浙江省杭州市竺可桢教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析+原卷）

杭州竺可桢学校教育集团2023学年第一学期期中阶段性检测（试卷）八年级数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和学号．3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．4．考试结束后，上交答题卷．一、仔细选一选（每小题3分）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（）A.5，5，13 B.1，2，3 C.5，7，12 D.11，12，133.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠F； B.∠B=∠E； C.BC∥EF； D.∠A=∠EDF4.若，则下列式子中错误的是（）A.x－3>y－3 B. C.x+3>y+3 D.－3x>－3y5.如图是作一个角等于已知角的尺规作图，图中的依据是（）A. B. C. D.6.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A.三个角的比为 B.三条边满足关系C.三条边的比为 D.三个角满足关系7.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（）A.3 B.4 C.5 D.68.某商品的标价比成本价高，根据市场需要，该商品需降价．为了不亏本，应满足（）A. B. C. D.9.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（）A.70 B.74 C.144 D.14810.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、认真填一填（每小题4分）11.命题“如果，则，”的逆命题为____________.12.若不等式(a－b)x＜a－b的解集是x＞1，则a，b的大小关系是a________b.13.等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为_______．14.等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是_____．15.已知关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是__________．16.如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示)_____．三、全面答一答解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．17.解不等式：．18.如图，在中，．（1）尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；（2）在(1)的条件下，当，时，求的周长．19.如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：（1）；（2）垂直平分．20.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．21.某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入种型号种型号第一周台台元第二周台台元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）（1）求、两种型号电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．22.在中，，M是边中点，于点H，平分．（1）求证：平分；（2）过点M作的垂线交的延长线于点E，①求证：；②是什么三角形？证明你的猜想．23.我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：（1），；（2）若为整数，且，求的值；（3）若、满足方程组，求、的取值范围．24.如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．（1）当时，求的面积．（2）当为何值时，把的面积分成相等的两部分，并求出此时的长；（3）当何值时，为等腰三角形？

杭州竺可桢学校教育集团2023学年第一学期期中阶段性检测（试卷）八年级数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和学号．3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．4．考试结束后，上交答题卷．一、仔细选一选（每小题3分）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念可知：A、B、C都不是轴对称图形，故选D．考点：轴对称图形．2.下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（）A.5，5，13 B.1，2，3 C.5，7，12 D.11，12，13【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．【详解】解：A、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；D、∵，∴能构成三角形，符合题意；故选D．3.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠F； B.∠B=∠E； C.BC∥EF； D.∠A=∠EDF【答案】B【解析】【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．【详解】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．4.若，则下列式子中错误的是（）A.x－3>y－3 B. C.x+3>y+3 D.－3x>－3y【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可．【详解】A、由于x>y，则x−3>y−3，故A正确；B、由于x>y，则，故B正确；C、由于x>y，则x+3>y+3，故C正确；D、由于x>y，则−3x＜−3y，故D错误．故选D．【点睛】本题考查不等式基本性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．5.如图是作一个角等于已知角的尺规作图，图中的依据是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，则可由证明，从而证明．【详解】解：由作图方法可知，∴，∴，故选A．6.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A.三个角的比为 B.三条边满足关系C.三条边的比为 D.三个角满足关系【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可．根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确；B、三条边满足关系，故正确；C、三条边的比为，，故错误；D、三个角满足关系，则为，故正确．故选：C．7.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【详解】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝AC·DF＋AB·DE＝DE（AC＋AB）＝9，∴×2×（AC＋5）＝9，∴AC＝4故选：B．8.某商品的标价比成本价高，根据市场需要，该商品需降价．为了不亏本，应满足（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x元，由题意可得：，整理得：，∴，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．9.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（）A.70 B.74 C.144 D.148【答案】B【解析】【分析】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．详解】解：如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，则∠AMD=∠DNC=90°，∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，∴∠2+∠3=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，在△AMD和△CND中∴△AMD≌△CND，∴AM=CN，∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，∴AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74，即正方形ABCD的面积为74，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△AMD≌△CND，难度适中．10.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【详解】如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.故选：B二、认真填一填（每小题4分）11.命题“如果，则，”的逆命题为____________.【答案】若，则【解析】【分析】根据逆命题的定义即可求解.【详解】命题“如果，则，”的逆命题为若，，则故填：若，，则.【点睛】此题主要考查逆命题，解题的关键是熟知逆命题的定义.12.若不等式(a－b)x＜a－b的解集是x＞1，则a，b的大小关系是a________b.【答案】＜【解析】【分析】本题需先根据不等式不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，的解集是x＜1，得出a，b的关系，即可求出答案．．【详解】∵不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，∴a﹣b＜0，∴a＜b，则a与b的大小关系是a＜b．故答案为＜．【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变13.等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可．【详解】解：根据题意，①当腰长为时，，不能构成三角形；②当腰长为时，周长，故答案为：．14.等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是_____．【答案】6°或【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；因为已知给出的角是顶角还是底角不明确，所以根据等腰三角形的性质分两种情况讨论来求顶角的度数．【详解】分两种情况；①当角是顶角时，顶角就是；②当角底角时，顶角．因此，顶角为或．故答案为：或．15.已知关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是__________．【答案】-2<a≤-1.【解析】【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有3个整数解，确定整数解，则可以得到a的范围．【详解】解:由①,得:x≥a,由②,得:x<2.∴不等式组的解集为:a≤x<2.∵不等式组有3个整数解，∴-1,0,1.∴取值范围是-2<a≤-1.故答案为-2<a≤-1.【点睛】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．16.如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示)_____．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求不等式的整数解；根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【详解】解：由题意可知：，，…，则，，…，∵，∴°，，的度数，，…，∴，解得．当时，n<．由于为整数，故．∵n<．∴故答案为：；．三、全面答一答解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．17.解不等式：．【答案】【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，18.如图，在中，．（1）尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；（2）在(1)的条件下，当，时，求的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，垂直平分线的性质．（1）作的垂直平分线交于点；（2）先利用勾股定理计算出，然后利用可得到的周长．【小问1详解】解：如图，点为所作；【小问2详解】在中，，，的周长．19.如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：（1）；（2）垂直平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定；（1）根据直接证明；（2）根据（1）的结论可得，,即可得证垂直平分．【小问1详解】在和中，，∴；小问2详解】∵，∴，，∴点、在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．20.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．【答案】（1）△CDE是等边三角形，理由见解析；（2）6．【解析】【详解】试题分析：（1）△CDE是等边三角形，根据已知条件易证∠C=60°，CD=CE，即可判定△CDE是等边三角形；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所以OA=OB=12，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长．试题解析：（1）△CDE是等边三角形，理由如下，（2）考点：等边三角形的判定及性质；直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．21.某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入种型号种型号第一周台台元第二周台台元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元（2）超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元（3）在的条件下超市不能实现利润元的目标【解析】【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．【小问1详解】设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，依题意得：，解得：，答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；【小问2详解】设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．依题意得：，解得：．答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；【小问3详解】依题意有：，解得：，，在条件下超市不能实现利润元的目标．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解22.在中，，M是边的中点，于点H，平分．（1）求证：平分；（2）过点M作的垂线交的延长线于点E，①求证：；②是什么三角形？证明你的猜想．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②是等腰直角三角形，证明猜想见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论；（2）①根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论；②根据，于是得到，推出是直角三角形，由于垂直平分，得到得到结论．【小问1详解】证明：在中，，是边的中点，，，，，，，，平分，，，即，平分；【小问2详解】证明：①，，，，，；②△AEB是等腰直角三角形，理由如下：，，是直角三角形，垂直平分，，是等腰三角形，是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键．