湖北省襄阳市保康县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省襄阳市保康县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程，常数项为(

)A.1 B. C. D.32.下列函数中，y是x的反比例函数的是(

)A. B. C. D.3.一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A.3 B. C. D.4.抛物线的对称轴为(

)A. B. C. D.5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为、，则的大小为(

)

A. B. C. D.6.下列电视台的台标，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.7.直径为10的中，弦，则点O到弦AB的距离为(

)A.3 B.4 C.5 D.68.如图，在中，，，，，则EC的长为(

)

A.1 B.2 C.3 D.49.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，，则下列结论：①∽；②；③DE：：2；④中成立的有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.反比例函数的图象，当时，y随x的增大而______.12.在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是______.13.已知，则_______.14.如图，A、B、C分别是上的三点，已知，则的大小是______

15.如图，圆锥的底面半径为1cm，高SO等于，则侧面展开图扇形的圆心角为______

16.如图，是二次函数的大致图象，则下列结论：①；②；③；④中，正确的有______写上所有正确结论的序号

三、计算题：本大题共1小题，共7分。17.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，交BC于点

求证：∽

若AE：：2，求DE：EF的比值．四、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题7分

解一元二次方程：19.本小题7分

如图，网格中，每个小正方形边长为

分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形；

连结，，判断形状并证明；

证明不在线段上．20.本小题7分

如图，在中，，以AC为直径的与AB边交于点D，过点D作的切线，交BC于点

求证：；

若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．21.本小题6分

小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？22.本小题7分

如图，已知双曲线与直线交于A、B两点，点A的坐标为

求m、k的值及点B的坐标；

若点在第一象限的双曲线上，试求出n的值及点P的坐标．23.本小题10分

某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价元/件与每天销售量件之间满足如图所示的关系：

求出y与x之间的函数关系式；

写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

24.本小题11分

如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______；

[拓展应用]

如图②，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为______用含a，h的代数式表示

[灵活应用]

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，求该矩形的面积______.

25.本小题12分

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线经过A，C两点．

求抛物线的解析式；

在AC上方的抛物线上有一动点

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线交AC于点E，若PE：：8，求k的值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

移项，得，

一元二次方程的常数项是

故选：

把方程化为一般形式，可得常数项是

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为2.【答案】B

【解析】解：A、是一次函数，不是反比例函数，

故A选项不符合题意；

B、是反比例函数，，

故B选项符合题意；

C、不是反比例函数，

故C选线不符合题意；

D、的次数是2次的，不是反比例函数，

故D选项不符合题意，

故选：

根据形如为常数，的函数称为反比例函数，即可判断．

本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：设m、n是方程的两个实数根，且；

则有：，即；

故选：

根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．

熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．4.【答案】C

【解析】解：由抛物线知，该抛物线的对称轴为

故选：

由二次函数顶点式求解．

本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．5.【答案】B

【解析】【分析】此题考查了圆周角的度数和它所对的圆心角度数之间的关系：圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．

根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，从而可求得的度数．

【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，

根据量角器的读数方法可得：

故选：6.【答案】C

【解析】解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；

C、是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故D选项不合题意．

故选：

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．

本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是解题的关键．7.【答案】A

【解析】解：连接OA，作于C，如图，

，

，

在中，，

即点O到弦AB的距离为3，

故选：

连接OA，作于C，如图，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算OC的长即可．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．8.【答案】B

【解析】解：，

，

即，

解得：，

故选：

根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．

本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段，所得线段对应成比例是解题的关键．9.【答案】C

【解析】解：

，，

，

，故②正确；

∽，故①正确；

：：：3，故③错误；

故④正确，

其中成立的个数有3个，

故选：

由已知条件易证，则∽，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．

本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．10.【答案】A

【解析】解：过点M作，垂足为A

设，，

则，

解得，

，，

，所以点N的坐标是

故选：

本题可根据MN垂直x轴得知N的横坐标与M相同，根据图形连接MP和NP，根据三角形的勾股定理列出方程，化简求解即可得出答案．

本题综合考查了圆形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度中等的综合题，关键是根据勾股定理和垂径定理确定点P的坐标，从而得到N的坐标．11.【答案】减小

