2022-2023学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省抚州市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.珍爱生命，遵守交通规则，下列标志既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A.禁止掉头B.禁止车辆长时间停放

C.U环岛行驶D.立交直行和左转行驶

2.若x<y,则下列不等式一定成立的是（）

A.—2x<—2yB.x—2<y—2C.nx>myD.

3.某等腰三角形的顶角50。，则其每个底角是（）

A.50°B.60°C.65°D.80°

4.下列因式分解正确的是()

A.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)B.x2+4y2=(%+2y/

C.a2—b2={a—<)2D.x2—4y2=(%+4y)(x—4y)

5.如图，直线y=kx+b交x轴于点2（-2,0）,直线y=mx+n

交x轴于点B（5,0）,这两条线相交于点C（l,p）,则不等式fee+

6<小刀+n的解集为（）

A.x<—2

B.-2<x<1

C.x>5

D.x<1

6.如图，△28C中，/-BAC=90°,AD1BC,N48C的平分线BE交4。于点F,4G平分

给出下歹！］结论：①NB4D=NC；@AE=AF；③乙EBC=心@FG//AC-,⑤EF=FG.其

中正确的结论有个.（）

A

C.4

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

7.将3/y-27y因式分解为.

8.已知点M(3a-9,1-a),将M点向左平移3个单位长度后落在y轴上，则M的坐标是.

9.若正多边形的内角和是540。，则该正多边形的一个外角为°.

10.如图所示，已知AABC的周长是20,OB,OC分另U平分N4BC和A

/-ACB,OD1BC于D,且。。=3,则△28C的面积是,/\

11.已知关于x的方程=-m-4=:有增根，则TH的值为_____.

x—33—x

12.如图，在平行四边形ZBCD中，Z-ABC=105°,对角线月甲、-------------

AC,80交于点。，乙DAC=30°,AC=4,点P从B点出发，\/\

沿着边BC、CD运动到点。停止，在点P运动过程中，若AOPC\\

是直角三角形，则CP的长是.去/__________

三、解答题(本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

13.(本小题6.0分)

(1)分解因式:6xy2-9x2y-y3；

(2)解不等式：5(%+5)<32+2%.

14.(本小题6。分)

(1%+3

解不等式组“〈亍，并把解集在如图所示的数轴上表示出来.

(2(%+2)>%+1

一5一4一3—2—1012345

15.(本小题6.0分)

先化简(2-a+1)+正竽，然后从-2<x<2的范围内选择一个合适的整数作为x的值

%+1/a+1

代入求值.

16.(本小题6.0分)

如图，已知4B=AC,AE=CE,四边形BECF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作

图：

(1)在图1中作△4BC的高4H；

(2)在图2中4&边上作一点M,使EM=\BC.

图।图2

17.(本小题6.0分)

如图，已知NC=ND=90。，BC与AD交于点E,AC=BD,求证：AE=BE.

18.(本小题8.0分)

某学校为了预防甲型流感，需要购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲消毒液和2桶乙消毒

液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元.

(1)求甲、乙两种消毒液每桶各多少元？

(2)若学校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，且甲消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半,

甲、乙两种消海液的总费用不超过2170元，该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案

可使总费用最低，最低费用是多少元？

19.(本小题8.0分)

“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图1所示的“三等分角仪”

是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒P4组成，两根棒在P点相连并可

绕点P旋转，C点是棒P4上的一个固定点，点4。可在棒P4PB内的槽中滑动，且始终保持

OA=OC=PC.乙4OB为要三等分的任意角.则利用“三等分角仪”可以得到乙4PB=

^1AOB.

我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明.

已知：如图2,点。，C分别在N4P8的边PB,P2上，且。2=。。=PC.

1

求证：Z-APB=^AAOB.

20.(本小题8.0分)

如图，在△28C中，点。为边BC的中点，点E在△ABC内，4E平分NBAC,CELAE,点F在4B

上，S.BF=DE.

