2022-2023学年江西省赣州市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年江西省赣州市统招专升本数

学自考真题（含答案带解析）

学校:_________班级:―______姓名:__________考号:__________

一、单选题(30题)

1.

广义积分7TJcLr=1,其中)｝为常数.则/=()

Jo1+X'

A.0B.1C.JD.2

/TV

2.

曲线y=(1一5/|2

()

A.有极值点.r=5但无拐点巳有拐点(5,2)但无极值点

C.有极值点N=5及拐点(5,2)D.既无极值点又无拐点

3.

极限lim/2zsin—+红空\=()

J—*031X,X.1

A.0B.2

C.3D.5

4.

设=cos(sinjr)，贝ljdy=()

A.—sinlsinjOcoszcLrB.—sin(sin.r)dj'

C.—cos(sirLz)cosjrcLrD.—cos(sirhr)cLr

5.

下列不等式中正确的是()

2

A.Jlard/>jI/HCLTB.f(xlru*cLr>0

JT

C.Jj-3dLr>0D.J'eTdx>>,dr

6.

设函数z=/+y-ev,则包=()

dx

A.2x-e?B.2x-ye盯C.2x2+D.y-xe^

7.

.函数：=/Q”)在点(了…。)处有两个偏导数普和等存在，则它在点5,%)处

dady

.()

A.连续B.可微C.不一定连续D.一定不连续

8.

若函数/“)=4TK+标在区间［0,1］上满足罗尔(Rolle)定理的条件，则常数4=

()

A.-1B.OC.1D.2

9.

下列无穷级数中，发散的是()

A广B.郭c.vEirD•・尹-

10.

不定积分]巧/dr=

()

A.-2cosB.cos\[x+C

C.2cosy/x+CD.—cosvCr+C

11.

rosnrrH0.

已知函数/1)=<1则在点2=0处.下列结论正确的是()

[1•z=0.

A.a=1时・/(z)必然连续B.a=0时，/(①)必然连续

C.a=1时./(①)不连续D.a=—1时,/(①)必然连续

12.

[—sin卷，工40,

若函数若函=."5在久=0处连续，则ai=()

[a,x=0

A.0B.1C.-1D-f

13.

卜列级数中发散的是()。

20

A.V-LB.V—CnR1

W2-£?n3+1£n+i36

14.

z

若J/(z)<Lr=+C,则^jr/(x)dx=()

A.1-Jnj+CI3.]+C

x~

l-21nx

C./Ini-k+C[>+c

JJ

15.

下列极限存在的为()

A.lime"B.lim3此"C.lim—D.lim

x-*oox-*0JCJ-*0-XJ-*DOH-O

16.

fsinfd/

极限lim」°2=()

L0x

A.lB.今C.OD.2

17.

二重积分1(T-，+1)d7d_y(：其中Q；工。

5-4£1)等于()

A.2B.OC,京D.£

18.

设函数y=22,则=()

A.In2B.—2^sinJ-

C.—ln2-2rasz•sinrD.-2roM_,sinx

19.

若函数/(x)=((l-x)x，xwO,在x=0点连续，则左=()

k,x=O

A.0B.eC.e-'D.任意实数

设limf(jr),limg(N)均存在，则下列结论不正确的是

A.+g(x)J存在B.lim[/(x)—g(x)]存在

L0T•€

C.lim「/(J)•g(x)]存在D.lim/，工;存在

20.…Ig⑺

21.

.积分[cLr[]/yd_y=

)

A.2B.!C.4D.0

J2

22.

曲线＞=1一y二：的水平及垂直渐近线共有(

1f—5H十6

A.1条B.2条C.3条D.4条

23.

.已知曲线/(.r)=T2与g(.r)=/,当它们的切线相互垂直时，自变量工的值应为

24.

已知函数则/[/(:)]=

/(z)=1,()

A.JCB.J,2C.--D.

25.

设闭曲线力:f十丁=人则对弧长的曲线积分，「/守心的值为（）

A.4ne2B.-4ne2

C.2北D.-2ne2

26.

