2020-2021学年淮安市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年淮安市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.下列命题中，假命题是（）

A.己知命题p和q,若pVq为真，pAq为假，则命题p与q必一真一假

B.互为逆否命题的两个命题真假相同

C.“事件4与B互斥”是“事件4与B对立”的必要不充分条件

D.若/（x）=2X,贝夕（x）=x­2、T

2.设命题：p：向量方与五共线，命题q：有且只有一个实数九使得方=而，则p是（/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知Fi，尸2桶圆C；2+《=l（a>b>0）的左右焦点，|正也|=4,点Q（2,烟在椭圆C上，P是

椭圆C上的动点，则所.而的最大值为（）

A.4B.-C.5D.44-V2

4.已知P为空间中任意一点，A、B、C、。四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且可=|而-

xPC+^BD,则实数x的值为（）

O

A*B.-iC.iD,

5.一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为（）

n

A.v3B.74C.76D.

6.数列｛斯｝是公差不为零的等差数列，并且出，a2,（14是等比数列｛%｝的相邻三项.若尻=2,则

bn=（）

心711

A.24日一zB.—2C.2nD.2-

3.设函数丁=Jx+1的定义域为M,集合方=｛.丁=x2,x&3?)»则=

A.0B.[0,+oo)C.[l,+oo)D.[-1,-KO)

8.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少.已知1克碳14经过5730年，质

量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克.（）

A.5730B,11460C.22920D.45840

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

29

9.设F],尸2分别是双曲线C：三一七=1的左、右焦点，且尸/2|=8,则下列结论正确的是（）

A.s=8

B.t的取值范围是（一8,8）

C.6到渐近线的距离随着t的增大而减小

D.当2=4时，。的实轴长是虚轴长的3倍

10.下列命题中，正确的有（）

A.若a<bV0,则a2<ab<b2

B.若a>b,c>d,则Q—d>b—c

C.若b<a<0,c<0,贝咛<三

D.若a>0,b>c>0,贝哈<

bb+a

11.如图,正方体4BCD-4占Ci/中，点E为棱的中点,点P是线段GD

上的动点，44=2,则下列选项正确的是（）

A.直线4P与&E是异面直线

B.三棱锥为一48m的体积为J

C.过点C作平面AEB1的垂线，与平面AB1C1D交于点，若需方=3可，则Q6AP

D.点P到平面4EB1的距离是一个常数

12.设｛册｝是无穷数列，若存在正整数k（k22）,使得对任意TieN*,均有卅+上〉。”则称｛即｝是

“间隔递增数列"，/c是｛a"的“间隔数”，下列说法正确的是（）

A.公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”

B.若厮=271+（—1尸，则｛即｝是“间隔递增数列”

C.若an=n+^（rGN*,r>2）,则｛〃｝是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r

D.已知an=/+）+2021,若｛an｝是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3,则一5<

t<—4

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知a,b,cG/?,a+h+c=0,a4-&c-1=0,贝ija的取值范围____.

14.已知，是首项为1的等比数列｛a“｝的前n项和，且8s6=9S3,则上画的最小值为.

an

15.A={-2<x<5},B={x|m+1<x<2m-1},BC\A=B,求m的取值范围_

16.已知圆尤2+丫2-6*-7=0与抛物线丫2=2£1尤的准线相切，则实数a的值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/Xx)=就是定义域为R的奇函数.

(1)求实数a和b

(2)判断f(x)的单调性并证明；

(3)若对任意实数xG[1,2],/(x2-mx)+/(I-mx)<0恒成立，求实数m的取值范围.

18.设直线/过抛物线「_/=29武/>0)的焦点尸，且与抛物线r相交于两点，其中点

4(4,4)；

(I)求抛物线^的方程;

(11)求线段力3的长。

19.数列{%}满足的=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,

(1)设bn=a“+i—即，证明：{%}为等差数列.

(2)求数列的通项公式.

(3)是否存在实数;I,使得当x<4时，/(%)=-X2+4X-^<0对任意neN*恒成立？若存在，求

出最大的实数;I,若不存在，说明理由.

20.某工厂生产商品4若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商

品a要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率.根据市场调查,

若政府对商品a征收附加税率为P%时，每年销售量将减少10p万件，据此，试问

①若税务部门对商品4征收的税金不少于96万，求P的范围.

