专题04 逆命题与逆定理（五大类型）（解析版）

专题04逆命题与逆定理（五大类型）【题型1命题的辨析】【题型2命题的改写】【题型3命题真假的判断】【题型4命题的解答题综合】【题型5判断逆命题的真假判】【题型1命题的辨析】1．（2023•揭阳二模）下列句子中哪一个是命题（）A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空 C．猴子是动物 D．过直线l外一点作l的平行线【答案】C【解答】解：猴子是动物是命题．故选：C．2．（2022秋•黄浦区期中）下列语句中哪个是命题（）A．联结A、B两点 B．等角的余角相等吗？ C．对顶角相等 D．代数式（a≥0）叫二次根式【答案】C【解答】解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；D、代数式（a≥0）叫二次根式，是定义，不是命题，故本选项错误．故选：C．3．下列语句哪一个不是命题（）A．生活在水里的动物是鱼 B．作两条相等的线段 C．两点确定一条直线 D．是有理数【答案】B【解答】解：A，C，D都作出了判断，给出了结论，而B选项没有作出判断，没有给出了结论，所以B选项不是命题，符合题意；故选：B．4.（2023春•林州市期末）下列句子是命题的是（）A．画∠AOB＝45° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【答案】D【解答】解：A、画∠AOB＝45°，没有对事情做出判断，故不是命题；B、小于直角的角是锐角吗？没有对事情做出判断，故不是命题；C、连结CD，没有对事情做出判断，故不是命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是命题；故选：D．【题型2命题的改写】5．（2023春•莱州市期中）把命题“互为倒数的两数之积为1”改成“如果……那么……”的形式：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．【答案】如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．【解答】解：“互为倒数的两数之积为1”改成“如果……那么……”的形式为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1，故答案为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．6．（2022秋•沙河市期末）已知命题“等边三角形的三个角都是60°”，请写出它的逆命题三个角都是60°的三角形是等边三角形．【答案】三个角都是60°的三角形是等边三角形．【解答】解：命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为：三个角都是60°的三角形是等边三角形，故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．7．（2023春•威海期中）把命题“同角或等角的余角相等．”改写成“如果…，那么…”的形式如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．8．（2023春•息县月考）命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是三边相等的三角形为等边三角形，它是真命题（填“真”或“假”）．【答案】三边相等的三角形为等边三角形；真．【解答】解：命题“等边三角形的三边相等”的逆命题是“三边相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题．故答案为：三边相等的三角形为等边三角形；真．9．（2023春•川汇区期中）将命题“内错角相等”，写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等．【解答】解：“内错角相等”改写为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等．10．（2023春•襄都区校级月考）命题：同位角相等（1）请将上述命题改写：“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论；（2）判断这个命题是真命题还是假命题．【答案】（1）如果两个角是同位角，那么这两个角相等；条件是：两个角是同位角，结论是：这两个角相等；（2）假命题．【解答】解：（1）如果两个角是同位角，那么这两个角相等；条件是：两个角是同位角，结论是这两个角相等；（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以此命题为假命题．【题型3命题真假的判断】11．（2023春•陕州区期中）下列命题中，真命题的个数有（）①无限小数是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③同位角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解答】解：无限不循环小数是无理数，所以①为假命题；立方根等于它本身的数有三个，是0和±1，所以②为假命题；两直线平行，同位角相等，所以③为假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④为假命题．故选：A．12．（2023春•民权县期中）下列四个命题中，假命题是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角 D．同一平面内，过一点作已知直线的垂线，有且只有一条【答案】C【解答】解：A、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；C、如果两个角的和是180度，那么这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题；D、同一平面内，过一点作已知直线的垂线，有且只有一条，是真命题；故选：C．13．（2023春•江油市期末）下列命题中，属于假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．两个锐角的和仍然是锐角 D．同位角相等，两直线平行【答案】C【解答】解：两直线平行，同旁内角互补是真命题，故A不符合题意；两直线平行，内错角相等，故B不符合题意；两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角，故C错误，符合题意；同位角相等，两直线平行，故D不符合题意；故选：C．14．（2023春•普宁市期末）下列命题的逆命题，是真命题的为（）A．四边形是多边形 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若a＝﹣2，则|a|＝2【答案】C【解答】解：四边形是多边形的逆命题是：多边形是四边形，逆命题是假命题，故A不符合题意；对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故B不符合题意；两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两条直线平行，逆命题是真命题，故C符合题意；若a＝﹣2，则|a|＝2的逆命题是：若|a|＝2，则a＝﹣2，逆命题是假命题，故D不符合题意；故选：C．15．（2023春•孝义市期末）下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④对顶角相等．