第4节 实数的完备性：Cauchy收敛定理_第1页
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文档简介

§4实数的完备性：

Cauchy收敛定理1一、柯西基本列定义5.1或叙述为2例1.证明：3例2.证明：所以不是基本列4二、列紧性定理定理5.1任意有界数列中必可造出收敛子列.证明：（二分法：）5由闭区间套定理和夹逼定理：●6三、柯西收敛准则定理5.2：证明：7由例1：由例2：注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法例3：若数列满足下面情况，判断是否收敛8

解：(1)不一定，例如例2中9(2)结论成立，证明如下10定义6.1：（1）（2）设Ｅ是非空有下界集合，四、确界的定义11定义6.2：（1）（2）设Ｅ是非空有上界集合，12五、确界原理定理1:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.证明：13此区间套特点：由区间套定理，14Ⅰ.Ⅱ.上界15证明：例4.16六、覆盖5/21/202417定理1.7.1则必可从中选出有限个开区间来覆盖证明：反证法5/21/2024185/21/202419矛盾！5/21/202420单调有界定理确界定理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定理Cauchy收敛定理七、实数系统六定理等价性5/21/202421八、小结2、列紧性定理3、柯西基本定理1、柯西基本列4、确界原理5、有限覆盖定理6、实数系定理等价性22习题1.51,2,3,4

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