2023-2024学年南京市重点中学高三压轴卷数学试卷含解析

2023-2024学年南京市重点中学高三压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A． B． C． D．2．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A． B．C． D．3．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A． B． C． D．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.15．若直线经过抛物线的焦点，则（）A． B． C．2 D．6．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（）A．1 B． C． D．7．计算等于()A． B． C． D．8．近年来，随着网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途，随机抽取了名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏；③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为（）A． B． C． D．9．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A． B． C．1 D．10．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．11．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（）A．3 B． C．6 D．12．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12种 B．24种 C．36种 D．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则____.14．若满足约束条件，则的最大值为__________．15．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有______种；______；16．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求边长.18．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.19．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间．（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程．（3）已知分别在，处取得极值，求证：．20．（12分）已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.21．（12分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567全国累计报告确诊病例数量（万人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？（2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据：，，，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.22．（10分）在中，内角的边长分别为，且．（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意，，，又，则，由余弦定理可得.故.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.2、D【解析】

利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数，，而，因为在上递减，，即．故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.3、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、A【解析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5、B【解析】

计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.【详解】可化为，焦点坐标为，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.6、C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减；当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.7、A【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.8、C【解析】

根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用主要听音乐的人数为，使用主要看社区、新闻、资讯的人数为，所以①正确；使用主要玩游戏的人数为，而调查的总人数为，，故超过的大学生使用主要玩游戏，所以②错误；使用主要找人聊天的大学生人数为，因为，所以③正确.故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.9、D【解析】

根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.10、B【解析】

变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.【详解】解：依题：，又三点共线，，解得．故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程：三点共线⇔(为平面内任一点,)11、A【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为取右焦点，一条渐近线则点到的距离为，由所以，则又所以所以焦距为：故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.12、C【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有种方案。故选：C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由，得出，根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于对公式的考查以及对计算能力的考查.14、4【解析】

作出可行域如图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.15、36；1.【解析】

的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.分别求出，，，，由此能求出.【详解】解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.∴对应的排法有36种；，，，，∴故答案为：36；1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.16、-40【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二项展开式中x项的系数为.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.【详解】（1）因为，，所以，，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面积.19、（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析．【解析】

（1）由的正负可确定的单调区间；（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.【详解】（1）由题意得：的定义域为，当时，，，当和时，；当时，，的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2），所以（当且仅当，即时取等号），切线的斜率存在最小值，，解得：，，即切点为，从而切线方程，即：．（3），分别在，处取得极值，，是方程，即的两个不等正根．则，解得：，且，．，，，即不等式成立．【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.20、(1)(2)三个零点【解析】

(1)由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.【详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化