2023年河北省石家庄市高三冲刺模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

-------1,-4<x<0

1.已知，(尤)=，若方程〃工)-2依=Q-1有唯一解，则实数。的取值范围是()

—,0<x<1

12

A.{-8}U(1,-H»)B.D(2，+8)

C.{一8}u—,1u(2,+oo)D.{一32}+oo)

2.设全集U={XGZKX+1)(X-3)40},集合A={0,l,2},贝IJC*=()

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3)

3.MBC中，BC=2®。为8C的中点，NBAD=%,AD=1,则AC=()

4

A.2加B.272C.6-石D.2

4.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={X|X2-X+2>0},则AA8=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

5.已知集合4={划》4。,。6/?},3={x[2*<16},若A8,则实数。的取值范围是()

A.0B.RC.(F,4]D.(-00,4)

6.已知命题p：若a>l,h>c>\,则log%a<log,a；命题q：%(0,+oo),使得2』<log?尤0”，则以下命题为真

命题的是()

A.P八qB.〃八(-q)C.(―、p)/\qD.(——

7.函数〃x)=Asin(a)x+0)(其中A>0,(y>0,|^|<^)的图象如图，则此函数表达式为()

D./(x)=3sin

8.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为0：1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度

差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

9.在各项均为正数的等比数列｛q｝中，若。5。6=3,贝Ijlog3q+log3a2+…+log34o=（）

A.l+10g35B.6C.4D.5

10.下列说法正确的是（）

A.命题“Hr。WO,2%o4S1114（）”的否定形式是“\/%>0,2x>sinx”

B.若平面a,B,Y,满足4，/则a〃/?

C.随机变量q服从正态分布N（l,b2）（。>0）,若P（0<《<l）=0.4,则尸©>0）=0.8

D.设x是实数，“1<0”是“，<1”的充分不必要条件

X

11.把满足条件（1）VxeR,/（-%）=/（%）,（2）3X2G/?,使得/&）=—/（%）的函数称为“。函

数”，下列函数是“。函数”的个数为（）

①y=x'+|x|②>③y=e*+eT@y=cosx（5）y=xsinx

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.在AABC中，H为BC上异于B,。的任一点，“为A”的中点，若而=4通+〃记，则〃等于（）

M

BIIC

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

91

13.若x>l,则2x+--+―；的最小值是____.

x+\x-1

14.已知函数“X)对于xeR都有“4-x)=/(x),且周期为2,当工«-3,-2］时，〃x)=(x+2)2,则

呜卜---------------------------

15-双曲线1一!=1的焦距为--------,渐近线方程为一.

16.设函数"X)=则/(-2)+/(log23)=---------.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁

金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽

取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：

分组频数(单位：名)

使用“余额宝”X

使用“财富通”y

使用“京东小金库”30

使用其他理财产品50

合计1200

已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.

(D求频数分布表中X,>的值；

(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%,“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产

品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取

2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X,求X的分布列及数学

期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产

品，一年可以获得3元利息.

L_3但

2

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《（/为参数）.在以原点。为极点，x轴

y=\j5+——/

、2

正半轴为极轴的极坐标系中，圆。的方程为0=2后sin®.

（1）写出直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

⑵若点。坐标为（3,石），圆C与直线/交于AB两点，求IP4I+IP3I的值.

19.（12分）已知数列｛。“｝中，％=1,前〃项和为S,,,若对任意的〃GM,均有S“=a”“-k（z是常数，且AGN*）

成立，则称数列｛%｝为“”（攵）数列”.

（1）若数列&｝为""（1）数列”，求数列｛凡｝的前"项和s“；

（2）若数列｛q｝为“”（2）数列”，且为为整数，试问：是否存在数列｛4｝,使得|42-。,1。,田|〈40对任意〃22,

成立？如果存在，求出这样数列｛4｝的的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

20.（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=0,AF=1,M是线段EF的

中点.

求证：（1）AM〃平面BDE；

（2）AMJ_平面BDF.

21.（12分）如图，已知椭圆0+3=1（。＞方＞0）经过点一且离心率e=g,过右焦点尸且不与坐标

轴垂直的直线/与椭圆C相交于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程;

(2)设椭圆。的右顶点为A，线段MN的中点为H,记直线40,AN的斜率分别为勺人,修，求证:

k。

为定值.

22.(10分)已知AAbC的内角的对边分别为a,"c,且满足28$3=网於.

C

(1)求角。的大小；

(2)若△ABC的面积为士叵，求AABC的周长的最小值.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

求出了(X)的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出”的范围即可.

【详解】

解：令-IvxvO,贝!IO<x+l<l,

贝！lf(x+l)="X+]

---1,-1<%<0

故/(x)=A]，如图示：

；,O,,x<l

12

由f(x)-2ax=a-\,

得f(x)=a(2x+l)-l,

函数y=a(2x+l)—1恒过A(_；,-1),

由8(1,；),C(0,l),

-+1,J+匚

可得勤=J"=1，kOA=2>AC~~

若方程/(%)-2ax=a-\有唯一解，

则1<2④2或2a>4,即，<a,,l或a>2；

2

2

当2依+。一1=-----1即图象相切时，

x+1

根据A=0,9a2-8。(。-2)=0,

解得“=-16(0舍去)，

【点睛】

本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题.