(1)求证：四边形BOEF是平行四边形；

(2)线段AB,BF,4C之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.

C

B-D

21.(本小题9。分)

定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为

2.x—32%+2—52%+2

“和谐分式”如===U+六=1+占==

x+1%+1x+1x+1

-5则言和箸都是“和谐分式”

%+1'

(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是(填序号)；

①学②竽③答④等

(2)将“和谐分式”立罕化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：

a—1

a2—2a+3.

------+-----;

(3)应用：先化简普—二十一，并求x取什么整数时，该式的值为整数.

x+1xxz+2x

22.(本小题9。分)

如图①，在等边AABC中，点。、E分别是AB、4c上的点，BD=AE,BE与CD交于点0.

(1)填空：乙B0C=______度；

(2)如图②，以C。为边作等边△OCF,4F与B。相等吗？并说明理由；

(3)如图③，若点G是BC的中点，连接A。、G0,判断4。与G。有什么数量关系？并说明理由.

23.(本小题12.0分)

如图1,在四边形4BCD中，AB=AD,Z.B+zXDC=180°,点E,F分别在四边形2BCD的边

BC,CD上，Z.EAF=^BAD,连接EF.

(1)思路梳理：将AABE绕点4逆时针旋转至AaDG,如图1,使4B与4。重合，由NB+N4DC=

180°,得NFDG=180。，即点尸，D,G三点共线,易证△4FG三△AFE,故EF,BE,DF之间

的数量关系为;

(2)类比引申：如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形2BC的边CB,

DC的延长线上，连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明；

(3)联想拓展：如图3,在仆ABC中,^BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,且ACME=45°,

若BD=1,EC=2,求OE的长.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：4、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

8、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

。、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转

180%如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是

它的对称中心，进行逐一判断即可.

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

2.【答案】B

【解析】解：x<y,

二由不等式的性质3得一2%>-2y,

由不等式的性质1，得x-2<y-2,

由不等式的性质2,得与<与

m,几的符号、大小不确定，

nx与my的大小不能确定，

故选：B.

根据不等式的性质进行运算辨别即可.

此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质.

3.【答案】C

【解析】解：••・等腰三角形的顶角50。，

•••每个底角=jx(180°-50°)=65°,

故选：c.

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：4、2-8a2=2(1+2a)(l-2a),故A选项符合题意；

B、/+4y2不能进行因式分解，故B选项不符合题意；

C、a?-=(a-b)(a+b),故C选项不符合题意；

D、x2—4y2s=(%+2y)(x—2y),故。选项不符合题意.

故选：A.

运用平方差和完全平方公式分解因式，然后判断即可.

本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差和完全平方公式，能够运用平方差公式分解因式

的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能运用完全平方公式分解因式

的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或

式)的积的2倍；要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

5.【答案】D

【解析】解：根据函数图象，当久<1时，kx+b<mx+n,

所以不等式kx+b<mx+几的解集为工<1.

故选：D.

结合函数图象，写出直线y=kx+b不在直线y=rnx+n的上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法.

6.【答案】B

【解析】解：连接EG,如图所示：

VABAC=90°,AD1BC,

ZC+^ABC=90°,^ABC+ABAD=90°.

•••Z-BAD=Z.C,

故①选项符合题意；

•••BE,4G分另是N4BC、AEMC的平分线，

・••/-ABF=乙EBD.

•・•Z.AFE=乙BAD+乙ABF,Z.AEB=zC+乙EBD,

・•・Z-AFE=Z-AEF,

AF=AE,

故②选项符合题意；

③假设4EBC=（C,

则有乙0=2乙480,

•・・Z.BAC=90°

・•・ZC=30°,

但4cH30°,

故③选项不符合题意；

④•・•AG是4D4c的平分线，AE=AF,

AN1BE,FN=EN,

・•・乙ANB=乙BNG=90°,

在4/8'与△GBN中，

NABN=2GBN

BN=BN,

/ANB=乙BNG

••△ABN三AGBNQ4S4）,

・•.AN=GN,

•••FN=EN,

••・四边形AFGE是平行四边形，

・•.GF//AE,

即GF〃4C,

故④选项符合题意；

⑤vAE=AF,AE-FG,

而△AEF不是等边三角形，

EFHAE,

••・EF丰FG,

故⑤选项不符合题意,

故正确的选项有：①②④，

故选：B.

