2020-2021学年浙江省宁波市镇海区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.（4分）（2021春•镇海区期末）下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（）

2.（4分）（2021春•镇海区期末）下列化简结果正确的是（）

A.72x5/3=712C.病=±6D.3上-2挝=6>

3.（4分）（2021春•镇海区期末）下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差:

运动员甲乙丙T

平均数（环）9.19.29.19.2

方差（环2）3.515.516.53.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（4分）（2021春•镇海区期末）在平行四边形/WCZ）中，若NA+NC=70。，则N5的度

数为（）

A.145°B.I15°C.110°D.150°

5.（4分）（2021春•镇海区期末）如图，点A、3落在第二象限内双曲线丫=人/30）上,

X

过A、8两点分别作x轴的垂线段，垂足为C,O,连接。4、03,若岳+邑=2且S阴影=1,

则女的值为（）

D.-2

6.（4分）（2021春•镇海区期末）用反证法证明命题”在同一平面内，^a±b,则

a//"'时，首先应假设（）

A.atlbB.cllbC.a与c相交D.。与6相交

7.（4分）（2021春•镇海区期末）学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队

之间比赛一场）.共进行了28场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有x个班级

参加比赛.根据题意列出方程正确的是（）

,11,

A.%2=28B.-x（x-1）=28C.-x2=28D.x（x-1）=28

22

8.（4分）（2021春•镇海区期末）如图是二次函数乂=如2+法+。（“片0）和一次函数

%=〃氏+"（根R0）的图象.则下列结论正确的是（）

A.若点M（-2,4）,N（；,W）,P（2,4）在二次函数图象上，则

B.当或x>3时，yt>y2

C.2a-b=0

D.当x=二+2（左为实数）时，%,c

9.（4分）（2021春•镇海区期末）如图1,图形A、图形5是含60。内角的全等的平行四边

形纸片（非菱形），先后按图2（28）、图3（1418）的方式放置在同一个含60。内角的菱形中.若

知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（）

图1图2

A.图形①与图形③的周长和B.图形④与图形⑥的周长和

C.图形②与图形⑤的周长和D.图形④与图形⑥的周长差

10.（4分）（2021春•镇海区期末）如图，已知四边形是矩形，点M在8c上，BM=CD,

点%在8上，且DV=CW,DM与BN交于点、P,则E>M:3N=（）

A.V3:2B.1:72C.72：A/3D.2：A/5

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）（2021春•镇海区期末）在二次根式^/^^中字母x的取值范围为.

12.（5分）（2014•金平区模拟）一个多边形的每一个外角都等于72。，则这个多边形是边

形.

13.（5分）（2021春•镇海区期末）二次函数y=（x-l>+l的图象先向右平移2个单位，再

向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为—.

14.（5分）（2021春•镇海区期末）现用片=+［（玉-3）2+区-3）2+3+（~-3）2］计算一组

数据演，x2,X10的方差，则X］+9+…+%0=.

15.（5分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，点8、点C是反比例函数了=逑。>0）图

象上的两点，过点C作CD，x轴于点O.过点3作轴于点A,连接OC,交45于

点、E,连接03、BC.当A为8中点且NOBC=90。时，点C的坐标为.

16.（5分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，在矩形MC£>中，AB=3,AD=4.动

点P为矩形A8CD内一点，且满足^^=1%附88，则尸周长的最小值为

三、解答题（本大题有8小题，第17-19题各8分，第20-22题10分，第23题12分，第

24题14分,共80分）

17.(8分)(2021春•镇海区期末)计算:

(1)&(4-亚+©；

(2)7(-5)2-(>^+1)(73-1)+7(101.

18.（8分）（2021春•镇海区期末）用适当的方法解下列方程:

(1)2(x—2>=x-2；

（2）x2-10x+8=0.

19.（8分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，在四边形438中，AB//CD.点、E,F

在对角线AC上，S.AE=CF,DFUBE.

（1）求证：AABEwACDF；

（2）连接BE>,交AC于点O,若80J_AC,四边形ABCD周长为16,AC=4如，求

的大小.

D

20.（10分）（2021春•镇海区期末）为进一步提升校园阅读氛围，在第24个“世界读书日”

之际，学校开展了“读书四月，书香满园”的主题活动.活动结束后学生会随机调查了45

名学生四月读书月课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：

四月课外阅读910111213

时间（小时）

人数7111098

（1）求出上述样本数据的众数、中位数及平均数；

（2）若该校学生人数为540人，请估计四月课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数约

为多少人.