2.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x-3)«0解得故。={-1,0,1,2,3},所以QA={-1,3},故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

3.D

【解析】

在中，由正弦定理得sin8=巫；进而得cos/AOC=cos(2+81=@，在AAOC中，由余弦定理可得

10UJ5

AC.

【详解】

ADBDr—r—

在AABD中，由正弦定理得益万=.兀，得sinB=业>又BD>AD,所以8为锐角，所以cosB=3"，

si,1010

,cosZADC-cosf—+81=—,

(4)5

在AADC中，由余弦定理可得AC?=4。2+。。2一2AD.£)CCOSNA£)C=4，

.•.AC=2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

4.D

【解析】

先求出集合8,再与集合4求交集即可.

【详解】

17

由已知，X2-X+2=(X--)2+->0,故3=尺，所以AD8={-2,-1,0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

5.D

【解析】

先化简8={X|2'<16}={X|X<4},再根据A={x|xWa,aeR},且AB求解.

【详解】

因为8={X[2，<16}={X|X<4},

又因为A={x|xWa,aeR},且AB,

所以a<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.B

【解析】

先判断命题P，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

,1,111

=-----E，log,&=^------,因为a>l,b>c>\,所以。<log“c<log*,所以----->-----即命题p

log„bk)g“cloguclog,/

为真命题；画出函数y=2'和y=log3X图象，知命题q为假命题，所以PA(-><7)为真.

故选:B.

【点睛】

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题。应的真假，难度较易.

7.B

【解析】

由图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，通过图象经过点(三,o］,求出。，从而得出函数解析式.

【详解】

解：由图象知A=3,7=4(苧一百］=4"，则0=空=工，

k22)4兀2

图中的点(夸应对应正弦曲线中的点(肛0),

,134E,q7T

所以二*二-+0=乃，解得夕二:，

224

故函数表达式为/(x)=3sin］；x+5).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属

于基础题.

8.B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为)，米，几何关系如下图所示：

yToo

x

由题意可得与三=血，解得x=100(&+l)；

且满足一^二血，

x+100

故解得塔高y=(x+100)3=200(72+1)«480米，即塔高约为480米.

故选：B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.

9.D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log3q+log34+…+log3囚0=log?(q%

5

=log3(«56!6)=51og3(6!5a6)=51og33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

10.D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

，<lnx<0或%>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

x

【详解】

命题，臼/<0,2/45布%”的否定形式是“\/%<0,2x>sinx"，故A错误；al/,

0工？,则a,/?可能相交，故B错误；若P(0<g<l)=0.4,则P(l<J<2)=0.4,所以

1-04-041

P房<0)=—:——-=0.1,故产(』>0)=0.9,所以C错误；由一<1,得x<0或x>l,

2x

故“x<0"是」<1”的充分不必要条件，D正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

11.B

【解析】

满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.

【详解】

满足(1)(2)的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足(2)；②不满足(1)；

③不满足(2)；④⑤均满足(1)(2).

故选：B.

【点睛】

本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.

12.A

【解析】

根据题意，用通，恁表示出质，而与无而，求出九〃的值即可.

【详解】

解：根据题意，设B*=xB(j，贝！I

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(\-x)AB+-xAC,

2222222

又赤而+〃宿

,1八、1

/.X——(1-X),JLl=­X,

,1、11

z+—(1-x)+—X=—,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.8

【解析】

9191

根据2x+——+——=x+1+——+X-1+——(x>l),利用基本不等式可求得函数最值.

x+1x-\x+1x-\

【详解】

919191

Qx>l,2x-\----+----=X+1H------i-x-ld---->6+2=8,当且仅当x+l=----且x-l=----,即x=2

x+1x-1x+1x-1x+1x-1

91

时，等号成立..•.x=2时，2x+工+——取得最小值8.

x+1x-1

故答案为：8

【点睛】

本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.

I

14.-

4

【解析】

利用〃4一用="元),且周期为2,可得〃T)=/(X),得

【详解】

•••/(4—x)=/(x),且周期为2,

.-./(-%)=/(X),又当问一3,-2］时,y(x)=(x+2)2,

故答案沏:

【点睛】

本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.

15.6y=±Xlx

5

【解析】

由题得=5+4=9.•"=3所以焦距2c=6,故第一个空填6.

由题得渐近线方程为y=±*x=±¥工故第二个空填y=±竽x.

9

16.

2

【解析】

由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案.

【详解】

因为函数"x)=«x),尤＜1,则〃_2)=l+log2[2-(-2)]=l+log24=3

因为log23>log22=1,则/(log,3)=2啕3T=2”*=3

39

故/(-2)+](k>g23)=3+5=5

9

故答案为t：一

2

【点睛】

本题考查分段函数求值，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x-640

17.(1)\；(2)680元.

y=480

【解析】

x—y=160

（1）根据题意，列方程｛-。八，然后求解即可

x+y=1200-80

（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为l（XXX）x2.8%=28（）（元）和

1000（）元使用“财富通”的利息为10000x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），

然后根据X所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出X的分布列表，然后求解数学期望即可

【详解】

x-y-160

（1）据题意，得＜

x+y-1200-80

x=640

所以＜

y=480

（2）据640:480=4:3,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.