连接EG,根据等角的余角相等可判断①选项；根据3仄46分另|］是乙48。、4n4。的平分线，/员4。=

NC,可得到NAFE=N4EF,进一步即可判断②选项；假设NEBC=/C,根据三角形内角和定理

可得NC=30。，但NC力30。，可判断③选项；④证明AABN三△GBNQISa),可得AN=GN,从

而证出四边形AFGE是平行四边形，可判断④选项；⑤由4E=AF,AE=FG,而AAEF不是等边

三角形，得到EFKAE,于是EFRFG,可判断⑤选项.

本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握

这些性质是解题的关键.

7.【答案】3文久+3)(%—3)

【解析】解:原式=3y(x2-9)=3y(x+3)(x-3),

故答案为：3y(x+3)(x-3).

先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解.

本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

8.【答案】(3,—3)

【解析】解：根据题意，得，3a-9一3=0,

解得a=4,

•••”(3,-3),

故答案为(3,-3).

根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”构建方程求解即可.

此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

9【答案】72

【解析】解：•••正多边形的内角和是540。，

•••多边形的边数为540。+180°+2=5,

••・多边形的外角和都是360。，

二正多边形的一个外角=360+5=72°.

故答案为：72.

根据多边形的内角和公式0-2)•180。求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的

360。，依此可以求出正多边形的一个外角.

本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征,

难度适中.

10.【答案】30

【解析】解：如图，连接04太

•：OB、OC分另IJ平分NABC和NACB,/；\

•••点。至火8、AC、BC的距离都相等，/94\

•••△ABC的周长是20,OD1BC^D,且。D=3,口^\\

RDC

S4ABe=，X20X3=30.

故答案为：30.

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点。到AB、AC,BC的距离都相等，从而可得到

A4BC的面积等于周长的一半乘以。D,然后列式进行计算即可求解.

本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角

形的面积与周长的关系是解题的关键.

11.【答案】—3或1

【解析】解：去分母，可得：x-4-(m+4)(%-3)=-m,

整理，可得：(m+3)x=4?n+8①，

(1)方程①无实数根，即机+3=0且4nl+8H0,

解得：m=-3.

(2)方程①的根x=鬻是增根，则鬻=3,

解得：m=1.

综上，可得：根=-3或1.

故答案为：-3或1.

根据题意，可得：关于X的方程号-加-4=产去分母后所得整式方程有增根，或解这个整式

方程得到的解使原方程的分母等于0,据此求出山的值是多少即可.

此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确分式方程无解的条件：去

分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.

12.【答案】殍或「或/至

【解析】解：••・四边形4BC0是平行四边形，

1

...OA=OC=^AC=2,AB］〔CD,AD//BC,

・•・乙OCD=ABAC,乙BCO=乙DAC=30°,乙BAD=180°-AABC=180°-105°=75°,

・•・乙OCD=Z.BAC=75°-30°=45°,

分三种情况：

•・,乙BCO=30°,

OP=^-OC=—,CP=2OP

...OP=^OC=i,CP=HOP=C；

③当点「在⑺上，NOPC=90。时，如图3所示:

p

'o

淤---------------------------

图3

•••乙OCD=45°,

OPC是等腰直角三角形，

CP=OC=A/-2；

综上所述，若AOPC是直角三角形，贝IJCP的长是当m或C或，至，

故答案为：殍或C或，攵.

