2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（答案版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合“{-2,-1,O,1,2,3],O,1},决{工，2},则d(AuB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,O,3}P.{-2,-1,O,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】由题意可得：AuB={-l,0,l,2},则^(AB)={—2,3}.

故选：A.

【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.

2.若才为第四象限角，则()

A.cos2GoB.cos2冰。C.sin2GoD.si八2冰。

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

37r

【详解】方法一：由盘为第四象限角，可得一+24%<。<2万+2左肛左eZ,

2

所以3〃+<2a<4"+4k兀,keZ

此时2a的终边落在第三、四象限及,轴的非正半轴上，所以sin2a<0

故选：D.

方法二：当。=—q时，cos2a=cos［一:-J>o,选项B错误;

当a=-工时，cos2(z=cos|--|<0,选项A错误；

3I3J

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,则sin2a=2sinacosa<0,选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化

能力和计算求解能力.

3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成120。份订单的配货，由于订单量大

幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压50。份订单

未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为OQS,志愿者每人每天能完成5。份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于O9S，则至少需要志愿者（）

A.名6.名C.2.4名D.32名

【答案】B

【解析】

【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600—1200=900,

—=18,故至少需要志愿者18名.

50

故选：8

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环

绕天心石砌Q块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多

9块，向外每环依次也增加q块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不

含天心石）（）

A.3699块8.3474块C.3402块D.3339块

【答案】C

【解析】

【分析】第〃环天石心块数为勺，第一层共有4环，则伍“｝是以q为首项，q为公差的等差数列,

设S,为｛4｝的前4项和，由题意可得S3“-S2“=S2"-S,,+729,解方程即可得到八进一步得到$3”.

【详解】设第八环天石心块数为%,第一层共有八环，

则｛4｝是以q为首项，Q为公差的等差数列，a“=9+(〃—l)x9=9",

设S.为｛a.｝的前九项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

型为S2s筋-S2s3「S筋,因为下层比中层多72Q块，

所以S3,,一$2“=S2“一工+729，

3〃(9+27〃)2〃(9+18〃)2〃(9+18〃)〃(9+9”)“c

1即1n------------------------=------------------------(•729

2222

即9后=729，解得〃=9，

/卜…_e_27(9+9x27)_

所以§3”—$27---3402.

故选：C

【点晴】本题主要考查等差数列前八项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

S.若过点(2,i)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()

口2石「3小n475

555

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为可得圆的半径为“，写出圆的标准方

程，利用点(2,1)在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x-y-3=0的距

离.

【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为a,

圆的标准方程为(x—a)2+(y—a)2=a2.

由题意可得（2-。）2+（1-。）2=储,

可得〃_6。+5=0,解得。=1或a=5,

所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,

圆心（I/）到直线2、1-3「0的距离均为4=色与二6=冬6

y/55

|2x5-5-3|275

圆心（5.5）到直线2.v-3=0的距离均为&

~15—亨

圆心到直线2x—y-3=0的距离均为4叵;

V55

所以，圆心到直线2x—y-3=0的距离为子.

故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

6.数列｛6,｝中，4=2,am+n=a,„an,若%+>％+2++&+io=2”一2$,则％=()

A.28.3C.4D.S

【答案】C

【解析】

【分析】取〃2=1,可得出数列｛q｝是等比数列，求得数列｛《,｝的通项公式，利用等比数列求和公式可得

出关于左的等式，由々eN*可求得Z的值.

【详解】在等式am+n=aman中，令m=l,可得«„+,=anax=2an,=2,

所以，数列｛4｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a“=2x2"T=2",

1010

^+,-(1-2)2^-(1-2)

一ak+\+&+2++4+101-2-1-2

.­.2A,+,=25,则攵+1=5,解得攵=4.

故选：C.

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力,

属于中等题.

7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对

应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为（）

EF

GH

N

A.EB.FC.GP.H

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.

【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，

A2上的点在正视图中都对应点“，直线B值上的点在俯视图中对应的点为N,

在正视图中对应“，在俯视图中对应N的点是£>4，线段42,上的所有点在侧试图中都对应E,；.点、2

在侧视图中对应的点为E.