21.（10分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l

与反比例函数y=2（。*0）的图象交于点A（2,〃z）和点B,与x轴交于点D.

X

（1）求a,的值及点3的坐标；

（2）写出x+1-2,0时x的取值范围；

X

（3）P是x轴上一点，且满足的面积等于5.求点P坐标.

22.（10分）（2021春•镇海区期末）夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期,

一水果店老板进行杨梅销售，己知杨梅进价为25元/千克.如果售价为30元/千克，那么

每天可售出150千克；如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克.经调查发现：

每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系.

(1)求出y关于x的一次函数关系式；

(2)若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销

售单价应定为多少元/千克？(毛利润=销售额-进货成本)

(3)设杨梅每天销售的毛利润为卬元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得

的毛利润最大？最大毛利润是多少元？

23.(12分)(2021春•镇海区期末)定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸

四边形为“准等边四边形”.如正方形就是一个“准等边四边形”.

(1)如图，在给定的网格中，找到格点。.使得以A、B、C、。为顶点的四边形是准等

边四边形，请按要求画两个且不全等的准等边四边形.

B

(2)如图1,QABCD中，对角线C4平分N8C£>,将线段8绕点C顺时针方向旋转一个

角度a(0<a<N8)至CE,连接AE、DE.

①求证：四边形ABCE是准等边四边形；

②如图2,连接BE,求证：ZBED=ZACB；

(3)如图3,在准等边四边形A88中，AB=BC=CD=2,NBCD=9()°,ZB=150°,

请求出NBA。的大小及该四边形的面积.

图1图2图3

24.(14分)(2021春•镇海区期末)在平面直角坐标系中，已知A(0,4),点B(m,4),点5落

在第二象限，点。是y轴正半轴上一动点.

(1)如图1,当m=-2时，将ABOD沿着直线如翻折，点。落在第一象限的点E处.

①若防〃x轴，则点E的坐标;

②如图2,当点。运动到。4中点时，连接AE,请判断四边形ABDE的形状，并说明理由；

③如图3,在折叠过程中，是否存在点。，使得AOAE是以OA、QE为腰的等腰三角形？

若存在，求出对应。点的坐标.若不存在，请说明理由；

(2)如图4,将AABO沿着OB翻折.得到"BO(点A的对应点为点尸)，若点尸到x轴

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.（4分）（2021春•镇海区期末）下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形

【专题】几何直观；平移、旋转与对称

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这

个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与原图重合.

2.（4分）（2021春•镇海区期末）下列化简结果正确的是（）

A.V2x5/3=>/12C.-736=±6D.36-26=6

【考点】二次根式的混合运算

【专题】运算能力；二次根式

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【解答】解：&乂+=展,故选项A错误；

2_2上

占飞=亍故选项8错误;

436=6,故选项C错误；

36-26=唐，故选项。正确；

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方

法，注意二次根式要化简到最简.

3.（4分）（2021春•镇海区期末）下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：

运动员甲乙丙T

平均数（环）9.19.29.19.2

方差（环2）3.515.516.53.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考点】算术平均数；方差

【专题】统计的应用；数据分析观念

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛.

【解答】解：•.•乙和丁的平均数较大，

从乙和丁中选择一人参加竞赛，

•.•丁的方差较小，

选择丁参加比赛，

故选：D.

【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据

分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

4.（4分）（2021春•镇海区期末）在平行四边形ASCD中，若NA+NC=70。，则N6的度

数为（）

A.145°B.115°C.110°D.150°

【考点】平行四边形的性质

【专题】推理能力：多边形与平行四边形

【分析】由在平行四边形ABCD中，NA+NC=70。，即可求得NA与NC的度数，继而求

得答案.

【解答】解：•.•四边形A8CD是平行四边形，

.'.ZA=ZC,AB!/CD,

•.•ZA+NC=70°,

，NA=NC=35。，

.•.Zfi=180o-ZA=145°.

故选：A.

【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关

键.

5.（4分）（2021春•镇海区期末）如图，点A、3落在第二象限内双曲线y=A（%x（））上,

X

过A、3两点分别作x轴的垂线段，垂足为C,连接。4、。3,若£+$2=2且加影=1,

【考点】反比例函数系数％的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征

【专题】推理能力；反比例函数及其应用

【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S]+S阴影=SABOO，S2+而影=S^oc，

再根据反比例函数中系数4的几何意义推出izrsABg+SM”,从而推出IM=4,结合图象

可得人=T.