由平行四边形的性质得04=0C=|xc=2,AB11CD,AD//BC,求出NBC。=/.DAC=30°,

ZOCD=乙BAC=45°,分三种情况：①当点P在BC上，/.POC=90。时；②当点P在BC上，LOPC=

90。时；③当点P在CD上，NOPC=90。时；由直角三角形的性质分别求出CP即可.

本题考查了平行四边形的性质、含30。角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾

股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.

13.【答案】解:(1)原式=一丫y一6久y+9/)

=-y(y—3x)2；

(2)5(%+5)<32+2x,

去括号，得：5%+25<32+2%,

移项，得：5%-2%<32-25,

合并同类项，得：3xW7,

系数化为1,得：%<|.

【解析】(1)直接提取公因式-y,再利用完全平方公式分解因式即可；

(2)直接利用一元一次不等式的解法，进而得出答案.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、一元一次不等式的解法，正确运用公式法分

解因式是解题关键.

X<—(1)

14.【答案】解：“<2°,

(2(x+2)>x+l@

解不等式①得：%<3,

解不等式②得：%>-3,

・•・原不等式组的解集为：-3Wx<3,

.•.该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:

I|||III

—5—4—3—2—1012345

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的

步骤是解题的关键.

15.【答案】解：原式=岛5-$)]•总?

a十j.a十J.(a—2)

_3—a2+la+1

—a+1Q-2)2

_4—a2

一(T)2

_(2—a)(2+a)

一(2一3

_a+2

-2^a

由分式有意义的条件可知：a#—l,a丰2,

二故a可取，a=0,

二原式=1=1.

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案.

本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算,本题属于基础题型.

16.【答案】解：(1)4H即为所求;

(2)点M即为所求.

图1图2

【解析】(1)根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质作图；

(2)根据平行四边形的性质及三角形三条中线的特点作图.

本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键.

17.【答案】证明：•••ZC=ZD=90°,

•••△BD4是直角三角形，

在RtAACB^WRtA中，

(AB=BAamp-,

(XC=BDamp;'

•••Rt△ACB=RtABDA(HL),

/.ABC=/.BAD,

AE=BE.

【解析】由HL证明RtAACB三&ABDA得出乙48C=NB2D,由等腰三角形的判定定理即可得出

结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证

明三角形全等是解题的关键.

18.【答案】解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，

由题思可得：晨-5；=6。,

解*方

答：每桶甲消毒液价格为90元，每桶乙消毒液的价格为60元；

(2)设购买甲消毒液a桶，乙消毒液(30-a)桶，

[90a+60(30—a)<2170

由题意得：,

(a>-(30-a)

解得10<a<121,

.•・a=10、11、12,共三种购买方案，

方案一：购买甲消海液10桶，乙消毒液20桶.

方案二：购买甲消毒液11桶，乙酒毒液19桶，

方案三：购买甲消毒液12桶，乙消毒液18桶，

设总费用为W元

w=90a+60(30—a)=30a+1800,

30>0,

・・・当Q=10时，w数得最小值，此时w=2100,

答：购买甲消毒液10桶，乙消毒液20桶总费用最低，最低费用是2100元.

【解析】(1)设每桶甲消毒液价格为工元，每桶乙消毒液的价格为y元，根据“购买3桶甲消毒液和2

桶乙消毒液，需费用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的费用多60元”列方程组，解方程组即

可；

(2)设购买甲消毒液Q桶，根据“消寄液的桶数不少于乙消毒液桶数的一半，甲、乙两种消海液的

总费用不超过2170元”求出。的取值范围，再根据Q为整数确定出购买方案；再总费用=两种消毒

液费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最小值即可.

本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键

是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最

值.

19.【答案】证明：如图所示:

•・•OC=PC,

Z.P=Z.1,

•・•42=4尸+Z1,

z.2=2Z.P,

图2

•・•OA=OC,

•••Z2=Z.3,

z.3=2z.P,

•・•乙AOB=zP+z3,

Z.AOB=3/-P,

即乙4PB建乙4OB.

【解析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案.

此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题

关键.