故选：A

【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还

原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.

22

8.设。为坐标原点，直线x=。与双曲线C:与-与=1（。＞0力＞0）的两条渐近线分别交于。,E两点，若

a~b-

QDE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16P.32

【答案】B

【解析】

【分析】因为C：《-W=l(a>0,6>0),可得双曲线的渐近线方程是y=±2x,与直线x=a联立方程求

ab'a

得。,E两点坐标，即可求得|ED|,根据cQDE的面积为8,可得值，根据2c=2>/7万，结合均

值不等式，即可求得答案.

【详解】。:=-==1(a>0力>0)

ab~

b

二双曲线的渐近线方程是y=±-x

a

22

直线x=。与双曲线C:二-马=1(〃>0力>0)的两条渐近线分别交于D，E两点

ah~

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

x-a(

%一Q

联立〈b,解得《,

Ia

故£>(a,b)

x=a

联立1hx=a

解得《

y=一一xy^-b

Ia

故E(a,-b)

:.\ED\^2b

二，。。石面积为：S.DE=ga义2b=ab=8

双曲线C:0-*=l(a>O/>O)

其焦距为2c=2址+及>2=2屈=8

当且仅当a=。=2&取等号

二。的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

Q.设函数/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,则4M()

A.是偶函数，且在己,+8)单调递增B.是奇函数，且在(-L3单调递减

222

C.是偶函数，且在(—,-；)单调递增D.是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义可判断出/(x)为奇函数，排除AC；当xe(一卜)，利用函数单调性的性

质可判断出/(x)单调递增，排除8当xe1-oo,-;)时，利用复合函数单调性可判断出/(x)单调递减,

从而得到结果.

【详解】由〃力=In|2^+l|-ln|2x-l|得/(x)定义域为卜|xw±g},关于坐标原点对称，

又/(-^)=ln|l-2A|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-In|2%+l|=-/(x),

・•・/(x)为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在(一；,£)上单调递增，y=ln(l—2x)在(一；,£|上单调递减，

•••/(%)在上单调递增,排除8

+

当xG|-co,-—10^,/(x)=In(-2x-l)-ln(l-2x)-jn_]n|i_|-------],

〃=1+二一在(一8,一1]上单调递减，/(〃)=ln〃在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：/(X)在[-8,一；)上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根

据f(-x)与

的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同

增异减”性得到结论.

1O已知叼是面积为外叵的等边三角形，且其顶点都在球〃的球面上.若球夕的表面积为工6兀，则

4

〃到平面a叼的距离为（）

A.733.-C.1P.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据球。的表面积和ABC的面积可求得球。的半径R和八A8C外接圆半径「，由球的性质可

知所求距离d=J/??一产.

【详解】

设球。的半径为R,则4万用=16万，解得：R=2.

设外接圆半径为「，边长为。，

•.•△ABC是面积为外叵的等边三角形，

4

2口一;=百,

1269拒ASzg.2

：.—ax--=---,解得：a=3,r=—x=­X

22433

•••球心。到平面ABC的距离d=JR2f2="互=].

故选：C.

【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明

确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.

21.若2'-2'<3一、一3一，则（)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】

【分析】将不等式变为2*-3-*<2>'-37,根据/(。=2'-3T的单调性知》<丁,以此去判断各个选项

中真数与1的大小关系，进而得到结果.

【详解】由22y<3r-3T得：2'-3"<2-v-3r，

令/(r)=2'_3-'，

<丁=2*为/?上的增函数，y=3一、为R上的减函数，.../。)为R上的增函数，

.”<y,

Qy-x>0,.,.y-x+l>l,.-.In(y-x+l)>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得

到乐丁的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

12.0-1•周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列4a24满足4€{0,l}(i=l,2,),且存在正整数

阳，使得《+,“=4。=1,2,)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足以,“=4(，=1,2,)的最小正整数加为

1

这个序列的周期.对于周期为阳的O-Z序列4”,,C(%)=—伏=1,2,，机-1)是描述其性质的

重要指标，下列周期为$的0-1序列中，满足c(幻4g(左=1,2,3,4)的序列是()