已知。是由y=/与.y=1围成的区域，则二重积分值（工十：y）dzd》=（）

D

2241

AK~15C—D-----

-1515.15

27.

下列极限不存在的是()

A.lirn,B.lim-p-~-

•3x-+1-J-2-1

C.j.l—i—m•4'D.j.lyi+m…4'

28.

函数Z=x2y+y2在点(2,1)处的全微分dz卜=2=()

尸I

A.2xydx+8+2y)dyB.(x2+2y)dx+2xydy

C.6dx+4dyD.4dx+6dy

29.

.设/(J)=则=()

A.(〃+)e"B.C.nrD.

30.

.设在口，21上可积.且/(1)=1./(2)=1.1/(.r)cLr=-1♦则J.r/'Ddr=

()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空题(20题)

3i.微分方程胃一2歹'+5y=0的通解是.

12a

设行列式203中，代数余子式A2】=3•则

32.369

33微分方程/-2，+y=0的通解为.

34.

C2it

设/(x)在［0,1］上连续,/(ICOST|)di,=A,则I=/(|COSH|)dr

JoJo

35.

设L是抛物线第=/上从点A(1.1)到B(l.l)的曲线弧，则”=

JL

36若cosx为/(x)的一个原函数，则『"'(》如二

133

行列式313的值为

。

37.331

々「微分方程*=e"＞的通解是

Jo.____

39微分方程'一.y1n,y=0的通解为

40.

［皿.”0,

设f(工)=Jx在％=0处连续，则k=.

出+1,1=0

41.

已知L是抛物线＞=工？上点0(0.0)与B(l,l)之间的一段弧，则［rds

42.

rl.X＞0,

设随机变量x在区间［-1,2］上服从均匀分布，随机变量y=Jo.x=o,则期望

—1,XV0,

E(Y)=

设连续函数f(1)满足/(.r)=sinz+1—f/(jr)d.r,则/(H)=

43.JT

极限lim；]:sin1

/r-*-1'3〃-I1Vrr

44.

2L

r2

积分(sin#+COSJOCLZ=

45.

22h

，矩阵4=—130的秩为

]—1

1一2cos.r

47.

设/(z)=/+1.则fCi)=

48.

(200：

设矩阵4=231则rQ)=.

[131;

49.

50.

已知当.rf0时，与1—cos.r为等价无穷小.则lim八")=

*-o.rsin.i'

三、计算题(15题)

设％=，验证x2

51.

52.

-2XA+X2+X3=-2,

已知线性方程组,x,-2x2+x3=/i,当2取何值时，方程组有解？并求出全部解.

2

x1+x2-2X3=2,

Lr=3co

参数方程/当Z=:时，求曲线的切线方程.

)v=2sinz,4

53.

54.

设函数y=.y(i)由参数方程1=cosr.j=sin?—tcost确定.求理

1

55.

设函数f(x)在(-8,+8)上连续，且满足f(x)=Inx+J：/(x)ix,求/(x).

56.

r/+7+/=1,

应用拉氏变换求方程组J①+),+之=0・满足1(0)=、(0)=之(0)=。的解了(，).

+4之'=0

求不定积分]].

Jj'lnjr-Inlnj'

57.

58.

设函数z=/(siru-.a-2十)，其中函数/具有二阶连续偏导数，求—

59.

计算二重积分十其中D是环形域U+y&4.

D

求微分方程工/一卫=2018犬满足初始条件了=2019的特解.

*一1

60.

计算曲线,y=Inx相应于伍的一段弧长.

61.

求lim(1+①2)|一—".

62.L。

63.

计算二重积分Jin"T7d_rd_y,其中D={(…)|<4).

有

%

求定积分Isin(i+l)|di.

Jo

求微分方程/+三=Y的通解.

65.

四、证明题(10题)

66.

已知ai.a2,为是Ar=b的解*证明:夕=3ai—a2—2a3为齐次线性方程组Ar=0的解.

s当①>1时，证明:工lax>才-1.

67.

68.

21.设函数在［0,1］上可微，当时ov/("VI且八工)#1，证明有且

仅有一点16(0,1),使得/(J-)=.r.