【解答】解：由题意可知SI+S阴影=鼠"。"，S2+S0）aj=SM0C,

一国

iOD-IOC-C

，阳=S/MIOD+^MOC=S|+S阴影+S2+S阴影=St+S2+2s阴影=2+2=4,

•.•函数图象经过第二象限，

<0,

.-.k=-4,

故选：B.

【点评】本题考查反比例函数系数％的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，应数形

结合，将图形的性质与反比例函数的相关性质联系起来进行求解.

6.（4分）（2021春•镇海区期末）用反证法证明命题''在同一平面内，若a上b,c±b,则

allcn时，首先应假设（）

A.a!lbB.cllbC.a与c相交D.a与6相交

【考点】反证法

【专题】反证法；推理能力

【分析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设。与c不平行（或。与c相交）.

【解答】解：原命题“在同一平面内，若cLb,则a//c”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与c不平行（或a与c相交）.

故选：C.

【点评】此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推

理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确.

7.（4分）（2021春♦镇海区期末）学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队

之间比赛一场）.共进行了28场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有x个班级

参加比赛.根据题意列出方程正确的是（）

A.%2=28B.L（X-1）=28C.-x2=28D.x（x-l）=28

22

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程

【专题】一元二次方程及应用；应用意识

【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次

比赛的总场数为：1）场.根据题意可知：此次比赛的总场数=28场，依此等量关系

列出方程.

【解答】解：设这次有X队参加比赛，则此次比赛的总场数为：场，

根据题意列出方程得：；x（x-l）=28,

故选：B.

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适

的等量关系，列出方程，再求解.需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场

数除以2.

8.（4分）（2021春•镇海区期末）如图是二次函数y=双2+〃x+c（ax0）和一次函数

丫2=，蛇+"（根#0）的图象.则下列结论正确的是（）

A.若点M（-2,4）,N（~,d［）,P（2,4）在二次函数图象上，则4<4<4

B.当或x>3时，yt>y2

C.2a—b=O

D.当x=^+2（改为实数）时，%,c

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）

【专题】推理能力；二次函数图象及其性质

【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，观察图象即可判断.

【解答】解：•.•抛物线的开口向下，对称轴为直线x=l,且

2

4<&<w，故A错误；

无法求得两个函数图象的交点坐标，故8错误;

•.•抛物线对称轴为直线x=l,

2a

:.2a+b=0,故C错误；

•.•抛物线对称轴为直线x=l,

.•.点(0,c)与点(2,c)故对称轴对称，

.•.当*=公+2(无为实数)时，y,,c,故。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

9.(4分)(2021春•镇海区期末)如图1,图形A、图形B是含60。内角的全等的平行四边

形纸片(非菱形)，先后按图2(23)、图3QA1B)的方式放置在同一个含60。内角的菱形中.若

知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出()

图1图2

A.图形①与图形③的周长和B.图形④与图形⑥的周长和

C.图形②与图形⑤的周长和D.图形④与图形⑥的周长差

【考点】全等图形；平行四边形的性质；菱形的性质

【专题】推理能力；多边形与平行四边形

【分析】根据题意设平行四边形较长的一边为x,较短的一边为y,菱形的边长为a,先用

字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到(x-y)为已知，再用字母分别表示出图形①、

②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项.

【解答】解：设平行四边形较长的一边为x,较短的一边为y,菱形的边长为a,

八

2

图形②的面积S2=sin60°(2x-a)(2y-a)=(4xy-lax-lay+a),

图形⑤的面积S5=sin60°(x+y-a)(x+y-a)=^-(x2+y2+2xy+a2-2ax-lay),

22222x2

55-S2=y-(x+/+2xy+a-2ax-2ay)-—(4孙-2ax-2ay+a)=^-(x+y-2xy)=^(-y)

图形②的C2=2(2x-a)+2(2y-a)=4x+4y-4。，

图形⑤的C5=2(x+y-a)-l-2(x+y-a)=4x+4y-4a，

G+G=(4x+4y-4a)+(4x+4y-4a)=8x+8y-8。，

故c选项不符合题意；

图形①的周长C,=2(a—y)+2(a—x)=4a—2y—2x,

图形③的周长C3=2(a_y)+2(“_x)=4a_2y_2x,

C,+C3=4«—2y—2x+4«—2y-2x=8a-4y—4x，

故A选项不符合题意；

图形④的周长G=4(a-x),

图形⑥的周长C6=4(a-y),

C4+C6=4(。—x)+4(a—y)=8a-4y—4x,

故3选项不符合题意；

'C4-C6=4(a-x)-4(a-y)=4(y-x),

根据题意S5-S2=0(x—y)2,为已知，即(x-y)为已知，

故。选项符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查菱形的性质、全等图形和平行四边形的性质，解题的关键是根据用字母根

据菱形及平行四边形的性质表示出各条线段.

