2016文科数学高考真题全国卷Ⅱ试卷及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试【陕西省】

文科数学

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号

填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。

3.答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={1,2,3},B={x|X2<9},则AnB=(

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.设复数z满足z+i=3-i,则2=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

3.函数y=Asin(sx+0)的部分图象如图所示，贝!]()

T

A.y=2sinV67B.y=2sinX3/

(%+-)

C.y=2sinV67D.y=2sinV

4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

1

32

3

A.12JiB.JiC.8兀D.4兀

5.设F为抛物线C:y」4x的焦点，曲线y='(k>0)与C交于点P,PF，x轴，则k=()

13

A.2B.1C.2D.2

6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()

3

A.-3B.UC.巡D.2

7.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

A.20兀B.24兀C.28兀D.32兀

8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,

则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()

733

A.元8

B.c.aD.10

9.中国古代有计算多项式值的泰九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的

x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()

/输曲/

2

A.7B.12C.17D.34

10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数尸10好的定义域和值域相同的是()

1

A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1

11.函数f(x)二cos2x+6cogs-*x)’的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

12.已知函数f(x)(xGR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=，-2x-3|与y=f(x)图象的交点为

SXj

(xi,yi),(x2,y2),(xm,ym)，则匚】=()

A.0B.mC.2mD.4m

第n卷(非选择题，共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,

考生根据要求作答.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.

13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且aIIb,贝！|m=.

x-y+1.0,

■x+y-3>0,

14.若x,y满足约束条件Q-3W0,则z=x.2y的最小值为.

45_

15.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=*,cosC=13,a=l,则b=.

16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙,丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说:“我与乙

的卡片上相同的数字不是2",乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1",丙说:“我的卡片上

的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

3

娄攵列｛a.｝中，a3+ad=4,a§+a7=6.

(I)求｛aj的通项公式；

(II)设b„=[an],求数列瓜｝的前10项和,其中[x]表示不超过X的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

18.(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a(单位:元)，继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出

险次数的关联如下：

上年度出险次数01234>5

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

出险次数01234>5

频数605030302010

(I)记A为事件:"一续保人本年度的保费不高于基本保费求P(A)的估计值；

(II)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;

(III)求续保人本年度平均保费的估计值.

4

19.(本小题满分12分)

如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将4DEF沿EF

折到△D'EF的位置.

(I)证明:AC_LHD';

(II)若AB=5,AC=6,AE=10D'=2应,求五棱锥D'-ABCFE的体积.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

⑴当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f⑴)处的切线方程;

(II)若当x£(1,+8)时，f(x)>0,求a的取值范围.

5

21.（本小题满分12分）

已知A是椭圆E:4+3=l的左顶点,斜率为k（k〉0）的直线交E于A,M两点点N在E上,MA±NA.

（I）当山|=|煦|时,求小AMN的面积；

（H）当21AMi=|AN|时,证明:«<k<2.

请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG,过D点作DF±CE,垂足为F.

（I）证明:B,C,G,F四点共圆；

（II）若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.

23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

6

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(D以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程；

(X=tcosa,

(II)直线1的参数方程是“=tSina(t为参数)，1与C交于A,B两点，|AB|求1的斜率.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

|x-i|卜+:

已知函数f(x)」2l+'21”为不等式£&)〈2的解集.

⑴求M;

(II)证明:当a,b£M时，|a+b|<11+ab|.

7

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学答案

第I卷

一.选择题

(1)【答案】D(2)【答案】C⑶【答案】A⑷【答案】A

⑸【答案】D(6)【答案】A⑺【答案】C(8)【答案】B

⑼【答案】C(10)【答案】D(11)【答案】B(12)【答案】B

填空题

21

(13)【答案】-6(14)【答案】-5(15)【答案】(16)【答案】1和3

13

解答题

(17)(本小题满分12分)

【答案1(1)a=---------；(II)24.

"5

【解析】

试题分析：(I)根据等差数列的性质求生,d,从而求得a“；(II)根据已知条件求勿，再求数列｛4｝的

前10项和.

2

试题解析：(I)设数列｛%｝的公差为d,学.科网由题意有2%—5d=4,%—5d=3,解得q=l,d=w，

所以｛%｝的通项公式为

2〃+3

(II)由(I)知么=

5

当n=l,2,3时，1〈至土3<2/=1；

5

当n=4,5时，2〈出3<3,2=2；

5

8

2〃+3

当n=6,7,8时,3<<4也=3；

5

2n+3

当n=9,10时，4<<5也=4,

5

所以数歹!!{2}的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24.

考点：等茶数列的性质，数列的求和.