②若税务部门仅对商品4考虑每年所获得的税金最高，求此时P的值.

21.已知斜三棱柱ABC-4/iG的各棱长均为2,侧棱BBi与底面4BC所成角为;，且侧面4BB1a_L

底面4BC.

⑴证明：点/在平面ABC上的射影。为4B的中点;

(2)求二面角C-ABr-B的大小:

⑶求点G到平面CB〃的距离.

22.如图，椭圆厂接+V=1(a>1)的右焦点为「，右顶点为A,满足日|+氤=鬲其中。为坐

标原点，e为椭圆厂的离心率.

(I)求椭圆厂的标准方程；

(H)设M为椭圆r上的动点(异于左、右顶点)，直线MF交椭圆厂于另一点N,直线M4交直线x=2于

点P,求证：直线PN过定点.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：A：已知命题p和q,若pVq为真，p/\q为假，则命题p与q必一真一假，正确；

B-.互为逆否命题的两个命题真假相同，正确；

C：“互斥事件”不一定是“对立事件”(充分性不成立)，“对立事件”必是“互斥事件”(必要性

成立)，

所以，“事件4与B互斥”是“事件4与B对立”的必要不充分条件，正确；

D若f(%)=2H则/'(x)=2，n2,故。错误.

故选：D.

A,利用真值表可判断4；

B,互为逆否命题的两个命题真假性相同可判断8；

C,利用：“互斥事件”与“对立事件”之间的关系可判断C；

D,求得函数/(x)=2丫的导函数为/(%)=可判断D.

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复合命题的真假判断(真值表的应用)，考查互斥事件与

对立事件的关系，考查基函数的导数运算，属于中档题.

2.答案：B

解析：解：若胃=d,方力6则，任意实数九都有石=病不成立

即：p=q为假命题

若有且只有一个实数；I,使得方=而

则向量方与日共线

即q=p为真命题.

综上：p是q的必要不充分条件.

故选B.

先分析p=q是否为真命题，再分析q=p是否为真命题.

本题考查的关键是向量平行(共线)的充要条件：向量方与日共线,有且只有一个实数人使得方=近0毛

0).

3.答案：B

解析：解：由题意可得：c=2,*+京=1,a2=b2+c2,解得a?=8,b2=4,

所以椭圆的方程为：1+”=1,

84

可得Fi(-2,0),设P(x,y)则：=+g=1,所以可得：x2=8-2y2,

则所•PF；=(2—%,V2—y)(—2—x,-y)=%2-44-y2—V2y=-y2—V2y4-4=—(y+乎)+

1+4,当且仅当丫=一立w［一2,2］,时，

N2

则瓦•丽的最大值为：I,

故选：B.

由题意求出椭圆的方程，可得左焦点F］的坐标，求出数量积的表达式，再由P的纵坐标的范围及二次

函数的性质可得所求的结果.

考查椭圆的性质，属于中档题.

4.答案:B

解析：解：为空间中任意一点，小B、C、。四点满足任意三点均不共线，

但四点共面，且同=:而一X正+；前，

36

21

•••~PA=-~PB-xPC+-(PD-PB)

36

=-PB-xPC+-PD,

26

:、——1X+,-1=1-,

26

解得实数X=一

故选：B.

先求出m=5而—X正+；而，再由空间向量共面定理得到;-x+：=1,由此能求出实数X的值.

ZOZO

本题考查实数值的求法，考查空间向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：A

解析：解：设母线长为R,底面半径为r,

底面周长=2nr,底面面积=nr2,侧面面积=5力=nrR,

••・侧面积是底面积的3倍，

3nr2=nrR,■■R=3r,9=—=—.

R3

故选:A.

设出圆锥的母线与底面半径，利用已知条件列出方程求解即可.

本题考查圆锥的展开图，扇形和圆锥的相关计算，考查空间想象能力以及计算能力.

6.答案：D

解析:

本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项的性质、以及等比数列通项公式的求法，考查方程思

想和运算能力，属于基础题.

运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得%=d,可得等比数列的公比，由等比

数列的通项公式可得所求通项.