10.(4分)(2021春•镇海区期末)如图，已知四边形A8C。是矩形，点M在8c上，BM=CD,

点N在8上，且DN=CM,DM与BN交于点、P,则ZW:BN=()

A.V3:2B.1：V2C.夜:6D.2:45

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质

【专题】推理能力；矩形菱形正方形

【分析】设8M=C£）=a,DN=CM=b,利用勾股定理分别表示出。“与BN的值即可解

答.

【解答】解：^.BM=CD=a,DN=CM=b,

：.BC=a-^bNC=a—b,

•.•四边形ABCZ）是矩形，

.1.ZDC«=90°,

在RtADCM和RtABCN中，由勾股定理得，

DM=y/DC2+MC2=y/a2+b2,

BN=yjBC2+CN2=yj（a+b）2+（a-b）2=6->Ja2+b2,

:.DM:BN=1:6,

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示

出所求边.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）（2021春•镇海区期末）在二次根式中字母x的取值范围为x„-.

~3-

【考点】72：二次根式有意义的条件

【专题】11：计算题

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,列不等式，即可求出x的取值范围.

【解答】解：由题意得：l-3x..0,

解得：

3

故答案为：X,,—■

3

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，难度不大，解答本题的关键是掌握二次根式的

被开方数为非负数.

12.（5分）（2014•金平区模拟）一个多边形的每一个外角都等于72。，则这个多边形是工

边形.

【考点】L3：多边形内角与外角

【分析】用多边形的外角和360。除以72。即可.

【解答】解：边数”=360。+72。=5.

故答案为：五.

【点评】本题考查了多边形的外角和等于360。，是基础题，比较简单.

13.(5分)(2021春•镇海区期末)二次函数y=(x-iy+l的图象先向右平移2个单位，再

向上平移3个单位，平移后图象的函数表达式为_y=(x-3)2+4_.

【考点】二次函数图象与几何变换

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力

【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式即可.

【解答】解：二次函数y=(x-iy+l的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，

平移后图象的函数表达式为：y=(x-1-2)2+\+3,即y=(x-3y+4.

故答案是：y=(x-3)2+4.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移的规律，平移的规律是：左加右

减，上加下减.

14.(5分)(2021春•镇海区期末)现用52=-+。2-3f+...+(芭0-3)2]计算一组

数据%,,%,,,再0的方差，贝孑+三+...+x1c=30.

【考点】方差

【专题】数据分析观念；数据的收集与整理

【分析】根据方差公式得到这组数据有10个数，其平均数为3,于是得到这组数据的和为

30.

【解答】解：根据题意得这组数据有10个数，平均数为3,

这组数据的和=10x3=30.即%+&+...+%o=3O,

故答案为：30.

【点评】本题考查方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组

数据的方差，一般地设”个数据，与，*2，…%的平均数为T,则方差

S2=-[(%,-x)2+(x,-x)2+...+(x„-x)2J.它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动

n

性越大，反之也成立.

15.（5分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，点5、点C是反比例函数丫=述（*>0）图

象上的两点，过点C作CD_Lx轴于点£>.过点5作S4J_x轴于点A,连接OC,交A8于

点、E,连接03、BC.当A为OD中点且NO3C=90。时，点C的坐标为_（2指-G）_.

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征

【专题】反比例函数及其应用；运算能力

【分析】根据三角形中位线定理得到SMM=；5400c,即可得到Su.，得到

AE=-AB,根据直角三角形斜边中线的性质即可得出OE=3A£,设用T=a,则AB=4a,

OE=3a,利用勾股定理，。4=2低，利用反比例函数解析式即可求得。的值，即可求得C

的横坐标，代入反比例函数解析式求得纵坐标.