A.11010B.11011C.10001P,11001

【答案】C

【解析】

【分析】根据新定义，逐一检验即可

【详解】由《+,“=%知，序列％的周期为加，由已知，m=5,

15

C伏)=三苫的2，％=1，2,3,4

5/=1

对于选项A,

C(l)——)——(q/+为%+。304+。4“5+。5。6)=一(1+°+°+°+°)=———

5(-15555

[5[]2

C(2)=—〉：q.Q注2=—(%/+a2a&++.4+a5a7)=—(0+1+0+1+0)=—，不满足;

5j=i555

对于选项B，

[5]]3

C(1)=-Z«A=一(qa,++。304+”4“5+。5“6)=—(1+0+0+1+1)=一，不满足;

5,•=]+1555

对于选项D,

1a1i2

C*(l)=—>:区4+]=一(%。2+。2,3+。3“4+。4,5+。5“6)=—(1+0+0+0+1)=—，不满足;

5j=]555

故选：C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力,

是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知单位向量的夹角为45。，与：垂直，则公.

【答案】Y2

2

【解析】

【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数E的值.

TTx/2

【详解】由题意可得：a-^=lxlxcos45=-1

2

由向量垂直的充分必要条件可得：（ka-'b^-a=Q,

f2Tf072

即：kxa-ab=k-—=0,解得：k=—.

22

故答案为：也.

2

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学,

则不同的安排方法共有种.

【答案】36

【解析】

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原

理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名

同学

二先取2名同学看作一组，选法有：C；=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A；=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分

析能力和计算能力，属于中档题.

15■.设复数Z1,Z2满足等|=同=2,Z1+z?=J5+i,则|4-2|=.

【答案】273

【解析】

【分析】方法一：令Z1=a+4,(aeA力eR),z2=c+di,(cGR,deR),根据复数的相等可求得

ac+bd=-2，代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数4/2所对应的点为21,22，。「=02I+。22，根据复数的几何意义及复数的模，判定平行

四边形ozpz2为菱形，|OP|=|OZJ=|OZ2|=2,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算

Z

|ZI~2\-

【详解】方法一：设Z]=a+〃i,(aeR力eH),z2=c+di,(cGR,d€R),

Z|+z2=a+c+(b+d)i=V3+z,

,，又|Z]|=|zJ=2,所以〃2+32=4,。2+〃2=4，

b+d=1

222

(Q+C)2+(〃+d)2-cr+c+b-vd+2(。。+，)=4

.\ac+hd=-2

••区—Z2I=|(a—c)+S—d)i\—yj(a-c)2+(h—d)2=小8-2(ac+bd)

=J8+4=2A/3•

故答案为：2G.

方法二：如图所示，设复数z”Z2所对应的点为Z”Z2,op=oZi+OZ2,

由己知团==2=|OZ.=|OZ21,

平行四边形0Z/Z2为菱形，且,。尸4，...。以2都是正三角形，.•./ZQZ2=120°,

2222

|Z,Z21=10Z||2+10Z21-2|0Z,\\OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-^)=12

|z,—z2|=|Z]Z2|=25/3.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是

一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

16.设有下列四个命题：

月：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

必：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

"3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

々：若直线/U平面4,直线川_1_平面/,则

则下述命题中所有真命题的序号是.

①PlAP4②PlAP2③力2VP3④fVf

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题P1的真假；利用三点共线可判断命题”2的真假；利用异

面直线可判断命题〃3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题P4的真假.再利用复合命题的真假可得出结

论.

【详解】对于命题Pi，可设4与4相交，这两条直线确定的平面为。；

若4与4相交，则交点A在平面a内,

同理，4与4交点B也在平面a内,

所以，ABue,即gua,命题P1为真命题;

对于命题P2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题〃2为假命题；

对于命题〃3,空间中两条直线相交、平行或异面，

命题〃3为假命题；

对于命题，4,若直线平面a,

则m垂直于平面a内所有直线，

直线/u平面a,二直线加J_直线/,

命题，4真命题.

综上可知，P1,凡为真命题，P、,/八为假命题，

。1八。4为真命题，P|八P2为假命题，

->P2VP3为真命题，V为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，

属于中等题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.A8C中，$/认2%—$讥26一$：八2Gsih房jnC

(1)求4

(2)若33,求.ABC周长的最大值.