真命题个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意；②、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；③两直线平行，同位角相等，③错误，是假命题，不合题意；④、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；故选：C．16．（2023春•海安市期末）下列命题中，是真命题的是（）A．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同位角相等【答案】C【解答】解：A、平面内如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确，是真命题，符合题意；D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C．17．（2023春•南平期末）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等 B．同位角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【解答】解：对顶角相等，真命题，故A不符合题意；两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，故B符合题意；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，真命题，故C不符合题意；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题，故D不符合题意；故选：B．18．（2023春•濮阳期末）下列命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．若a＝b，则 D．若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0【答案】B【解答】解：同位角相等，两直线平行，故A是真命题，不符合题意；相等的角不一定是对顶角，故B是假命题，符合题意；若a＝b，则，故C是真命题，符合题意；若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，故D是真命题，不符合题意；故选：B．19．（2023春•灌云县期末）下列命题是真命题的是（）A．内错角相等 B．两点确定一条直线 C．一个角的余角小于这个角 D．若a＞b，则a2＞b2【答案】B【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、两点确定一条直线，是真命题，符合题意；C、一个角的余角不一定小于这个角，例如30°角的余角是60°，而60°＞30°，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如2＞﹣3，而22＜（﹣3）2，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：B【题型4命题的解答题综合】20．（2023春•连江县期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一个真命题．证明：∵AB∥CD∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AC∥BD，∴∠A＝∠DBE（两直线平行，同位角相等）∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等；（2）①③作为题设，②作为结论．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题．证明见解答过程．【解答】解：（1）补全证明过程及推理依据如下：证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AC∥BD，∴∠A＝∠DBE（两直线平行，同位角相等），∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等；（2）选取①③作为题设，②作为结论．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题．证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠DBE+∠C＝180°，∴∠A＝∠DBE（等量代换），∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．21．（2023春•张湾区期中）如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．（1）请按照：“∵AB∥CD，AM∥EN；∴∠BAM＝∠CEN”的形式，写出所有正确的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN；∴∠BAM＝∠CEN；命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN；∴AM∥EN；命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN；∴AB∥CD；故答案为AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN．（2）证明命题1：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CEA，∵AM∥EN，∴∠3＝∠4，∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，即∠BAM＝∠CEN．22．（2023春•泰兴市校级月考）已知：如图，△ABC中，点D、E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF＝∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．条件：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，结论：③∠AGF＝∠F．（填序号）证明：．【答案】：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F．【解答】解：条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF＝∠F，证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵EF∥AD，∴∠AGF＝∠BAD，∠F＝∠DAC，∴∠AGF＝∠F，故答案为：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF＝∠F．23．（2023春•潜江月考）如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，写出这个真命题（写一个即可），并给予证明．【答案】真命题：如果①AB∥CD，②∠B＝∠C，那么③∠E＝∠F，证明见解答过程．【解答】解：如果①AB∥CD，②∠B＝∠C，那么③∠E＝∠F，证明：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠EAB＝∠B，∴AC∥BD，∴∠E＝∠F．23．（2022春•兴化市期末）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是②③，结论是①（只要填写序号），并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．【答案】（1）②③，①，理由见解答过程；（2）59°．