证明：当oVhv1时.(］-2)ln(l—2)>2x.

69.

70.

设平面图形D由曲线z=24~=/=与直线y=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

71.

设函数下］)=*")一(1>0),其中人工)在区间［a.+8)上连续，/"(1)在

x-a

(a,+8)内存在且大于零.求证:FQ)在(。・+8)内单调递增.

72.

证明不等式：1>0时，l+iln(i+/1+r2)>A/1+X2.

73.

设函数f(外在闭区间［0,门上可导，且f(0)•f(DV0,证明在开区间(0,1)内至少存在

一点久使得2/($)+“■«)=0.

证明:方程Y-+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.

74.

-dzdz

已知二元函数z=xex,证明：X—-+y—=x.

75次於

五、应用题(10题)

求1yHsin.r,j'=cosi.x=0«.r=-y所围成的平面图形的面积.

76.

77某产品的成本函数：

屋］)=+6文+100(元/件)

销售价格与产品的函数关系为:①=—32+138

(1)求总收入函数R(J)；

(2)求总利润函数L(.r)；

(3)为使利润最大化，应销售多少产品？

14)最大利润是多少？

证明：对1>0,有空书二>1+(.

78.

79.

某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月

租金每增加100元时.就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

80.

设两抛物线y=2%2,.y=3一/及『轴所围成的平面图形为求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形D绕了轴旋转一周得到旋转体的体积.

81.

将长为“怫约成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形涧这两段铁丝长各是多

少时，正方形与圆形的面积之和最小？

82.

20.某工厂需要围建一个面积为64平方米的长方形堆料场，一边可利用原来的墙壁,而现

有的存砖只够砌24米长的墙壁，问这些存砖是否足够围建此堆料场？

83.

平面图形由抛物线与该曲线在点（；，1）处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕I轴旋转一周形成的旋转体体积.

求二元函数/（①，”=/（2+/）+ylny的极值.

84.

85.

已知曲线y=aG（a>0）与曲线y=In6在点（々,，义）处有公切线，试求:

（1）常数a和切点数。，”）；

（2）两曲线与］轴围成的平面图形的面积S.

六、综合题（2题）

设/（工）在二0,+g）内连续，且lim/Gr>=1.

（1）证明函数y=e-Jpe7（Z）d/满足方程翌+y=八外；

Jodi

（2）求limy（H）.

+co

86.

87.

已知函数/lx)满足方程f(x)+/(x)-2/(X)=0且/(z)+/(x)=2e，.

(D求表达式“外；

⑵求曲线y=/Us)£/(-f)dz的拐点.

参考答案

1.D

［答案］D

由于(悟

【精析】----rdz=lim[----7dz=limZrarctan.r=.

J01+X~11RJ01TXj•b口i

因此,应有"=1,故我——.

ZK

2.B

%L5)O"="1

【精析】y'=5是函数的连续点，且在才=5西侧

3J9)工一5

丁同号,/异号.因此工=5不是函数的极值点，但(5,2)是拐点.故应选B.

3.B

.]_

1tin。、51n~1

【精析】lim/2xsin—+-——)=2lim—+lim—•sin3x=2+0=2,故应选B.

y<jCJCI11rJC

4.A

【精析】djy=dCcos(sinjr)]=一sin(sinjchosEdi.

5.B

［答案］B

【精析】由定积分的性质可知,若在团区间上，/(上)>0.则「/(H)&r>O(aV

6);而B项.J,arInxdr=—J'x-Inzdj".在［0,上—x2lnx>0.故JjJT2Inadx>0：

f(jc)<屋工)，则『&fg(x)dx(a<b),而A项，在［3,4］上，lrtzVIn'”,所以

JuJa

flordrVf而D项，在［0,1］上，©一，&\所以f「小《(e-rdr；而C项，

J3J3JOJi)

在对称区间［-2,2］匕rs是奇函数，故『/d1=0.易知选项A,C,D均错误,只有选项

B正确.

