湖南省长沙市宁乡县第七中学高一数学文月考试题含解析

湖南省长沙市宁乡县第七中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数＝(A≠0，>0，－<<)的图象关于直线对称，

它的周期是，则（

）A．的图象过点(0，)

B．在区间[，]上是减函数C．的最大值是A

D．的图象的一个对称中心是(，0)

参考答案：D2.函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到:（

）A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍C．向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍D．向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍参考答案：B略3.已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是（

）A．2

B．

C.0

D．参考答案：A建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，则．故令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A．

4.若集合，，则等于[

]

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.若，则的最小值是

（

）A．

B．8

C．10

D．12参考答案：B6.函数的定义域为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.（5分）若直线l∥平面α，直线a?α，则l与a的位置关系是（） A． l∥a B． l与a异面 C． l与a相交 D． l与a平行或异面参考答案：D考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．专题： 阅读型．分析： 可从公共点的个数进行判断．直线l∥平面α，所以直线l∥平面α无公共点，故可得到l与a的位置关系解答： 直线l∥平面α，所以直线l∥平面α无公共点，所以l与a平行或异面．故选D点评： 本题考查空间直线和平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力．8.定义在R上的函数f(x)满足，且当时，.若对任意的，不等式恒，则实数m的最大值是（

）A．-1

B．

C.

D．参考答案：C函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.

9.函数y=x2﹣4x+1，x∈[1，5]的值域是（）A．[1，6] B．[﹣3，1] C．[﹣3，+∞） D．[﹣3，6]参考答案：D【考点】函数的值域．【分析】首先求函数y=x2﹣4x+1，在区间[1，5]上的值域，考虑到函数是抛物线方程，可以求得对称轴，然后判断函数在区间上的单调性，再求解最大值最小值，即得答案．【解答】解：对于函数f（x）=x2﹣4x+1，是开口向上的抛物线．对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f（2）=﹣3．又f（1）=﹣2＜f（5）=6，，所以最大值为6．故选D．10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（

）A.－2 B. C. D.－1参考答案：B分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则，设，则，则，当时，取得最小值.故选：B.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解是．参考答案：{x|﹣1≤x＜2}【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα，α为常数．把点（2，）代入可得：，解得α，再利用幂函数的单调性即可解出．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α为常数．由于图象过点（2，），代入可得：，解得．∴f（x）=．可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∵f（a+1）＜f（3），∴0≤a+1＜3，解得﹣1≤a＜2．∴关于a的不等式f（a+1）＜f（3）的解集是{x|﹣1≤x＜2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜2}．【点评】本题考查了幂函数的解析式与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中有

条与平面ABB1A1平行．参考答案：6【考点】棱柱的结构特征．【分析】作出图象，由图形知只有过H，G，F，I四点的直线才会与平面ABB1A1平行，由计数原理得出直线的条数即可【解答】解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，由此四点可以组成C42=6条直线．故答案为：6．【点评】本题考查满足条件的直线的条数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则______参考答案：5根据等差数列前项和公式及性质可得：，得，故答案为.14.已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为________．参考答案：215.若,则m的值为______________。参考答案：由题意得，＝－1，∴＝－1，即lgm＝－lg3＝lg，∴m＝.16.若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．参考答案：[0，＋∞)略17.若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=

． 参考答案：4【考点】三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值． 【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==， 解得：ω=4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知直线l：ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a，b为实数），点Q（0，）是圆内的一定点．（1）若a=，b=1，求△AOB的面积；（2）若△AOB为直角三角形（O为坐标原点），求点P（a，b）与点Q之间距离最大时的直线l方程；（3）若△AQB为直角三角形，且∠AQB=90°，试求AB中点M的轨迹方程．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用．专题： 直线与圆．分析： （1）由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进一步求得|AB|，然后代入三角形的面积公式得答案；（2）在直角三角形AOB中，求得|AB|，再由点到直线的距离公式得到a，b的关系，把|PQ|用含有b的代数式表示，通过配方法求得点P（a，b）与点Q之间距离最大时的a，b的值，则直线l的方程可求；（3）设出M的坐标，利用圆中的垂径定理列式求得AB中点M的轨迹方程．解答： （1）由已知直线方程为2x+y=1，圆心到直线的距离，，∴；（2）∵△AOB为直角三角形，∴|AB|=，∴圆心到直线的距离为，即2a2+b2=2，∵2﹣b2=2a2≥0，∴，=，当时可取最大值，此时a=0，∴直线l方程为；（3）设M（x，y），连OB，OM，OQ，则由“垂径定理”知：M是AB的中点，则OM⊥AB，∴|OM|2+|MB|2=|OB|2，又在直角三角形AQB中，，∴|OM|2+|QM|2=|OB|2，即，∴M点的轨迹方程为：．点评： 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，训练了平面几何中垂径定理的应用，考查了计算能力，是中档题．19.已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上（1）求圆的方程；（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆心C是MN的垂直平分线与直线2x﹣y﹣2=0的交点，CM长为半径，进而可得圆的方程；（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点，则C到l的距离小于半径，进而得到k的取值范围；（3）求出AB的垂直平分线方程，将圆心坐标代入求出斜率，进而可得答案．【解答】（本小题满分12分）解：（1）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2=25…（2）设直线l的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，则d=由题意：d＜5

即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因为k＞0∴k的取值范围是（，+∞）…（3）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0

即k=2∵k=2＞故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0…20.已知直线经过点，直线经过点，且.（1）求经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.参考答案：解：（1）若直线过原点，则方程为

若直线不过原点，则方程为

（2）直线经过点，则的斜率为设直线的方程把点代入上式得，即直线的方程解得，即

，、的中点为的外接圆的圆心为，半径为方程为.

略21.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A