解：数列｛斯｝是公差d不为零的等差数列，

并旦％,a2,a4是等比数列｛砥｝的相邻三项，

可得磅=的。4,

即(%+d)2=4(<21+3d),

化为%.=d,

可得等比数列也｝的公比q为爵=2,

n2

由历=2,可得=b2q-=2f

故选：D.

7.答案：B

解析：解：根据题意得：x+1>0,解得x>一1,.,.函数的定义域M=(x\x>-1｝；

:集合N中的函数y=x2云0,二集合N=｛y\y>0],则MCN=｛y|y>0｝.

故答案选：B.

8.答案：B

解析：

本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可.

解：由题可知，碳14的半衰期为5730年，

则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗至U0.125克.

故选：B.

9.答案:ABC

解析：解：因为c?=s+t+s—t=2s=16,所以s=8,故A正确；

因为双曲线焦点在%轴上，由且s=8,得t的取值范围是(—8,8),故8正确；

因为鸟到渐近线的距离等于虚半轴长为泥二7,其在te(-8,8)上单调递减，故C正确；

当t=4时，C的实轴长为48，虚轴长4,C的实轴长是虚轴长的百倍，故。错误.

故选：ABC.

利用焦距求解s判断4；双曲线的性质求解t的范围判断B；利用点到直线的距离，结合函数的单调性

判断C;求出实轴长与虚轴长的关系，判断D.

本小题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质等基础知识，考查数学运算求解能力，考查数形结

合思想，考查直观想象核心素养，体现基础性.

10.答案：BD

解析：

本题考查不等关系与不等式，考查不等式的性质，是中档题.

由不等式的可乘积性判断力与C；由不等式的可乘积性与可加性判断B；作差判断符号从而判断0.

解：若aVb<0,则Q2>Qb>b2,故A错误；

若c>d,则—d>—c,又Q>b,

a-d>b—c,故5正确；

若b<a<0,则;>\即

又c<0,故C错误；

c+acb(c+a)—c(b+a)

b+abb(b+a)

_bc+ba-bc-ca_a(b-c')

b(b+a)b(b+Q)'

va>0,b>c>0t

可得詈>?,即3〈詈，故。正确.

b+abbb+a

故选：BD.

11.答案：ACD

解析：解：对于4如图，APu平面48©。，&EC平面48心。=

B,

故直线4P与&E不平行，且BiCZP,

故直线AP与B]E不相交，所以直线力P与B]E是异面直线，故选项

A正确；

对于B,三棱锥a—ABjE的体积为U=UE_44BI，因为E到面

AiABi的距离为2,所以=：x2x2=g,故错.

对于C,对于C,以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则4(2,0,0),%(2,2,2),E0,0,1),C(0,2,0),

福=(0,2,2)，AE=(-2,0,1)-

因为C[。'=3的户，则P(0,g,g)，4P=(—2,表》，

设存在Q64P,设而=4布=(一2尢羡,蓝)，

则Q(—24+2，蓝,蓝)，CQ=(-2A+2,y-2,y)

因为CQJ•平面4EBi，所以[丝,丝1=°,解得;1=：,满足条件，故选项C正确；

(C(2-AE=04

对于D,在正方体中，C[D〃AB[,因为u平面NEB1，QDC平面AE/,

所以GD〃平面ZEB1，又P6GD,

故点P到平面AE/的距离是一个常数，故选项。正确；

故选：ACD.

利用异面直线的定义判断选项A；利用三棱锥4-的体积为U=VE_A1AB1,即可判断选项B；

建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，即可判断选项C；利用GD〃平面ZEB1即可判断选

项D

考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、

运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题.

