要注意不等式组解的解集在数轴上的表示方法，当包括原数时，在数轴上表示应用实心圆点表示方法，当不包括原数时应用空心圆圈来表示．19．【答案】证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等）．又∵，∴．∴，∴点O是DC的中点．【解析】根据平行线的性质，证明三角形全等，再利用全等三角形的性质，即可求证．本题重点考查平行线的性质及三角形全等的判定与性质．20．【答案】解：（1）①由题意和表格，可得，即a的值是12；②补充完整的频数分布直方图如图所示，（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，∴本次测试的优秀率是：；（3）（名）．答：估计共有3120名同学可以及格．【解析】（1）①根据题意和表中的数据可以求得a的值；②由表格中的数据可以将频数分布表补充完整；（2）根据表格中的数据和测试成绩不低于80分为优秀，可以求得优秀率；（3）利用样本估计总体的射线求解．本题考查列表法与树状图法、频数分布表、频数分布直方图、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，可以将所有的可能性都写出来，求出相应的概率．21．【答案】解：解：设原计划平均每天修绿道的长度为x米，则，解得：经检验：是原方程的解，且符合实际，（米）．答：实际平均每天修绿道的长度为180米．【解析】根据提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成，得出等式求出即可．此题主要考查了分式方程的应用，根据已知施工天数得出等式是解题关键．22．【答案】解：过点A作于E，∵，，∴四边形ABCE是矩形，∵米，∴米，∴在RT△AEC中，（米），在Rt△ADE中，∵，∴（米），∴（米）．答：该大厦的高度约为105.2米．【解析】首先过点A作于E，可得四边形ABCE是矩形，即可得米，然后分别在Rt△ACE中，与在Rt△ADE中，，继而求得大厦的高度．此题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．23．【答案】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品件，根据题意得：．因为A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，所以，解得：．因为在中，w的值随m的增大而增大，所以当时，w取最大值，最大值为，所以当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品件，根据总利润=单件利润购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．24．【答案】7【解析】解：（1）如图：根据旋转的性质可得：，∴△DEF为等腰三角形，∴，∵，∴，∵，，∴△CAF为等腰三角形，∴，∴，解得，故答案为：7．（2）当点C与点F重合时，设，，∴，①，如图：设DE交AB于H，EF交AB于G做于M，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，设，