华东师大版八年级上册14章勾股定理章末复习

第14章勾股定理

章末复习华东师大版八年级上学期学而不疑则怠，疑而不探则空CAB一、直角三角形的性质角边面积直角三角形的两锐角互余。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。符号表达：在Rt△ABC中a2+b2=c2abc符号表达：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90º.知识归纳hS△ABC==ab12ch121、有一个内角为直角的三角形是直角三角形.∴∠C=90°或△ABC为直角三角形.CABabc二、直角三角形的判定2、两个内角互余的三角形是直角三角形.3、如果三角形的三边长为a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.符号表达：∵a2+b2=c2如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？CABD思考探究∵CD=DA=DB,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴△ABC是直角三角形.1、有一个内角为直角的三角形是直角三角形.4、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.CABabc二、直角三角形的判定2、两个内角互余的三角形是直角三角形.3、如果三角形的三边长为a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.1、有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个角之比为3：4：5；③三边长分别为7、24、25④三边之比为5：12：13其中直角三角形有（）A、1个B、2个C、3个D、4个C练习反馈S5S4S3S2S12、观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5的面积之和为多少？规律：S2+S3+S4+S5=S14′3′432′213、如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2和2′，……依此类推，若正方形1的边长为64，则正方形7的边长为

。84、△ABC三边a、b、c为边向外作正方形，或以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？ACabcS1S2S3ABCabcS1S2S3BS3S1S2CBA5、△ABC三边a、b、c，以三边为边长分别作等边三角形，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？6、已知等边三角形的边长为6.⑴求它的高.⑵求它的面积.BACD6663330°重要结论：边长为a的等边三角形的高为a32面积为a2347、如图在△ABC中，AB=AC=17，BC=16.

(1)求△ABC的面积；(2)求腰AC上的高.

DCB如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积。ADCB15131295C80602524BA9、如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如图所示,求两孔中心A、B之间的距离.(单位:毫米)10、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕。若AB=9，BC=3，试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFEH93x9-x9-xx2+32=(9-x)2x=49-x=5解:5541311、如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部分△BFD的面积。ABCDFA′48x8-x8-x42+x2=(8-x)2x=3S△BFD=5×4÷2=108-x=53512、如图，将一根25cm长的细木棍放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10

cm的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？C1020ABDE86253103513、某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路的某车站D的距离为5000米，现在要在公路边建一小商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站D的距离。3000ABCD50004000xx4000-xx=312530002+(4000-x)2=x2AMNPQ30°16080E14、如图，有一条公路MN和小路PQ在P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行使时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间?AMNPQ30°16080E14、如图，有一条公路MN和小路PQ在P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行使时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间?10010060BC60BC=120m18km/h=5m/s120÷5=24s15、△ABC中，周长是24，∠C=90°，且AB=9，则三角形的面积是多少？CABabc解：由题意可知，a+b=24-9=15a2+b2=812ab=(a+b)2-(a2+b2)=225-81=144S△ABC=ab÷2=72÷2=3616、已知Rt△ABC中，∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2CABabca+b=14c=10a2+b2=102=100(a+b)2=142=1962ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96AS△ABC=ab÷2=96÷4=2417、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）

A、56B、48C、40D、32ABCD8xx16-xx2+82=(16-x)2x=6BC=2x=12BS△ABC=12×8÷2

=4818、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=

。S1S2S3S41234解：设所求直角三角形的斜边为x，另一直角边为y，则19、直角三角形的一条直角边为9，另两边均为自然数，则另两条边分别是多少？即(x-y)(x+y)=81x2-y2=92∴

x+y>x-y，且x+y，x-y都为自然数∵自然数x>y，∵81=1×81=3×27=9×9或x-y=1x+y=81∴x-y=3x+y=27x1=41y1=40解得x2=15y2=12∴

另两条边分别是41、40或15、12.20、如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。324210ABCDEF32234C21、如图一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。APBA′DE124114522、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，OE、EF、FG、GH、HM、MN都是垂线，若△AMN的面积等于1cm2，那么正方形ABCD的边长等于

。MNHGFEODCBAS△AMN=1S△AMH=2S△AHG=4S△AGF=8S△AFE=16S△AEO=32S△AOD=64SABCD=25616cm23、为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，已知圆筒高108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。2736108ABC4545×4=180cm2724、如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为

m2AB865AB85610BA5644AB2=102+52=125AB2=62+92=117AB8556424、如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊子的最短距离的平方为

m2AB2=112+42=137AB86525、甲乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10:00时，甲乙两人相距多远？北南西东甲乙解：甲走的路程：乙走的路程：甲、乙两人之间的距离：6×(10-8)=12(千米)5×(10-9)=5(千米)122+52=13千米1、直角三角形两直角边长为a、b，斜边上的高为h，则下列各式总能成立的是()A、ab=h2B、a2+b2=2h2C、D、课后练习2、如图，等腰直角△ABC中，P为斜边BC上的任一点.求证：PB2＋PC2＝2PA2.ABPC1a1b1h+=1a21b21h2+=3、某风景区有2个景点A、B(B位于A的正东方),为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量，在点A的北偏东60º方向、点B的北偏西45º方向的C处有一个半径为0.7千米的小水潭.小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？参考数据：CAB30º

45º60º

45º3=1.732，2=1.414思考：

你能总结出多少关于勾股数的有趣结论？例如：如果直角三角形三边中两边长是连续正整数，则最短边长的