【结束】

（18）（本小题满分12分）

【答案】（I）由奥叶竺求P（A）的估计值；（II）由亚土型求P（B）的估计值；（III）根据平均值得计算公

200200

式求解.

【解析】

试题分析:

试题解析：（I）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

嚼0m.

故P（A）的估计值为0.55.

（II）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于1

且小于4的频率为30+30=0.3,

200

故P（B）的估计值为0.3.

（III）由题所求分布列为:

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查200名续保人的平均保费为

0.85ax0.30+«x0.25+1.25ax0.15+1.5ax0.15+1.75«x0.30+2ax0.10=1.1925a,

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.19250.

考点：样本的频率、平均值的计算.

【结束】

（19）（本小题满分12分）

69

【答案】（I）详见解析；（II）不

【解析】

9

试题分析：(I)证AC//EE再证AC//HD'.(II)证明OD'_LOH.再证OD'，平面ABC最后呢五棱

锥£>'—ABCEF体积.

试题解析：(I)由已知得，AC±BD,AD^CD.

ApCF

又由AE=C/得£二=匕,故ACIIEF.

ADCD

由此得"，印),即，加'，所以AC//HEJ

CHAE1

(II)由EF//AC得空

DOAD-4

由AB=5,AC=6得£)0=50=JAB?—A。？=4.

所以OH=1,07/=OH=3.

于是OD"+OH?=(2y/2)2+l2=9=D'H2,故OD上OH.

由⑴知ACLHD',又ACLBD,BDHD'=H,

所以AC，平面BHD；于是AC±OD'.

又由O。'，077,ACOH=O,所以，OD'_L平面ABC

FFDH9

又由££="得EP='.

ACDO2

11969

五边形ABCEE的面积S=—x6x8——x-x3=—.

2224

所以五棱锥DABCEF体积V=工x竺x2行=生旦.

342

考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.

【结束】

(20)(本小题满分12分)

【答案】(I)2x+y—2=0.；(II)(-00,2]..

【解析】

试题分析：(I)先求定义域，再求/'(x),/⑴，/⑴，由直线方程得点斜式可求曲线y=/(x)在(1,/⑴)

处的切线方程为2x+y-2=0.(II)构造新函数g(x)=lnx_a(x1),学.科网对实数。分类讨论，用导

x+1

数法求解.

10

试题解析：(l)/(%)的定义域为(0,+8).当。=4时，

/(x)=(^+l)lnx-4(x-l),/,(x)=lnx+--3,f'(l)=-2,/(I)=0.曲线y=/(x)在(1,/(I))处的

X

切线方程为2x+y—2=0.

(II)当xe(l,+oo)时，/(x)>0等价于lnx-色^~—>0.

x+1

令g(x)=InX-~,贝I]

x+1

，/、12ax2+2(l-o)x+l

g(%)=一一7一KT=----；—不——，g⑴=0，

X(%+1)x(x+1)

(i)当aW2,xe(l,+oo)时，x2+2(1-d)x+1>X2-2X+1>0,故g'(x)>0,g(x)在xe(l,+8)上单

调递增，因此g(x)>0；

(ii)当a>2时，令g'(x)=0得

/=a-1-J(a1+J(a-1/-1，

由〉1和占%2=1得占<1，故当xe。,％)时，g'(x)<0,g(x)在xe。,％)单调递减，学.科网因此

g(x)<0.

综上，a的取值范围是(TO,2].

考点：导数的几何意义，函数的单调性.

【结束】

(21)(本小题满分12分)

【答案】(I)黑；(II)(次，2).

【解析】

试题分析：(I)先求直线40的方程，再求点M的纵坐标，最后求AAMN的面积；(II)设"(%,%),,

将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y,用左表示X],从而表示|AM|,同理用上表示|AN|,

再由2|40|=|AN|求h

试题解析：(I)设〃(七,%),则由题意知%>0.

11

IT

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为一,

4

又4(—2,0),因此直线A"的方程为y=x+2.

将工=y—2代入?+5=1得7/一i2y=0,

1212

解得〉=0或、=亍，所以弘=亍.

1I?12144

因此A4MN的面积SIMZX—x—x—二——.

AAMN27749

22

(2)将直线AM的方程y=k(x+2)(左＞0)代入?+=1得

2

(3+4k2)x+16k~x+16左2—12=0.

16^-12

由x/(—2)=得m二2：二故|AM|=FF|X|+2|=1妻J

3+442

由题设，直线AN的方程为丁=—L(X+2),故同理可得|AN|=12、l：f2.

2k

由21AMl=|AN|得-------=-------,即4/—6左2+3左一8=0.

