专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)

专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题1．若f(x)的导函数是sinx，则函数f(x)有一个原函数是()A．1+sinxB．1一sinxC．1+cosxD．1一cosx正确答案：B解析：f’(x)=sinx，则f(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=－cosx+C，∫f(x)dx=∫(一cosx+C)dx=－sinx+Cx+C1，令C=0，C1=1，故f(x)的一个原函数为1一sinx．知识模块：一元函数积分学2．若f’(lnx)=1+lnx，则f(t)=()A．t++CB．1+lnt+CC．tlnt＋CD．t++C正确答案：A解析：f’(lnx)=1+lnx，则f’(x)=1+x，故f(x)=x+＋C，即f(t)=t＋+C．知识模块：一元函数积分学3．∫x2ex3dx=()A．x2ex3+CB．3x2ex3+CC．ex3+CD．3ex3+C正确答案：C解析：＋C．知识模块：一元函数积分学4．下列各式中正确的是()A．∫01x3dx≥∫01x2dxB．∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dxC．∫abarcsinxdx=arcsinxD．∫－11dx=0正确答案：B解析：对于选项A，当0≤x≤1时，x3≤x2，则∫01x3dx≤∫01x2dx．对于选项B，当1≤x≤2时，lnx≥(lnx)2，则∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx．对于选项C，∫abarcsinxdx=0(因∫abarcsinxdx是一个常数)．对于选项D，∫－11dx=0不成立，因为当x=0时，无意义．知识模块：一元函数积分学5．∫02sinxdx=()A．B．1C．2D．3正确答案：C解析：=2．知识模块：一元函数积分学6．设f(x)=∫0xsintdt，则f[f()]=()A．一1B．1C．一cos1D．1一cos1正确答案：D解析：由牛顿一莱布尼茨公式有f(x)=∫0xsintdt=一cost｜0x=1一cosx，所以有=f(1)=1一cos1．故选D．知识模块：一元函数积分学7．已知函数f(x)在区间[0，a](a＞0)上连续，f(0)＞0，且在(0，a)上恒有f’(x)＞0，设s1=∫0af(x)dx，s2=af(0)，s1与s2的关系是()A．s1＜s2B．s1=s2C．s1＞s2D．不确定正确答案：C解析：由f’(x)＞0在(0，a)上恒成立知f(x)在(0，a)严格单调增加，由积分中值定理知，存在ξ∈(0，a)，使得s1=∫0af(x)dx=a．f(ξ)，由于0＜ξ＜a，则f(0)＜f(ξ)＜f(a)，即a．f(ξ)＞af(0)=s2，即s1＞s2，故选C．知识模块：一元函数积分学8．椭圆曲线+y2=1围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积V=()A．2πB．πC．D．正确答案：C解析：V=π∫－22(1一)dx=π．(x一x3)｜－22=π．知识模块：一元函数积分学填空题9．不定积分dx=________．正确答案：+C解析：=∫(1+lnx)2013d(lnx)=∫(1+lnx)2013d(1+lnx)=＋C．知识模块：一元函数积分学10．∫(tanθ+cotθ)2dθ=_________．正确答案：tanθ一cotθ+C解析：∫(tanθ+cotθ)2dθ=∫(tan2θ+2+cot2θ)dθ=∫(sec2θ+csc2θ)dθ=tanθ－cotθ+C．知识模块：一元函数积分学11．∫02｜x一1｜dx=_________．正确答案：1解析：∫02｜x一1｜dx=∫01(1一x)dx＋∫12(x－1)dx=(x－x2)｜01＋(－x)｜12=1．知识模块：一元函数积分学12．∫12dx=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．极限=_________．正确答案：解析：．知识模块：一元函数积分学14．曲线所围图形的面积A=________．正确答案：πa2解析：消参后曲线方程即为x2+y2=a2，故其面积为A=πa2．知识模块：一元函数积分学解答题15．计算不定积分．正确答案：原式=+C．涉及知识点：一元函数积分学16．求∫x2cosxdx．正确答案：∫x2cosxdx=∫x2d(sinx)=x2sinx－∫sinxd(x2)=x2sinx－2∫xsinxdx=x2sinx+2∫xd(cosx)=x2sinx+2xcosx－2∫cosxdx=x2sinx+2xcosx一2sinx+C．涉及知识点：一元函数积分学17．求dx．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学18．计算∫xsinxcosxdx．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学19．设f(x)=∫x0te－t2dt，求f(x)在[1，2]上的最大值．正确答案：∵f’(x)=一xe－x2，且在[1，2]上f’(x)＜0，∴f(x)在[1，2]上单调递减，故最大值是f(1)，而f(1)=．涉及知识点：一元函数积分学20．已知f(x)=求∫－11f(x)dx．正确答案：∫－11f(x)dx=∫－10dx＋∫01dx，其中，∫－10dx=∫－10(1－)dx=1－ln(1＋ex)｜－10=ln(1＋e)－ln2，∫01dx=∫01d(x＋1)=ln(1＋x)｜01=ln2，所以∫－11f(x)dx=ln(1+e)．涉及知识点：一元函数积分学21．求反常积分∫－∞＋∞．正确答案：∫－∞＋∞．涉及知识点：一元函数积分学若当x→0时，函数f(x)=∫0x2t3－3t＋adt与x是等价无穷小量．22．求常数a的值，正确答案：由题意可知，=2a=1，得a=0；涉及知识点：一元函数积分学23．证明：≤f(2)≤8．正确答案：已知f(x)=∫0x2t3－3tdt，设g(t)=2t3－3t则令g’(t)=ln2．2t3－3t(3t2－3)=0，得t=±1，g(0)=1，g(1)=，g(2)=4，故在[0，2]上≤g(t)≤4，由估值定理得2．≤∫02g(t)dt≤2．4，即≤f(2)≤8．涉及知识点：一元函数积分学设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成图形S的面积为2．24．求函数f(x)；正确答案：将xf’(x)=f(x)+x2化成对上式两边积分，由f(x)在x=0的连续性得f(x)=x2+cx，(x∈[0，1])由已知2=∫01f(x)dx=∫01，c=4一a，f(x)=x2+(4一a)x；涉及知识点：一元函数积分学25．a为何值时，图形S绕x轴旋转一周得到的体积最小．正确答案：V=V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01．V’(a)=，令V’(a)=0得a=一5，V’’(a)=，V’’(一5)=＞0．a=一5是