椭圆的标准方程2

椭圆的标准方程【考点梳理】考点一：椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.考点二：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2考点三：求轨迹方程的方法直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；

（2）写出适合条件的点M的集合；

（3）将“翻译”成代数方程；（4）化简代数方程为最简形式.【题型归纳】题型一：利用椭圆的定义求方程1．（2023秋·上海浦东新·高二校考）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P到、的距离之和是10，∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,,解得：，∴，∴轨迹方程为:，故选:B.2．（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为，且，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：C3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，所以，得.又因为，所以四边形为矩形，设，则，所以得或；则，则，椭圆的标准方程为.故选:C.题型二：椭圆的焦点三角形问题4．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由，即，可得，根据椭圆的定义，所以.故选：B.5．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.6．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆最大时，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.【详解】由椭圆的方程可得，，，则，所以，当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，此时，.故选：C.题型三：根据方程表示椭圆求参数问题7．（2023·江苏·高二专题练习）已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，列不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】将曲线C的方程化为，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：A.8．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（

）A．（－3，1） B．（－3，5）C．（4，5） D．【答案】A【分析】由方程表示椭圆，结合椭圆的性质有，即可求m范围.【详解】由题设，，可得.故选：A9．（2022·江苏·高二专题练习）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：．所以成立的充要条件是：．结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，故选：B.题型四：椭圆的标准方程的求法10．（2022秋·江苏南通·高二校考阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解.【详解】由椭圆面积公式可得，当时，①，如图，当为等边三角形时，②，联立①②得：，故椭圆的方程为.故选：B11．（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.故选:A.12．（2023·江苏·高二专题练习）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可设椭圆的方程为，将代入可求得结果.【详解】由题意可设椭圆的方程为.又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程，得，解得（舍去）.故所求的椭圆方程为.故选：B.题型五：与椭圆有关的轨迹问题13．（2023·江苏·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.【详解】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，所以，即，整理得，故选:C.14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；【详解】设，,，则,．为线段的中点，，即，．又点在圆上，，即．故点的轨迹方程为．故选：A15．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求出的轨迹方程.【详解】设，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，,所以,由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A题型六：椭圆的最值问题16．（2023·江苏·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故选：D.17．（2023·江苏·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.【详解】解：设圆的圆心为，则，设，则，所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B．18．（2023·江苏·高二专题练习）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【分析】依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案．【详解】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，又因为，所以，PM为圆的切线，，所以当PF最长时，切线长PM最大．当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．此时的最大值为．故选：B．题型七：椭圆方程的综合问题19．（2023·江苏·高二专题练习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出，，即可求得椭圆方程；（2）由焦点坐标可知且在y轴上，设出标准方程代入计算即可.【详解】（1）由已知得，因此．又因为，所以，易知椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为．由已知得，又因为，所以．因为点在椭圆上，所以，即．从而有，解得或（舍去）．因此，从而所求椭圆的标准方程为．20．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为．（2）如图，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．21．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上的点P使得，求的面积．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由题意可知，，代入椭圆的标准方程进行求解即可；（2）假设椭圆C上存在点，使得，则，可求出，根据计算可得结果.【详解】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得，则，即，联立，解得，．∴椭圆C上存在点P使得．∴．【双基达标】单选题22．（2023秋·江苏淮安·高二校考）焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.【详解】因为焦点在y轴上，故设椭圆方程为，则，且，解得：，所以椭圆的标准方程为.故选：D23．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.24．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得.故选:C.25．（2023·江苏·高二专题练习）已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），从而求出轨迹方程.【详解】解：∵的周长为，，∴，，∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），又，，可得，∴顶点的轨迹方程为：．故选：D．26．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程：(1)一个焦点为(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程；（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解.【详解】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，又，所以，所以，椭圆方程为.（2）椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，则有，解得，所以所求椭圆方程为.27．（2023·江苏·高二假期作业）已知平面上两点，，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)当动点P满足时，求P点的纵坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据动点满足的几何性质和椭圆的定义可得动点的轨迹方程；（2）设，根据和椭圆定义得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.【详解】（1）因为，由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，又因为，，所以椭圆焦点在轴上，半焦距，故，故方程为：.（2）由（1）知，、是椭圆的两个焦点，设，在中，因为，所以，即，又，所以，在中，，又，所以，得P点的纵坐标为．【高分突破】一、单选题28．（2023·高二课时练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．9【答案】A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，②2①整理得：，所以故选：A29．（2022秋·江苏南京·高二统考阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得，从而求得的面积.【详解】设，根据椭圆的定义以及余弦定理得，整理得，即，所以的面积为.故选：C30．（2023·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案【详解】解：由椭圆可得即，因为P为椭圆上的点，所以，因为，所以，，故，故选：B．31．（2022秋·江苏南京·高二校考开学考试）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．故选：C．32．（2023·高二课时练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.【详解】因为，所以三点共线，且，因为分别为和的中点，所以，所以，设，，，由，可得，求得，，所以，因为点在椭圆上，所以，求得，，所以椭圆的方程为.故选：B.33．（2023·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（

）A．当点P不在x轴上时，的周长是6B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为C．存在点P，使D．的取值范围是【答案】C【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.【详解】由椭圆方程可知，，从而．对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是，故选项A正确；对于选项B：设点，因为，则．因为，则面积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．此时，，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．故选：C.【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则（1）焦点三角形的周长为；（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；（4）.二、多选题34．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则【答案】AD【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.【详解】当即时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.35．（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.36．（2023秋·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（

）A．若点的横坐标为2，则B．的最大值为9C．若为直角，则的面积为9D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为【答案】BCD【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；对B，最大值为对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积；对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；对B，的最大值为，B对；对C，为直角，设，则，则有，则的面积为，C对；对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.故选：BCD37．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为 B．的面积最大值为C．存在点，使得 D．的最大值为【答案】ABD【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.【详解】对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：ABD.38．（2023秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（

）A．△F1PF2的周长为16 B．C．点到x轴的距离为 D．【答案】ABC【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案.【详解】依题意，，，所以三角形的周长为，A选项正确，设，所以，整理得，所以，B选项正确，设到轴的距离为，则，C选项正确，，D选项错误.故选：ABC39．（2022秋·江苏常州·高二校考期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（

）A．当时，B．的取值范围为C．的面积的最大值为D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形【答案】BCD【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D．【详解】在椭圆中，，且，对于A，在中，由余弦定理可得，即①，又，即②由②－①解得8，∴的面积为，故A错误；对于B，设点，则，，，∵，，∴，∴的取值范围为，故B正确；对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角；当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形；当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形．所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确．故选：BCD．三、填空题40．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：41．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．【答案】【分析】根据椭圆的定义和标准方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则，因为，可得，，在中，由余弦定理得，因为，所以.故答案为：42．（2023·江苏·高二专题练习）椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方