12.答案：BCD

解析：解：选项A中，设等比数列｛即｝的公比是式q>1),

nn-1k

则an+k-斯=M+J—%qT=a1<?(q-l),

其中铲>1,即qn-i(qk_1)>0,

若如<0,则与+上一%2<0，即《71+上<&„,不符合定义，

故选项A错误；

选项8中，an=2n+(-l)",

故而+k一即=[2(n+k)+(-l)n+k]-[2n+(-1)"]=2k+(-l)"[(-l)k-1],

k

当n为奇数时，an+k-an=2k-(-l)+1,则存在k>1时，即+k-斯>。成立，即对任意neN*,

均有an+k>a”符合定义；

k

当n为偶数时，an+k-an=2k+(-l)-1,则存在k>2时，即+上-an>0成立，即对任意?teN*,

均有Ctn+k〉%!，符合定义；

综上所述，存在kN2时，对任意neN*,均有即+上〉^,符合定义，

故选项8正确；

选项C中，an=n+^(rEN\r>2),

故W+k—即=5+1+£)—(“+；)=上+^=找1—小]=上^^,

令/(n)=标+kn-r,图象开口向上，对称轴为n=-g<0,

故/(n)在neN*时单调递增，

令最小值f(l)=1+k—r>0，解得k>r—l,

又k€N*,k>2,reN*,r>2,

故存在kNr时，an+k-an>0成立，即对任意n6N*,均有。共+上>而，符合定义，"间隔数"的

最小值为r,

故选项C正确；

选项。中，因为an=M+5+2021,是“间隔递增数列”，

22

则即+k-an=[(n+k)2+t(n+k)+2021]—(n+tn+2021)=2kn+k+tk>0,即k+2n+

t>0对任意neN*成立，

设g(n)=k+2n+3显然在neN*上g(n)单调递增，

故要使g(n)>0，只需g(l)=k+2+t>0成立，即一2-t<k,

又''间隔数"的最小值为3,故存在k23,使—2—t<k成立，且存在AW2,使-2-t2/c成立，

故—2—t<3且—2—t22,解得—5<t<4,

故选项。正确.

故选：BCD.

利用新定义，逐项验证是否存在正整数22),使得斯+k-an>。，即可判断正误.

本题考查了数列的新定义，涉及了函数的性质的应用，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定

义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

13.答案：a>-2+2>/2^a<-2-2V2

解析：解：①当b>0,c>0时，a+b+c=0,a+be—1=0,■■—a=b+c,be=1—a,可

得—a>0,1—a>0,可得a<0.

-a=b+c>2痴=2Vl^a,化为a?+4a-4>0,解得a<-2-2vL

②当b<0>c<0时，：a+b+c=0,a+bc—l=0,：.a=(—b)+(—c),be=1—a,可得a>0,

1-a>0,可得0<a<1.

•1•a=-b—c>2y[bc=2"-a，化为a?+4a—4>0,解得—2+2V2<a<1.

③当be=0时，不妨取c=0,由已知可得a=1,b=—1.此时a=L

④当be<0时，a+b+c=0,a+be—1=0,•-a=—(b+c),a=1—be>1.

综上可得：a的取值范围是a>-2+2近或a<-2-2版

故答案为：a>-2+2&或a<-2-2VL

通过分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出.

本题考查了分类讨论、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题.

14.答案：5

解析：解：设公比为q，根据题意可知qKl,

•・,8s6=9s3，Q]=1

...8.二=9.工

1-q1-q

1

•••q=5,

On=C)"T，

.1+6湍_271-1I6

"—2底】，

•1.n=2或3时，上阻的最小值为5.

Qn

故答案为：5.

利用S.是首项为1的等比数列也工的前n项和，且8s6=9S3,求出q,可得上迪=2时】+白，即可

anN

1+6陷

求出的最小值.

本题考查等比数列的求和与通项，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

15.答案：(-8,3]

解析：解：4={-2WxW5},B—(x\m+1<x<2m-1},BC\A=B,

：.Bc.A,

・•・当B为空集时，m+1>2m-1,

解得m<-2,

2m—1<5

当B不为空集时,

Tn+1N—2

解得-3<m<3.

综上：m<3,

•••m的取值范围是(-8,3].

故答案为：(一8,3].

由己知得BuA,由此能求出m的取值范围.

本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用.

16.答案:-14或2

解析：解：圆*2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,圆心(3,0),半径为4,抛物线y2=2ax的

准线方程为：x=-p

圆/+y2-6X-7=0与抛物线y2=2ax的准线相切，

可得：3+^=4,或一]-3=4,解得a=2或a=-14.

故答案为：—14或2.

求出圆的圆心与半径，抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可.

本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

17.答案：解：(1)由函数/(x)是定义域为R的奇函数..•・/(())=0,

可得：b=1,

由/(-x)=一/Xx)，

可得：a=1.

(2)由(1)可得f(x)=W==-1+品，

设/<尢2，贝！I：0<2与+1<2*+1,

那么/(Xl)—〃必)=康—嬴>0，

・•・f(%)是R上的减函数.