【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：∵EF∥GH，∴∠ACG＝∠DAC，∵∠ACD＝∠DAC，∴∠ACG＝∠ACD，∵BC平分∠DCH，∴∠DCB＝∠BCH，∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC；（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，∵∠ACG+∠BCH＝90°，∴x°+（2x﹣3）°＝90°，解得x＝31，∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，∴∠DAC＝∠ACG＝59°．24．（2022春•光泽县期中）如图，现有以下3个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．（1）请写出所有的真命题；（2）请选择其中一个命题加以证明．【答案】（1）命题1：由①②得到③；命题2：由①③得到②；命题3：由②③得到①．（2）见解析．【解答】解：（1）命题1：由①②得到③；命题2：由①③得到②；命题3：由②③得到①．（2）命题1证明如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDF．∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E＝∠F．命题2证明如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDF．∵∠E＝∠F，∴CE∥BF，∴∠C＝∠CDF，∴∠B＝∠C．命题3证明如下：∵∠E＝∠F，∴CE∥BF，∴∠C＝∠CDF．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠CDF，AB∥CD【题型5判断逆命题的真假判】25．（2023春•芝罘区期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b“，下列四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝﹣3，b＝2 B．a＝3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3【答案】A【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值能说明命题为假命题，符合题意；在B中，a2＝9，b2＝1，且3＞1，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题，不符合题意；故选：A．26．（2022秋•高碑店市期末）对于命题“若x2＝25，则x＝5”，小江举了一个反例来说明它是假命题，则小江选择的x值是（）A．x＝25 B．x＝5 C．x＝10 D．x＝﹣5【答案】D【解答】解：说明命题“若x2＝25，则x＝5”是假命题的一个反例可以是x＝﹣5．故选：D．27．（2023•新北区校级二模）下面四组a，b的值，能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的是（）A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝3，b＝﹣2【答案】B【解答】解：A、a＝2，b＝1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；B、a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，但不满足a＞b，故能作为证明原命题是假命题的反例；C、a＝2，b＝﹣1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；D、a＝3，b＝﹣2，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；故选：B．28．（2023春•镇江期末）下列命题中，①相等的角是对顶角；②直角三角形两个锐角互余；③如果a＝b，则|a|＝|b|：④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等．逆命题是真命题的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；②直角三角形两个锐角互余的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；③如果a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是如果|a|＝|b|，则a＝b，是假命题：④如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等的逆命题是如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点，是假命题；故选：B．29．（2023春•沭阳县期末）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．若ma2＞na2，则m＞n D．相等的角是对顶角【答案】C【解答】解：两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意；如果a2＝b2，那么a＝b的逆命题是如果a＝b，那么a2＝b2，逆命题是真命题，故B不符合题意；若ma2＞na2，则m＞n的逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，逆命题是假命题，故C符合题意；相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，逆命题是真命题，故D不符合题意；故选：C．30．（2023春•宁津县期中）已知△ABC，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列命题的逆命题不成立的是（）A．若∠A＝∠C﹣∠B，则△ABC为直角三角形 B．若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90° C．若△ABC为直角三角形，则∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形【答案】B【解答】解：A、若∠A＝∠C﹣∠B，则△ABC为直角三角形的逆命题是若△ABC为直角三角形，则∠A＝∠C﹣∠B，不符合题意；B、若a：b：c＝3：4：5，则∠C＝90°的逆命题是若∠C＝90°，则a：b：c＝3：4：5，符合题意；C、若△ABC为直角三角形，则∠A：∠B：∠C＝5：2：3的逆命题是若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形；不符合题意；D、若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形的逆命题是若△ABC是直角三角形，则a2＝（b+c）（b﹣c），不符合题意；故选：B．31．（2023春•绥中县期中）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D．全等三角形的对应边相等【答案】C【解答】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意；D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意，故选：C．32．（2023春•武昌区校级期中）下列各命题的逆命题不成立的是（）A．同旁内