【解析】解：，

当时，y随x的增大而减小．

故答案为：减小．

直接根据反比例函数的性质即可得出答案．

本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．12.【答案】

【解析】解：点关于原点O对称的点的坐标是：

故答案为：

直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．13.【答案】解：

，

故答案为：

【解析】根据等式的性质，可用y表示x，根据等式的性质，可得答案．

本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．14.【答案】25

【解析】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，

，

故答案为：

直接根据圆周角定理即可得出结论．

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15.【答案】120

【解析】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为，

圆锥的底面半径r为1，高h为，

圆锥的母线长为：，

则，

解得，，

故答案为：

根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据弧长公式计算即可．

本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．16.【答案】①②④

【解析】解：抛物线开口向下，

；所以①正确；

抛物线的对称轴在y轴的右侧，

，所以②正确；

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

，所以③错误；

抛物线与x轴有2个交点，

，所以④正确．

故答案为①②④．

利用抛物线开口方向对①进行判断；利用抛物线的对称轴的位置对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．17.【答案】证明：是正方形，

，

，

又，

，

，

∽

解：：：2，

：：3，

，

：：3，

∽，

：：：

【解析】有一个直角，只要再求出一组对应角相等即可；

由得∽，进而利用相似三角形的对应线段成比例即可求解线段DE与EF的比．

本题主要考查了正方形的一些性质以及相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．18.【答案】解：，

，

或，

，

【解析】利用因式分解法求解即可．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.【答案】解：如图，和为所作；

解：为直角三角形．

理由如下：，，，

，

为直角三角形；

证明：，，，

，

不在线段上

【解析】本题考查了中心对称图形，作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理．

利用网格特点和旋转的性质画出和；

先计算出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断；

计算可判断不在线段上．20.【答案】证明：连接OD，

是直径，，

是的切线，

又是的切线，

，，

，

，

，

又，

，

，

解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则，

又，

是等腰直角三角形，则，

是等腰直角三角形．

【解析】连接OD，由BC是的切线得出，由DE是的切线，得出，，故可得出，由此可得出结论．

当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则是等腰直角三角形，据此即可判断．

本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接OD得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．21.【答案】解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：

，

解得：，，

当时，元不合题意舍去；

答：她购买了20件这种服装．

【解析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．22.【答案】解：双曲线与直线交于A、B两点，点A的坐标为，

，，

双曲线和正比例函数的交点关于原点对称，

，

故答案为6，，；

点在第一象限的双曲线上，

，

解得或，

点在第一象限，

，，

只取，

【解析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；

把点代入，得，解方程即可．

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，题目比较典型，难度不大．23.【答案】解：设y与x之间的函数关系式为，由所给函数图象可知，

，

解得

故y与x的函数关系式为；

，

，

，

当时，，

售价定为140元/件时，每天最大利润元．

【解析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．

设y与x之间的函数关系式为，根据所给函数图象列出关于k与b的关系式，求出k、b的值即可；

把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．24.【答案】

720

【解析】解：、ED为的中位线，

，，，，

，，

又，

四边形FEDB是矩形，

，

矩形的最大面积与原三角形面积的比值为，

故答案为：；

[拓展应用]解：，

∽，

，

即，

解得：，

设，则，

当时，最大值为，

故答案为：；

[灵活应用]解：延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，如图③所示：

由题意知：四边形ABCH是矩形，

，，，，

，，

，，

在和中，

，

≌，

，

同理≌，

，

，

，

中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作于点L，

由开头的结论知：矩形的最大面积为，

即该矩形的面积为720，

故答案为：

先由三角形中位线定理得、，再由矩形和三角形面积公式求解即可；

【拓展应用】先证∽，得，设，再由矩形的面积公式得，然后由二次函数求最值即可；

【灵活应用】延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，先由矩形性质知、，再证≌，≌得，，从而