【解答】解：•.•C£>_Lx轴于点。.B4JLx轴于点A,

:.AB//CD,

•.•4为8中点，

AE=-CD,

,-OAAE-x-OD-CD

‘AAOE_2,22

S^oc1ODCD

ODCD

22

SMOB=SnDQC=6垃=3及,

，AE=—AB,

4

，BE=3AE,

-,-AB//CD,A为8中点，

.•.£是OC的中点，

ZOBC=90°,

:.BE=-OC=OE,

2

:.OE=3AE,

设=则Afi=4a,OE=3a,

利用勾股定理，OA=yj（3a）2-a2=2y[2a,

"-'SMOH=^OAAB=3\/2,

—x20a-4a=3\/2,

2

,石

..Q=--，

2

OA=2\[2a=>/6,

:.OD=2OA=2瓜,

C的横坐标为x=2限,

6/?

把x=2而代入y=---（x>0）得，y=G,

x

.•.c的坐标为（2太，G）,

故答案为（2"，A/3）.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，直角三角形斜边

中线的性质，求出。4的长度是解题的关键.

16.（5分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3,4）=4.动

点P为矩形ABCD内一点,且满足S“BC=LS矩形的8，则MDP周长的最小值为_4+2石_

【考点】矩形的性质；三角形的面积；轴对称-最短路线问题

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力；几何直观

【分析】过点P作MNAD,交相）于点V,交8C于点N,由=gs矩.此。，可得

2

PN=—MN=2,过户点作G〃〃A£>,交4?于点G,交CD于点、H,作A点关于GH的对

3

称点A',连接A'。与G”交点即为所求点P,在四△A4'£>中，AT>=4,A4'=2,即可求

A'D=2s/5.

【解答】解：过点尸作MV4O,交AD于点M,交8c于点N,

,=§3矩形A5C。9

-xBCxPN=-xBCxMN,

23

.-.PN=-MN,

3

-.AB=3,

过P点作GH//AD,交AB于点G,交CD于点”，作A点关于GH的对称点A',连接A'D

与G”交点即为所求点P,

-.■AP=A'P,

.-.AP+PD=AD,

•.AG=1,

AA'=2,

在必△A4'£）中，4）=4,A4'=2,

A'D=2y/5,

AAPP周长的最小值2石+4,

故答案为4+2石.

【点评】本题考查三角形与矩形的面积，轴对称求最短距离，能将面积的关系转化为边之间

的关系，再利用轴对称求线段AP+PD的最小值是解题的关键.

三、解答题（本大题有8小题，第17-19题各8分，第20-22题10分，第23题12分，第

24题14分，共80分）

17.(8分)(2021春•镇海区期末)计算:

(1)^(―-V2+.f)；

3V2

(2)7(-5)2-(V3+1)(73-1)+V0X)T.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式

【专题】二次根式；运算能力

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘法运算;

（2）利用二次根式的性质和平方差公式计算.

【解答】解：（1）原式=0（手一&+1）

3迫

6

_2

-6

1

=—；

3

（2）原式=5-（3-1）+0」

=5—2+0.1

=3.1.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和乘法公式是解决

问题的关键.

18.（8分）（2021春•镇海区期末）用适当的方法解下列方程：

(1)2(x-2y=x-2；

(2)X2-10X+8=0.

【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法

【专题】一元二次方程及应用；运算能力

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用配方法求解即可.

【解答】解：⑴♦.♦2(X-2)2=X-2,

2(X-2)2-(X-2)=0,

则(x-2)(2x-5)=0,

.,.x-2=0或2x-5=0,

解得占=2,x2=2.5；

(2)VX2-10X+8=0,

x2—IOx=—8>

则V—10x+25=—8+25,即(x-5)2=17,

.".x-5=±y/17,

则占=5+而，x2=5-V17.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

19.(8分)(2021春•镇海区期末)己知：如图，在四边形A88中，AB//CD.点、E,F

在对角线AC上，且AE=CF,DF//BE.

(1)求证：AABE=AC£)F；

(2)连接交AC于点O,若BDLAC,四边形MCD周长为16,AC=4^,求

的大小.

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质

【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力

【分析】(1)由平行线的性质得出NE>PC=NA£B,根据ASA即可证明兰ACDP;

(2)证明四边形4JCD是菱形.由勾股定理求出8,由直角三角形的性质可得出4MO的

度数，则可得出答案.