6.B

B

【评注】本题考查多元函数求偏导数，等号左右两边对x求偏导数得：包=2x-e^y.

dx

7.C

【精析】偏导数存在不一定连续，只有存在连续的偏导数时•函数可微，进而连续，故

应选C.

8.C

【精析】由/(T)在［0,1］上满足罗尔定理知，f(0)=f(D,即1=&,故应选C.

9.D

10.A

［答案］A

【精析】|7=2jsin>/Td.：r=-2cosC,故选A.

ll.A

=lim竺辿■=〃，又知/(0)=1,故a=1时，/(①)必连续.

4・0x-0JT

12.D

【精析】由/(X)在Z=0处连续可知=/(0),lim/(x)=lim—sin《=

x-*0x-*0x-*0JT3

X

1slny11

lim—・；—==,于是有a=f(0)=lim/(x)==.故应选D.

x-*0DJCUX-»00

5

13.B

［答案］D

【精析】(］7(外也)’=(苧一cy=三"=八1),

pr/'(x)dH=Jjd/(x)=xf(x)—|/(x)dx

1—2lnx,「

=-------ICt

JT

14.D故选D.

［答案］B

【精析】因为lim业红=2,所以应选B.

15.BLOa

simd7.

【精析】limJ—=lim芈=1故应选B.

x-oXl-0LXL

16.B

17.C

【精析】根据二重积分的对称性及几何意义可知，

［十;y十Ddxdy=^xdxdy+jpyd/dy+jjd/d)=0十0十S0=兀，

DDDD

故应选C.

【精析】=2cosr•ln2•(cos.r)=—ln2••sin.r.

lo.C

19.C

【评注】根据函数连续的定义：lim〃x)=/(0),即lim(l-#=eT=h

［答案］D

【解析】若则四留不存在.

20.D

21.C

［答案］C

22.C

(x--\I—

【精析】因为丁=/(X)=---；工-，=j----京，----卷=1,从而y=1

jr-51-6—3)Lg

是水平渐近线；lim/(i)=8,lim/(z)=8.从而工=2,N=3是垂直渐近线；故该曲

L2L3

线共有3条渐近线.

23.B

［答案1B

【精析】fir)=2］.g'Q)=3M,两曲线的切线相互垂直，即

/(.r)•g(.r)=—1.即21•3M=-1,即

24.C

因为/(.r)=a",则/(})=:,所以f/(：)='(!")=!'，故本题选C

25.A

[答案1A

【精析】设L：J，t6[0,2K],故《e''+『ds=fe3\/4sin2/4-4cos2rd/=

[y=2sin/JLJ。

2e2-2K=4ire2，故选A.

26.C

【精析】积分区域D如图所示，

J卜+y)d*dy=jcLrJ21(工+y)dy

=L仔+＞一"'一尹'

4

―15,

27.D

［答案］D

T*俨/——~J'

［精析］lim,=—=0,lim,\〕=lim-:—―=0.limV===lim—=0.

r-*<lJT+11J-*1.1'-T1J-j।1.»-*-1•­—・4

J'

lim4r=+8,故选D.

jf：••

D

【评注】dz=—dx4-—dy»—=2xy,—=x2+2>>»

dxdydxdy

dz-2xydx+(x?+2y)dydz|x-2=4dx+6dy.

28.D

29.A

【精析】因为f'(J-)=(jr+l)ex,f(x)=(i+2)c，♦/*(.!1)=(JT+3)e*,

=Q+〃)e。故选A.

30.D

［答案］D

【精析】if'(①)dr=［J'd/(.z)=xf(jc)I—If(.r)cLr

JiJiliJi

=2/(2)—/(1)—1/(j-)dj'=2—1—(—1)=2.

故应选D.

31.

x

e(Qcos2x+C2sin2x)

e'(Gcos2x+C2sin2x)

【评注】特征方程为：r2-2r+5=0,得=l±2i,所以方程的通解为

2

x

y=e(C,cos2x+C2sin2x).

32.

?

a7

【精析】八2i=(―1尸”=-18，6a=3.即a=三.

692

33.

y=((；+G.r)e，(G・G为任意常数)

【精析】特征方程为产―2「+1=0•解得特征根为n=r2=1.

