线性方程组解的结构

线性方程组解的结构我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况，现在进一步研究它的解的结构。齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式为AX=0(1)其中,。齐次线性方程组(1)的解有下列性质：(1)如果是齐次线性方程组(1)的两个解，则也是它的解。证：因为是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有：,得：所以也是齐次线性方程组(1)的解。(2)如果是齐次线性方程组(1)的解，则也是它的解。（是常数）证：已知是齐次线性方程组(1)的解，所以有从而即也是齐次线性方程组(1)的解。由性质(1),(2)可得：(3)如果都是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合也是它的解。其中都是任意常数。当一个齐次线性方程组有非零解，即它有无穷多解，这无穷多解构成了一个向量组（称为解向量组）。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组，那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。定义1：如果是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性无关组，则称是齐次线性方程组(1)的一个基础解系。定理1：如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A的秩，则齐次线性方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中恰恰含有个解。证：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解，且齐次线性方程组的一般解为：（1）其中为自由未知量。对n-r个自由未知量分别取代入(1)可得齐次线性方程组的n-r个解：下面证明是齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明线性无关。因为向量组是线性无关，则由上节所证明的性质得线性无关。再证齐次线性方程组的任意一个解都可由线性表示。因为是齐次线性方程组的解，所以满足(1)式：从而即是的线性组合，所以是齐次线性方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解为：式中为任意常数。例1：求齐次线性方程组的一个基础解系，并用此基础解系表示它的全部解。解：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解对自由未知量分别取=，代入上式得到齐次线性方程组的一个基础解系为：则齐次线性方程组的全部解为：（为任意常数）例2：求齐次线性方程组的一个基础解系。解：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量=1，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为：例3：求齐次线性方程组的一个基础解系。解：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解对自由未知量为分别取和，代入上式得到方程组的一个基础解系为：和非齐次线性方程组解的结构：非齐次线性方程组可表示为AX=b，称齐次线性方程组AX=0为非齐次线性方程组AX=b的导出组。下面讨论非齐次线性方程组的解和它的导出组解之间关系。(1)如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。证：由已知得所以有即是非齐次线性方程组的解。(2)如果是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则是其导出组AX=0的解。证：由得：即是其导出组AX=0的解。定理2：如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：其中是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系。例4：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。解：因为，所以非齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量，代入上式得非齐次方程组的一个特解为：再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组同解对自由未知量为分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：则原方程组的全部解为：（为任意常数）例5：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。解：因为，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量为，得原方程组的一个特解：再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组同解对自由未知量分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：则原方程组的全部解为：练习：求解非齐次线性方程组：解：因为，所以方程组有无穷多组解，取为自由未知量。得特解：和基础解系：。即得方程组的全部解为：。例6：已知是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，证明也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知都是AX＝0的解；因此只要证明线性无关即可。设存在数使成立。整理得：（1）已知是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，即得线性无关，则由(1)得，解得：所以线性无关。即也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。例7：设矩阵A＝。证：AB＝0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。证：把矩阵B按列分块：，其中是矩阵B的第i列向量，零矩阵也按列分块则必要性：AB＝0可得：，即是齐次方程组AX=0的解。充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，即有得：，即证。例8：设是四元非