【解答】证明：(1).DFIIBE,

:.ZDFE=ZBEF,

:.ZDFC=ZAEB,

\CDI/AB,

.\ZDCF=ZBAE,

在AASE和ACDF中，

NAEB=NCFD

<AE=CF,

/BAE=/DCF

..MBE^^CDF(ASA).

(2)解：vAABE=ACDF,

:.AB=CD,

•：AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形，

•・・BD工AC,

四边形ABC。是菱形.

:.AB=CD=BC=DA,OA=OC,

・・•四边形ABCD周长为16,

・・.AD=4,

・・•AC=4g,

.•.04=25

:.OD=y/AD2-OD2=742-(273)2=2,

:.OD=-AD,

2

ZDAO=30°,

:.ZDAB=2ZDAO=60°.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识,

解题的关键是证明AABE=ACDF和四边形ABCD为菱形.

20.（10分）（2021春•镇海区期末）为进一步提升校园阅读氛围，在第24个“世界读书日”

之际，学校开展了“读书四月，书香满园”的主题活动.活动结束后学生会随机调查了45

名学生四月读书月课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：

四月课外阅读910111213

时间（小时）

人数7111098

（1）求出上述样本数据的众数、中位数及平均数；

（2）若该校学生人数为540人，请估计四月课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数约

为多少人.

【考点】众数；用样本估计总体；中位数；加权平均数

【专题】数据分析观念；运算能力；统计的应用

【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的计算方法进行计算即可；

（2）求出样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比即可估计总体540

人中课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数.

【解答】解：（1）学生四月份课外阅读时间出现次数最多的是10小时，共出现11次，因此

众数是10小时，

将调查的45名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的一个数是11小时，因此中

位数是11小时，

这45人的平均数为：-------------------------------=11（小时），

45

答：众数是10,中位数是11,平均数是11；

9+N

（2）540x---=204（人），

45

答：该校540名学生中四月课外阅读时间达到12小时及以上的约为204人.

【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表，掌握众数、中位数、平均数的计

算方法是正确计算的前提.

21.（10分）（2021春•镇海区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+l

与反比例函数y=0330）的图象交于点A（2,〃z）和点B,与x轴交于点D.

（1）求机的值及点3的坐标;

(2)写出x+1—3,,0时x的取值范围；

X

(3)P是x轴上一点，且满足A/V山的面积等于5.求点P坐标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力

【分析】(1)把点42,㈤代入y=x+l即可求得加的值，然后根据待定系数法即可求得a,

解析式联立，解方程组即可求得5的坐标；

(2)观察图象即可求得；

(3)设点P的坐标为(孙0),根据的面积是5,列出，〃的方程解答便可.

【解答】解：(1)•.•一次函数y=x+I经过点4(2,机)，

二.加=2+1=3,

・♦.4(2,3)，

•.•点A在反比例函数y=幺(a工0)的图象上，

X

ci=2x3=6，

反比例函数为y=9,

X

解厂”得FU或

y=_[y=-2[y=3

Ix

.•.8的坐标为(-3,-2)；

(2)观察图象可知：x+1-2,0时x的取值范围是％,-3或0<%,2；

X

(3)设点P的坐标为(〃?,0),

在y=x+l中，令y=0,得x=-l,

.•.点。的坐标为(—1,0),

xxxx

，件幅=SMA£>+-JAPBD=-l^+1l3+—l+1l2=5,

.J，w+11=2,

TH=1或-3,

.•.点尸的坐标为（-3,0）或（1,0）.

【点评】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，求一次函

数图象与反比例函数图象的交点，第（3）关键是根据面积列出方程，利用了数形结合思想.

22.（10分）（2021春•镇海区期末）夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期,

一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克.如果售价为30元/千克，那么

每天可售出150千克；如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克.经调查发现：

每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系.

（1）求出y关于x的一次函数关系式；

（2）若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销

售单价应定为多少元/千克？（毛利润=销售额-进货成本）

（3）设杨梅每天销售的毛利润为W元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得

的毛利润最大？最大毛利润是多少元？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用

【专题】二次函数的应用；应用意识

【分析】3）先设出一次函数关系式，再根据售价为30元/千克，每天可售出150千克；

售价为32元/千克，每天可售出130千克，用待定系数法求出函数解析式；

（2）销售单价应定为x元/千克，根据每天的销售量x每千克的利润=960,列出方程解方

程，再根据售价不得高于36元/千克确定x的值；

（3）根据毛利润=销售量x每千克的利润列出函数关系式，再根据二次函数的性质求函数

最值.