所以所求通解为1=(G+C2i)e'，其中G，a为任意常数.

34.

4A

【精析】由于/(ICOSZ|)在(一8,十8)连续，以n为周期，且为偶函数，则根据周期

函数在任一周期上的积分相等以及偶函数的积分性质可得

1=2/(|cosjr|)cLr=21/(|COST|)di=4卜/(|COST|)d.r=4A.

J0J-fJ0

曲线L的方程为3,=41),则曲线积分

2z

jryds=JC•xvl+(21尸dr=a3]+4忆2心=0.

JLJ-1J—1

35.0

36.

-xsinx-cosx+C

-xsinx-cosx+C,

【评注】(cosx)'=f(x),即/(x)=-sinx,

Jxf(x^x=J何(x)=Mx)-Jf(x^x=-xsinx-cosx+C.

37.

28

133133

—8—6

【精析】313=0—8—6=1X(-1)1+，

-6—8

3310—6—8

=(-8)X(-8)-(-6)X(-6)=28.

38.

e"+e-y=C

【精析】y=厂二索=e'，"山=j^dr^-e^+G=e1=C.

39.

y=/、(('为任意常数)

【精析】方程分离变量得上」芈.曲边积分得In|.7-|!C,InIInv|.即y=e<*.

.rvIny

其中c为任意常数.

40.2

【精析】由于在工=0处连续，所以/(0)=lim/(z),BPlim迎红=归+1=3,

2foJT-*0X

故A=2.

41.

^(5V5-1)

【精析】由题意得，

[xds=[-r卜(2工尸dz=fxA/1+4a-:d.r=-j^(l+4/)卞I=-^(5-75—1).

42.

2

3

［答案］y

【精析】由于X在［-1,21上服从均匀分布，故P(X>0)=^,P{X<0>=4,

OO

9

P{Y=1}=P(X>0)=j

P[Y=0}=P[X=0}=0,

P{Y----1)=P{X<0}=:，

故E(Y)=1.A+(-i).1=1

43.

1

sinjI—

V

【精析】令[J(1)dr=k,则对等式两边积分得IJ(2)djr=J](sinx+1—=

COST|+▲、|fo*|=2—23即4=22氏，解得々，故/(%)=sinw+1

2..1

-=sini'+—.

oJ

44.

x

T

【精析】lim''\sin】=lim-

]=亍

L“3〃+1--(3«+i)

yTTT

45.2

22

【精析】sirur为奇函数,cos支为偶函数，故(sinjr+cosi)&r=0+2cosj'djr=

JFJo

7t

2sirur=2.

0

46.2

21221

【精析】30=-130=0,故K(A)#3.

1—1-130

=8#0.故A有二阶行列式不为零的子阵，所以R(A)=2.

-13

47.

2X§

2sinz

【精析】lim1—2cz=lim—=V3.

7T*/7T

Tsin/J:TCOS/J：—y

48.

［答案］ie-1

ie，【精析】f⑺2之丁+de“i故/(i)2ie1—ie1=ie

49.

2

"200、‘200、’000、

t评注】因为幺=231100->100，所以“4)=2.

J3IJ31；J31,

50.

1

2

【精析】当①-*0时./3)〜1-cos才〜isini〜/,

所以lim/(")=lim-21-1

j-o.z'siruz'*-oj'*

51.

【精析】因为空=e-G++)(―=)=,

dXIJCJX-

孕=e-()/―—r-\=-^e-(.

dy\v，y

所以有笳"+y手=2ed+)=2z.

aidy

52.

解：对增广矩阵（4。）进行初等行变换

-211'1-211-21A

1-21-211-20一3322-2

J1一211-20（）纪+4—2

方+4-2=0时，即4=1或4=一2,/㈤=《徘）=2<〃，方程有无穷多解.

玉=i+q,

全部解“4，（q为任意常数）

巳=q.

1-21一2102再=2+0全部解

(2)4=-2时,o-33-6012,同解方程组

x2=2+与，

00000000J

%=2+C2,

x2=2+c2t(C2为任意常数)

53.