3+4左-4+3左一

设/⑴=4/—6»+3”8,则左是/⑺的零点，/«)=12»-12/+3=3(2/-1)2)0,

所以/⑺在(0,+oo)单调递增，又/(^)=15^-26<0,/(2)=6>0,

因此/⑺在(0,+8)有唯一的零点，且零点左在(6,2)内，所以者<上<2.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

【答案】(I)详见解析；(H)

2

【解析】

试题分析：(I)证ADGE~AC5F,再证氏C,G,歹四点共圆；(II)证明HfABCG~HfABbG,四边形

BCGF的面积S是AGCB面积SAGCB的2倍.

12

试题解析：(I)因为DF工EC,所以ADEF〜ACDF,

T-XJ-lT-AT-l

则有ZGDF=/DEF=ZFCB,—=—=—,

CFCDCB

所以ADGF~ACBF,由此可得ZDGF=ZCBF,

由此NCGP+NC3F=180°,所以B,C,G,歹四点共圆.

(II)由5C,G,尸四点共圆，CGLCB知产GLEB,连结GB,

由G为RtADFC斜边CD的中点，知GF=GC,故RtABCG〜RtABFG,

因此四边形5CG/的面积S是AGCB面积SAGCB的2倍，即

S=25AGCB=2x—x—xl=—.

考点：三角形相似、全等，四点共圆

【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

【答案】（I）夕2+12QCOS8+11=0；（II）土萼.

【解析】

试题分析：（I）利用夕2=必+/，x=〃cos。可得C的极坐标方程；（II）先将直线/的参数方程化为普通

方程，学.科网再利用弦长公式可得/的斜率.

试题解析：（I）由％=夕以%。,丁=/?sin。可得。的极坐标方程夕2+I2pcos6+ll=0.

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为夕=2（夕£尺）

由A5所对应的极径分别为8,外，将/的极坐标方程代入C的极坐标方程得

13

p1+12/7COS+11=0.

于是Pi+Q2=-12cosa,PiR=11,

IAB|=|P\_p21=J（夕］+夕2）2_4夕10=V144COS2«-44,

由|AB|=V10得COS?a=3,tana=，

83

所以/的斜率为边5或-"5.

33

考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.

【结束】

(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

【答案】(I)M={x|-l<x<l};(II)详见解析.

【解析】

试题分析：(I)先去掉绝对值，再分x<-工，-〈工和三种情况解不等式，即可得M；(II)

2222

采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a,时，卜+4<|1+而>

试题解析:⑴

当％W时，由/(%)<2得一2%<2,解得光>一1；

当一]<九</时，f(犬)v2；

当时，学.科网由/(x)<2得2x<2,解得X<1.

所以/(x)<2的解集M={x[—l<x<l}.

(II)由(I)知，当时，-1<。<1,一1vZ?<1,从而

14

(a+b)2-(1+ab)2=〃+/—02b2-1=(a2-1)(1-Z?2)<0,

因止匕|a+b|<|l+ab|.

考点：绝对值不等式，不等式的证明.

【结束】

一、选择题

1.D由已知得B={xl-3<x<3},0=也2,3},.•.AcB={L2}v故选D.

2.Cz=3-2i,所以2=3+2i,故选C.

三3（一三）二（二2）

3.A由题图可知A=2,2=3」则1",所以3=2,则y=2sin（2x+6）,因为题图经过点'所以

（2x-+（p）勺II

2sin'3=2,所以+小=2kn+,kGZ,即<t>=2kn-,k£Z,当k=0时，小所以y=2sin'6，故选A.

4.A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.

设球的半径为R,则2R=ba,即R=V3,所以球的表面积S=4"R2=12n.故选A.

ii

5.D由题意得点P的坐标为（1,2）.把点P的坐标代入y="（k〉O）得k=lX2=2,故选D.

4

6.A由圆的方程可知圆心为（1,4）.由点到直线的距离公式可得''再1=1,解得a=/，故选A.

易错警示圆心的坐标容易误写为（-1,-4）或⑵8）.

7.C由三视图知圆锥的高为2臼,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为2x4mX4=8JI.

圆柱的底面积为4n,

圆柱的侧面积为4X4"=16Ji,从而该几何体的表面积为8Ji+16Ji+4Ji=28"，故选C.

8.B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公

255

式知所求事件的概率P="=',故选B.

9.C执行程序框图,输入a为2时,s=OX2+2=2,k=l,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=2X2+2=6,k=2,此

15

时k>2不成立;再输入a为5,s=6X2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.

s

10.D函数y=101x的定义域、值域均为(0,+8),而y=x,y=2'的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,

排