(3)由f(%2—mx)+/(I-mx)<0恒成立，f(x2—mx)<―/(I—mx),

•・,/(%)是R上的减函数，又是奇函数

:.x2—mx>mx—1

即％2—2mx4-1>0,

•・,xG[1,2],

设g(X)=——2mx+1,

对称轴％=m

根据根的分布：可得狎？¥或件？70

<1l-Tn>2

解得：m<1.

故实数m的取值范围是(一8,1].

解析：(1)根据函数f(x)是定义域为R的奇函数.即/(一%)=-/。)，/'(0)=0,即可求解a，b的值

(2)利用定义证明即可；

(3)根据奇偶性和单调性脱去转化为不等式求解实数机的取值范围.

本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

18.答案：(I)抛物线「的方程为：/=4x；

解析：解：(I)依题意：抛物线「_/=2"(「>0)过点工(4,4),

所以A2=2p4p=2,

故抛物线「的方程为：/=4x；

(口)由(1)易知，抛物线F的焦点F坐标为FQ0)，又工(4,4),

4-04

故直线/的斜率先,

4-13

4

故直线？的方程为-1),即4x-3y-4=0；

代人y2—解得：X]=4,必=4；叼=:仍=-1'即B((「D，

所以线段AB的长为M3=^(4-1)2+(4+1)2=层=彳.

19.答案：解：(1)证明：数列｛@九｝满足的=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2,

a

即有an+2—n+l=Qn+l—Qn+2,

则bn+1-bn=2,

可得｛%｝为首项为1，公差为2的等差数列；

(2)由(1)可得Qn+]—an=2n—1,

aaaaaa

即有an=+(2~l)+(3~2)T------卜(n~n-l)

1

=l+l+3+5+・・・+2n—3=l+-(n-l)(l+2n-3)

=n2—2n+2；

(3)假设存在实数九使得当x<4时，/(x)=-X2+4X-^<0对任意nGN*恒成立，

可得--+4x<%恒成立，

由Q=n+&-222V6-2,

nn

由于九=区不是整数，当九=2时，24-3—2=3；九=3时，3+2—2=3,

则呼的最小值为3,

可得-/+4%-3<0,解得x>3或x<1,

即有/IS1,

则存在实数;I，且;I的最大值为1.

解析：(1)由条件可得册+2-an+i=%1+1-+2,则匕+1-垢=2,结合等差数列的定义，即可

得证；

(2)运用数列恒等式4=%+(a2-%)+(a3-。2)+…+(册-an_i),即可得到所求通项:

(3)假设存在，由题意求得甘的最小值为3,解二次不等式可得x的范围，再由集合的包含关系可得

4的范围，即有最大值.

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的定义，考查数列的最小项，注意运用基本不

等式和不等式恒成立问题解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)对商品4的附加税率为p%,

所以可销售80-10p万件，销售额为6400-800P万元，

所以税额为64p-8P2万元，

64p—8p2>96,

所以(p—2)(p—6)W0,

所以p的范围2<p<6.

(2)每件所获的税金=80xp%=",

所以p取最大值，

因为80—10p20,所以pW8,

所以每件所获的税金最大值=y.

解析：(1)对商品4的附加税率为p%,所以可销售80-10p万件，销售额为6400-800p万元，由此

能求出p的范围.

(2)每件所获的税金为gp,由此能求出每件所获的税金最大值.

本题考查p的取值范围的求法，考查每件所获的税金最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答,

注意等价转化思想的合理运用.

21.答案：解：(1)证明：过2点作当。1•侧面，底面

ABC

:.&。_L面4BCNB1B4是侧面BBi与底面倾斜角

二38。=5在/?”81。8中，BB1=2,BO=1BB1=1

又BBi=AB,BO=\AB：.。是4B的中点.

即点名在平面4BC上的射影。为4B的中点

(2)连接AB1过点。作。M14当，连线CM,OC,

"OCA.AB,平面ABCJ_平面ZAiBBi；.OCJ■平面力力BB.

OM是斜线CM在平面的射影••・OM1AB1

AB11CMNOMC是二面角C一ABi-B的平面角

在RtAOCM中,OC=痘,OM=—-tanZ-OMC=^-=2