由题可知半

【精析】-3sin/.

U/2c。"*=

dy

则平(1/-COS/?

d.rtTcl.7*r--f--3sin/；

(\t

?

故曲线的切线方程为.V•即y

54.

【精析】由于不=-sinf,f=cosf—cost卜fsint=tsinf.

dzdZ

因此

djv

/sin/

=石

dv石=—

-sin?

d7

=­L

耀r=1

55.

解：令//(“国=4，则/(%)=111刀+4.故有//'(%也=，(11)工+4)11：,即

N=31n3-2+2N,得％=2-31n3,因此/(x)=lnx+2-31n3.

56.

(1)

【精析】

X(X)!(s)iZ(s)=0.(2)

Y(s)44sz(s)=0.(3)

.s-X(2)—(1)得：

1511

1(5)=-r—■―-

5W-1$$’—1?

v(/)=1-一枭

57.

d(lrw)令，=岛1rS

jln.r•Inln.rJInJ-•InlnrJzlnf

=fdOnr)=ln।hv|+c

Jint

=In|Inln.r|+C.

58.

【精析】/=COSJ'f\+txfi,

<?2z

cosz/1•(—2v)+2xf*位,(-2v)="2ycoszf"i£—4JCV/\;.

59.

原式=1叫e’•rdr=2n•erdr2=ne'=7r(el—e).

60.

【精析】原方程可化为y'—,2018M.

该方程为一阶线性非齐次方程华+P(J-)-y=Q(4),其中P(l)=--.Q(x)=

d,rx

2018工，代人通解公式

1y=e.(12018“』3'cLr+C)

=x([2018ar•—+C)=(2018/十Ox.

JJr

又y(l)=2019•所以C=1,于是所求特解为^=(2O18x+l)x.

61.

【精析】3=『s/l+:(llLZ)Td^

J/T

=((1+占)山="2+/((±一*)力

=1+7(ln吊川)I+如/

62.

【精析】方法一哥指函数化为指数函数十洛必达法则+等价无穷小代换(siar〜h)

,o1Vln<1+x2>2x22

hm(l+f)E=e,吧=e,%+,z*=e,T启=eT=e20.

x-*0

方法二等价无穷小代换+第二重要极限

••-112

・1-COS7-----—X,

/•lim(1+jr2=lim(1+JT2)7=Flim(1+JT2)?"|=e2.

a—*0J-*0x-*0

63.

该二重积分适合选择极坐标系下进行计算，Q：02兀，1

22

故In\/x+ydjrdyrlnrdr=7VInrdr

-n/r2.lnr|；-JV

=定"2_1#2J

=冗”—5)

=(4成一外.

64.

「21t设了="一i「2-1

【精析】Isin(.r+1)|dx|sin«|di/,

J0J1

由于Isin.r|是以K为周期的周期函数，

又周期函数在任一周期上的积分相等.

C2H-1「外卜x

因此|sin”|di/=2|sinw|d〃=2sin〃d〃=-2cos〃=4.

J1J0J00

65.

【精析】所求方程通解为

y=e-J(—e1~drd-r+(,)

=e-，ar(f：e"di+C)

=5=7-・.rdi+C)

=:#&+(、)

=—(eJ4-C),

£

其中c为任意常数.

66.

【证明】因为«1•az-a,是Arb的解•代人可得Aa】kz?二b>Aa^b.

所以3Aai3b.一,4a2—一b,一2/Vz3=一2b.

故3.4a1—Aa2—2?kx3=?)bb—2b=0.所以A(3a]-a?—2a3)=0・

令/，加一a?—2a,•则。3a-a2-2a3为齐次线性方程组Ax0的解.

67.

【证明】令以工)=jdni—1+1,在[19+0°)上连续，则,/(1)=Inj'卜1—1=Ini,

当1>1时,/")>0,故函数/(.r)在(1,+8)上单调增加.且/(I)=0,

因此在1>1时"(#)>/(I)=。♦即jcinjr>n—L

68.

【精析】令F(工)=/1)-八则由题意得F(_r)在［0,1］上可微.

因为当0工工=