10000元使用“余额宝”的利息为10000x2.8%=280（元）.

10000元使用“财富通”的利息为10000x4.2%=42（）（元）.

X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.

c2c02c'c'4C2C^1

P(X=560)=E^，,P(X=700)=-^=-,P(X=840)=W^」.

C；7C；7C；7

X的分布列为

X560700840

24

P

777

241

所以E(X)=560x,+7(X)x5+840x5=680(元).

【点睛】

本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题，属于基础题

18.(1)x2+(y-y/5)2=5⑵3后

【解析】

试题分析：（1）由加减消元得直线/的普通方程，由05皿。=%02=/+）;2得圆。的直角坐标方程；（？）把直线1的

参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果

f

x-3—近t_

试题解析：解：(I)由J'l得直线1的普通方程为x+y-3-加=0

H吟t

又由P=2遥sin8得p2=2&psin。，化为直角坐标方程为x2+(y-&)2=5；

(II)把直线1的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3-乎t)2+(当t)2=5,即12-3b+4=0

设tl,t2是上述方程的两实数根，

所以tl+t2=3y

又直线I过点P(3,优)，A、B两点对应的参数分别为ti,t2,

所以|PA|+|PB|=|ti|+|t2|=ti+t2=3后.

n

19.(1)Sn=2-I(2)存在，a2-0,±1,±2,±3,±4,±5,-6

【解析】

(1)由数列他"｝为“"⑴数列”可得,s“=«„+1-1,S“T=«„-l(n>2),两式相减得an+l=2a,„(n22)，又生=2=2%,

利用等比数列通项公式即可求出。,，进而求出；

(2)由题意得，S.=4+2-2,S„_,=a„+1-2(n>2),两式相减得，an+2=an+｝+an,(n>2),

2

据此可得，当〃23时,*-anan+2=a,l+l(an+i-an)-a„=用区一一a：,进而可得

|%2-44+2|=卜,：一%%|，(1123),即数列｛|42-%%|｝为常数列，进而可得K-a""」=团一出4|，(心3),

结合%=%+%，得到关于生的不等式，再由〃=2时W-=国-3卜40,且生为整数即可求出符合题意的生

的所有值.

【详解】

(1)因为数列｛《,｝为“"⑴数列”，

所以S“=a”+|T,故S“_|=a,-l(nN2)，

两式相减得。“+i=2a“,(n>2),

在S“=a”+i-1中令〃=1，则可得%=2,故%=2%

所以也=2,(〃WN*,〃N1),

所以数列｛%｝是以1为首项，以2为公比的等比数列,

所以4=2"，因为S"=a,用一1,

所以S“=2"-l.

(2)由题意得S„=a,.-2,故S,-=--2(n>2),

两式相减得。“+2=”,向+a“(n22)

所以，当"N2时,"3-《4+2=屋+i一％(%+%)=4+1(«„+1-

又因为4+i-4=a“_i，(nN3)

所以当〃23时,-4%+2=%(J-。")一"：=%+。一1一%2

所以|%+：-44+21=\an-%%I，(n23)成立，

所以当〃23时，数列｛旧2—1｝是常数列，

所以旧2-an+xan_\=|片一02a/,(n>3)

因为当“=2时,an+2=an+l+an成立，

所以%=%+%，

所以|an-%%|=%-4%-必|，S23)

在S”=。"+2-2中令n—\,

因为6=1,所以可得的=3,

所以日一出一回“。，

由〃=2时|42-4里|=|42-3|<4。，且出为整数，

可得％=0,±L±2,±3,±4,±5,±6,

2

把%=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分别代入不等式|9-3«2-«2|<40

可得，生=0,±1,±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在数列｛q｝符合题意,生的所有值为出=°，±1，±2,±3,+4,±5,-6.

【点睛】

本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的

理解能力;通过反复利用递推公式，得到数列《a：为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

20.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACCBD=N,连结NE.

•••屉=，U，i

AM=

:.NE=AM且NE与AM不共线.；.NE〃AM.

VNEu平面BDE,AM（Z平面BDE,，AM〃平面BDE.

(2)由(1)知而=

•:D（叵,0,0）,F（0,夜，1）,ADF=（0>叵,1），

AM'DF=^'.••AMJ_DF.同理AMJ_BF.又DFCBF=F，；.AMJ_平面BDF.

22

21.(1)工+匕=1；(2)详见解析.

43

【解析】

(1)由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得a/,c,代入标准方程中即可；

(2)依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为左，则直线/的方程为y=&(x-D,设NG2,%)，

通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含&的表达式表示x〃，切,进而表示即；由韦达定理表

示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示4+幺，最后做比即得证.

【详解】

c1

(1)设椭圆的焦距为2