【答案】(1)；(2)3+25/3.

【解析】

【分析】（工）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；

（2）利用余弦定理可得到（AC+AB『一AC・A8=9,利用基本不等式可求得AC+A3的最大值，进而

得到结果.

【详解】（工）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB，

,AC2+AB2-BC21

/.cosA=-----------------=——

2ACAB2

AG（O,TT）,A-

（2）由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9'

即（AC+A8）2-ACA8=9.

ACA8dA工巧（当且仅当AC=AB时取等号），

:.9^（AC+ABf-AC-AB＞（AC+ABf-（^^^}=j（AC+AB）2-

解得：AC+A8W2G（当且仅当=时取等号）,

.-._A6C周长L=AC+A6+6CK3+20，ABC周长的最大值为3+2百.

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最

大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系

求得最值.

18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物

数量，将其分成面积相近的20。个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取2。个作为样区，调查

得到样本数据（巧，乡）①1，2,…，20）,其中g和多分别表示第/个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）

20202020

和这种野生动物的数量，并计算得£毛=60,»=1200,2（X,.-X）2=80,2（＞，一刃2=9000,

i=li=\i=\/=1

20

Z（x,—君（y,-了）=800.

i=l

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均

数乘以地块数）；

（2）求样本（M，切仁!•，2,…,2。）的相关系数（精确到。Q1）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动

物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

f（七-元）（％-9）

附：相关系数片“，^/2

£（七—无）文（》一刃2

V/=!/=!

【答案】（2）12000;（2）0.94；（3）详见解析

【解析】

【分析】（Z）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可;

20____

Z（%—x）（y.—y）

（2）利用公式，=下滑==-----二计算即可；

V/=1/=1

（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.

1201

【详解】（1）样区野生动物平均数为右Z），=合'1200=60,

地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200*60=12000

（2）样本（%％）（上1,2,…，2。）的相关系数为

20

Z（%—亍）（%一刃

一/8。°.=述。094

「二20

x）2£（X-y）2780x90003

V/=1/=1

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性,

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力,

是一道容易题.

工Q.已知椭圆会［+［之⑺纵?)的右焦点尸与抛物线乙的焦点重合，G的中心与心的顶点重合.

a~h

4

过尸且与*轴垂直的直线交公于46两点，交乙于C7两点，且|可=§|44

(1)求G.的离心率；

（2）设〃是4与乙的公共点，若|“4=5,求乙与乙的标准方程.

1丫22

【答案】（1）V；（2）C,:—+-^-=1,C,：y2=12x.

213627-,

【解析】

【分析】Q）求出|/明、利用|。。|=m4却可得出关于。、。的齐次等式，可解得椭圆G的离心

率的值；

22

（2）由（工）可得出C的方程为:3+3=1,联立曲线q与。2的方程，求出点M的坐标，利用抛物

线的定义结合|"目=5可求得c的值，进而可得出G与Q的标准方程.

【详解】（1）F（c,o）,AB_Lx轴且与椭圆G相交于A、B两点,

则直线A3的方程为*=。,

2b2

a

x=c.,

解得《,.*.CD=4c,

y=±2c1।

\CD\=^\AB\,即4c=等，2投=3ac，

即2c2+3ac—2/=0,即2片+3e—2=0，

QO<e<l,解得e=g,因此，椭圆G的离心率为:；

22

（2）由（工）知a=2c,b=&，椭圆G的方程为三+上7=1，

y2=4cx

联立,x2y2「消去了并整理得3f+16cx—l2c2=0，

------1-——二1

4c23c2

2

解得尤=-c或x=-6c（舍去），

3

25c

由抛物线的定义可得|MH=§C+C=W=5,解得C=3.

22

因此，曲线G的标准方程为二+匕=1，

3627

曲线C2的标准方程为丁=12》.

【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查

计算能力，属于中等题.