20.【答案】(1)证明：延长CE交4B于点G,

■：AE1CE,又2E平分NB4C,

AG=AC9

GE=EC.

•・・点。为边的中点，

・•・OE为△CGB的中位线，

・•.DE//AB.

DE=BF,

••・四边形BDEF是平行四边形.

1

(2)解：BF=^AB-AC).

理由如下：

由(1)可得BF=DE=^BG.

-：AG=AC,

11

・•.BF=^^AB-AG)=^AB-AC).

【解析】(1)根据等腰三角形“三线合一”得到4G=ac,再利用三角形的中位线定理证明DE〃/IB,

再加上条件DE=8F可证出结论；

111

(2)先证明=£)£'=加6,再由AG=4C,可得到BF=其48—4G)=/(AB—

此题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，题目

综合性较强，证明GE=EC,再利用三角形中位线定理证明DE〃4B是解决问题的关键.

21.【答案】解：⑴①③④

2

(2)aT，R

(3)原式=处—匕1.9+2)

⑼原八%+1x(x+l)(x-l)

3x+6x+2

x+1x+l

2%+4

x+l

_2(%+1)+2

%+1

=2+W，

x+1

・•・当x+1=±1或％+1=±2时，分式的值为整数，

此时％=0或-2或1或一3,

又丫分式有意义时，x不0、1、—1、—2,

x——3.

【解析】

【解答】

解：⑴①也=1+工，是和谐分式；③生=生捍=1+士，是和谐分式；④安=1+当

是和谐分式；

故答案为：①③④；

/c、—2a+3Q2—2tz+l+2(CL-1)^4-22

4，

'(2))----a-—-1----=------a--—-1------=-——a—-1=a-1H---a--—-17

故答案为：a—1;

(3)见答案.

【分析】

⑴由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；

(2)由原式=a2-2a+l+2=(a-lf+2=13可得；

a-1a-1a-1

(3)将原式变形为第=2+告，据此得出x+1=±1或久+1=±2,即尤=0或—2或1或一3,又

万40、1、—1、-2,据此可得答案.

本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对"和谐

分式的定义的理解.

22.【答案】(1)120

(2)解：结论：AF=BO.

理由：如图②中，

E

DB

・••△FC。，△ACB都是等边三角形，

・•.CF=CO,CA=CB,乙FCO=乙ACB=60°,

・•・^FCO-^ACD=乙ACB-^ACD

即4FG4=乙OCB,

在△FC4和△OCB中，

CF=CO

^FCA=乙OCB,

CA=CB

・•.△FCA=△0cB(S/S),

・•.AF=BO.

(3)解：如图③中，结论：AO=2OG.

理由：延长。G到H,使得GR=G。，连接CR,BR.

DB

图③

・・•点G是BC的中点,

・•.GC=GB

在△CG。和△BGR中,

GC=GB

Z-CGO=乙BGR,

GO=GR

・•.△CGO三△BGR(SZS),

.・.CO=BR=OF,Z-GCO=乙GBR,

CO//BR,

•••△FCA=△OCB,

・•.Z.AFC=乙BOC=120°,AF=BO,

•・•乙CFO=4COF=60°,

・••^AFO=(COF=60°,

・•・AFI[CO,

AF//BR,

•••Z-AFO=乙RBO,

在△AF。和△OBR中，

AF=OB

Z-AFO=乙OBR,

FO=BR

/.△AFO=△OBR(SAS),

OA=OR,

•・•OR=2OG,

・•.OA=2OG.

【解析】解：(1)如图①中，

图①

•・•△ABC是等边三角形，

•••AB=BC,ZX=Z.CBD=60°,

在AEAB和△DBC中，

AE=BD

Z-EAB=Z.DBC,

AB=BC

.*.△EAB三△DBC(S/S),

Z.ABE=乙BCD,

・•・(BOD=(BCD+乙CBE=^ABE+乙CBE=^CBA=60°,

・•・乙BOC=180。-