【解答】解：（1）•.•每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，

设y=fcv+b,

•.•x=3O时，y=150,x=32时，y=130,

150=30k+6

130=324+人

k=-\0

解得:

ft=450

关于x的一次函数关系式：y=-10x+450；

（2）设销售单价应定为x元/千克,

由题意得：(x-25)(7Ox+450)=960,

解得：x=37或x=33.

•••杨梅售价不得高于36元/千克,

；.x=37不合题意,

二.x=33,

答：销售单价应定为33元/千克;

（3）设杨梅的售价定为加元/千克时，每天销售获得的毛利润最大,

则W=(加-25)(-10m+450)=-1Onr+700/M-11250=-10(m-35)2+1000,

•.--10<0,

二.当m=35时，W有最大值，最大值1000元,

答：杨梅的售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元.

【点评】本题考查二次函数的应用以及解一元二次方程，关键是根据毛利润=销售量x每千

克的利润列出函数关系式.

23.（12分）（2021春•镇海区期末）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸

四边形为“准等边四边形”.如正方形就是一个“准等边四边形”.

（1）如图，在给定的网格中，找到格点。.使得以A、B、C、。为顶点的四边形是准等

边四边形，请按要求画两个且不全等的准等边四边形.

B

（2）如图1,oABCZ）中，对角线C4平分NBCD,将线段8绕点。顺时针方向旋转一个

角度a(O<cr</B)至CE,连接AE、DE.

①求证：四边形ABCE是准等边四边形;

②如图2,连接求证：ZBED=ZACB；

(3)如图3,在准等边四边形43co中，AB=BC=CD=2,ZBCE>=90°,ZB=150°,

请求出的大小及该四边形的面积.

图1图2图3

【考点】四边形综合题

【专题】几何综合题；几何直观

【分析】(1)由图可知：AB=AC,所以只要作出与/W、AC相等的线段再连接就可:

(2)

【解答】(1)解：由图可知：AB=AC,

只要作CD或皿中至少一条与口相等就可，

故作图(1),由四种画法，任选其中两种即可.

(2)证明：①•.•四边形A8S是平行四边形，

:.AB=CD,ABI/CD,

:.ZACD=^BAC,

•.•AC平分N3C£),

:.ZACD=ZACB,

ZACB=ZBAC,

AB=BC,

由旋转得：CD=CE,

：.AB=BC=CE,

/.四边形ABCE是准等边四边形.

②延长EC至点”，

・.・BC=CE=CD,

:.NCBE=NCEB,/CDE=/CED,

/.ZDCH=ZCDE+ZCED=2ZCED,ZBCH=NCBE+NCEB=2NCEB,

・•.ZDCH-ZBCH=2ZCED-2ZCEB=2ZBED,

:ZBCD=2ZBED,

由①得：ZACB=ZACD,

:.ZBCD=2ZACB,

:.ZBED=ZACB.

(3)如图(3),过点8、点0分别作8c和CD的垂线交于点尸，连接AF,

••BF1.BC,DF,LCD,ZC=90°,

四边形3CDF是矩形，

•••CD=BC,

四边形BCDF是正方形，

DF=FB=AB=2，

vZABC=150°,ZfBC=90°,

.\ZABF=ZABC-ZFBC=6O°，

」.A钻尸是等边三角形，

:.Z.FAB=ZAFB=a)°,AF=FB=DF,

:.ZAFD=ZAFB+ZBFD=\50°,ZFAD=ZFDA,

Z.FAD=g(180。一150°)=15°,

:.ZDAB=ZFAB-ZFAD=G00-15°=45o,

过点A作AGJ_C。于点G,交BF于点、K,

.・.ZKAB=30°,

vAB=2,

:.BK=GC=\，

AK=5

・•・AG=AK+KG=g+2,

:.GD=CD-GC=2-l=},

SDGBK

**,5川边形AB。。=S+S.+S矩形GKBC=Qx1x+2)+5x1x4+2x1=乖+3.

.・.NZXB=45。，四边形ABC。的面积为3+6.

图（3）

【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、正方形的判定和性质、等腰三

角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、三角形的面积等知识，正确理解新定义，熟练掌握

几何图形的性质类比定义层层递进思考是解题的关键.

24.（14分）（2021春•镇海区期末）在平面直角坐