20如图，已知三棱柱46/4阮乙的底面是正三角形，侧面班盘二是矩形，M,〃分别为此3d

的中点，尸为2〃上一点，过为忆和尸的平面交“夕于E交2/于左

（1）证明：AAJ/MN,且平面2工2人93丹

（2）设〃为△力工员乙的中心，若力〃〃平面9且22/43求直线与平面2工ZMV所成

角的正弦值.

【答案】（［）证明见解析；（2）叵.

10

【解析】

【分析】（1）由M,N分别为BC,gG的中点，MN//CC、,根据条件可得MUBB,,可证MN//AA,,

要证平面EBgF1平面AAMN,只需证明放J_平面AAMN即可；

（2）连接NP,先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在gG截取4Q=EP,

由（工）3。，平面44^7,可得NQPN为耳E与平面4AMN所成角，即可求得答案.

【详解】（1）M,N分别为BC,8cl的中点，

MNIIBB、

又AAJ/BB、

：.MN//AA,

在，A8C中，M为8C中点，则BCJ.AV

又侧面8BCC为矩形，

BC1BB]

■；MNIIBB、

MNLBC

由MNcAM=M,削,4M（=平面44的

/.BCJ_平面A&MN

又B.C.//BC,且4Gtz平面ABC,BCu平面4BC，

，用£〃平面ABC

又81Gu平面破6/，且平面E4Gpe平面A8C=EE

:.B\G〃EF

EF//BC

又，平面AAMN

斯_|_平面AAMN

EFu平面GF

:.平面尸,平面4AMN

（2.）连接NP

AO//平面EBC/,平面AONPc平面E4C/=NP

AO//NP

根据三棱柱上下底面平行，

其面ANMAc平面A3C=AW，面AMWAC平面44G=4N

ON//AP

故：四边形QNP4是平行四边形

设t\ABC边长是6m(m>0)

可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m

。为△A4G的中心，且△A4G边长为6机

ON=—x6xsin60°=

3

故：ON=AP=Cm

EFUBC

.APEP

.△_EP

"3^=T

解得：EP=m

在gG截取4。=EP=m,故QN=2m

B】Q=EP且BQ//EP

，四边形40PE是平行四边形,

B.E//PQ

由（工）BC1.平面AAMN

故ZQPN为gE与平面AAMN所成角

在RtAQPN,根据勾股定理可得：PQ=‘QN?+PN，=J（2"Z）2+（6〃Z）2=2屈m

—翁2mV10

2Mmlo-

二直线用E与平面AAMN所成角的正弦值：叵.

10

【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面

垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.

2L已知函数=S/认2M讥2*

(2)讨论《对在区间0,用的单调性；

(2)证明:|/(x)|<^;

3〃

(3)设证明：S/八2Mm22Ass24比-3八22小一.

4〃

jr、(jr、

[0,-1y(x)>0J(x)单调递增,当时,/(x)<0,/(x)单调递

减，当万卜寸，厂(x)>0,/(x)单调递增.(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(工)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数

的单调性即可；

(2)首先确定函数的周期性，然后结合(工)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中

的不等式；

(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得

f(x)=[sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)(sin22,,-1xsin2"x)sin22"寸,然后结合(2)的结论和三

角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.

【详解】(1)由函数的解析式可得：/(x)=2sin\cosx,则：

/1(%)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1)=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

尸(x)=0在xw((),乃)上的根为：%=?/=g,

当x《0,百时，尸(x)>0,/(x)单调递增，

7T2万

当时，/(x)<OJ(x)单调递减,

当仔

时，/(x)>O,/(x)单调递增.

(2)注意到/(x+^-)=sin2(%+^-)sin[2(x+^-)J=sin2xsin2x=/(x),

故函数/(x)是周期为乃的函数,

结合(1)的结论，计算可得：〃0)=/(%)=0,

Y

7173?5/33G2万3>/3

X------=-------X

2J282J2J~T~

373

据此可得：［〃X)L=¥，

即|/(刈¥

o

(力结合(2)的结论有:

sin2xsin22xsin24xsin22nx

2

=[sirPxsin32xsin34xsin32"x]§

2

|^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)[in22w-,xsin2,7x)sin22〃元]§

888

X7.UISX--------XX---------X---------XXUIS>

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数

的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微