人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质（教师版）

第04讲6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质课程标准学习目标①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。④理解二项式系数的性质。⑤会用赋值法求展开式系数的和。1.要求能运用二项式定理求解二项展开式；2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数；3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题；4.能理解二项式系数的性质；5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.知识点01：知识链接（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0知识点02：二项式定理及相关概念（1）二项式定理一般地，对于每个SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.这个公式叫做二项式定理.（2）二项展开式公式中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等号右边的多项式叫做SKIPIF1<0的二项展开式.【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式SKIPIF1<0的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第3项和第4项【答案】B【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若SKIPIF1<0的二项展开式中所有二项系数的和等于SKIPIF1<0，则在的展开式中，SKIPIF1<0的系数是．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0的二项展开式中所有二项系数的和等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．（4）二项式定理的三种常见变形①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0知识点03：二项展开式的通项二项展开式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二项展开式的通项,用SKIPIF1<0表示,即通项为展开式的第SKIPIF1<0项:SKIPIF1<0.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.知识点04：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：SKIPIF1<0②增减性：当SKIPIF1<0时，二项式系数递增，当SKIPIF1<0时，二项式系数递减；③最大值：当SKIPIF1<0为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当SKIPIF1<0为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.④各二项式系数和：SKIPIF1<0；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：SKIPIF1<0【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该展开式各项的二项式系数和为（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴该展开式各项的二项式系数和为SKIPIF1<0.故选：D【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若SKIPIF1<0展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【答案】15【详解】因为SKIPIF1<0展开式的二项式系数之和为64，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二项式为SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0项展开式为SKIPIF1<0，若求常数项，则令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即常数项为15.故答案为：15.题型01求SKIPIF1<0型的展开式【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式SKIPIF1<0的展开式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】二项式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2023上·高二课时练习）求SKIPIF1<0的二项展开式．【答案】SKIPIF1<0【详解】由二项式定理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的二项展开式是SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）解：由SKIPIF1<0.（2）解：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出SKIPIF1<0的展开式．【答案】SKIPIF1<0【详解】在二项式定理中令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求SKIPIF1<0的展开式．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0题型02二项展开式的逆用【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）SKIPIF1<0（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【详解】原式=SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】原式SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·高二课时练习）化简SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】1【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为（

）A．SKIPIF1<0 B．60 C．210 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】展开式的通项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，常数项为SKIPIF1<0，故选：B.【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【详解】由题意原式中SKIPIF1<0的系数SKIPIF1<0；故选：B.【典例3】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式SKIPIF1<0的展开式中的第3项为（

）A．160 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C项正确.故选：C．【典例4】（2023上·高二课时练习）SKIPIF1<0的展开式的第3项的系数为；常数项为．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】由二项式SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，可得展开式中第3项为SKIPIF1<0，所以第3项的系数为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以展开式的常数项为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为.(用数字作答)【答案】60【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式的通项公式SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为60.故答案为：60【变式2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数是．（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0的展开通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以其中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）二项式SKIPIF1<0展开式中的含SKIPIF1<0项的系数为．【答案】-40【详解】二项式SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式4】（2023下·江苏镇江·高二统考期中）在SKIPIF1<0展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，多项式SKIPIF1<0，根据组合数的运算，展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型04三项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023下·河北邢台·高二统考期末）SKIPIF1<0展开式中的常数项为（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以展开式中的常数项即分子SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数，即SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（用数字作答）.【答案】SKIPIF1<0【详解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0项的系数为．【答案】-160【详解】SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，故通项公式得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，故通项公式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：-160【变式1】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）在SKIPIF1<0的展开式中，记SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为在SKIPIF1<0的展开式中，记SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0项的系数SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）SKIPIF1<0展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指数是3，∴得到SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指数是2，得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0项的系数为．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的展开式中，构成SKIPIF1<0项只能是一个SKIPIF1<0、一个SKIPIF1<0、3个SKIPIF1<0相乘，故此项为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型05几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考阶段练习）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．SKIPIF1<0 B．7 C．77 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，故选：B.【典例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）二项式SKIPIF1<0的展开式中，所有项系数和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的系数为（用数字作答）.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0可得二项式SKIPIF1<0的所有项系数和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.二项式SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，…，8，所以SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为.【答案】960【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为：SKIPIF1<0.故答案为：960.【典例4】（2023·天津·高三专题练习）若SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数和为SKIPIF1<0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为．【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0的展开式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，…，8）．当SKIPIF1<0时，其展开式的常数项为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，其展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的展开式中常数项为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知SKIPIF1<0，若其展开式中各项的系数和为81，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0展开式中各项的系数和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·江苏·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为.【答案】32【详解】记SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0.故答案为：32【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中SKIPIF1<0的系数为．【答案】720【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，则有SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的项为：SKIPIF1<0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为：720.故答案为：720.题型06二项式系数最大项问题【典例1】（2023·四川绵阳·统考二模）SKIPIF1<0展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以SKIPIF1<0为偶数且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·高二课时练习）（1）已知SKIPIF1<0的展开式中第SKIPIF1<0项和第SKIPIF1<0项的二项式系数相等，求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的二项式系数的最大值是多少？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）二项式SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，依题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）二项式SKIPIF1<0展开式的一共SKIPIF1<0项，则第SKIPIF1<0项和第SKIPIF1<0项二项式系数相等同时取得最大值，又SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）所以第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0项二项式系数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的二项式系数的最大值是SKIPIF1<0.【变式1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若SKIPIF1<0的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】C【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由二项式系数性质可得SKIPIF1<0；因此展开式中二项式系数最大的项为SKIPIF1<0，是第6项.故选：C【变式2】（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）SKIPIF1<0的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023上·高二课时练习）若SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数是x的系数的7倍，求n的值及二项式系数的最大值．【答案】SKIPIF1<0，最大值为70.【详解】因为SKIPIF1<0展开式的第SKIPIF1<0项的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的系数等于x的系数的7倍，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以二项式系数的最大值为SKIPIF1<0.题型07系数最大（小）项问题【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A【典例2】（2023·上海嘉定·统考一模）已知SKIPIF1<0的二项展开式中系数最大的项为．【答案】SKIPIF1<0【详解】设系数最大的项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为整数，所以SKIPIF1<0，此时最大的项为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）SKIPIF1<0的二项展开式中系数最大的项为.【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0展开式的第SKIPIF1<0项的系数最大，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以系数最大的项为第SKIPIF1<0或第SKIPIF1<0项，所以系数最大的项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0②第6项和第7项【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0．二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以SKIPIF1<0．②设第SKIPIF1<0项系数的绝对值最大，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.【变式1】（2023·河南安阳·统考二模）SKIPIF1<0的展开式中各项系数的最大值为（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【详解】该二项式的通项公式为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以展开式中各项系数的最大值为SKIPIF1<0．故选：D【变式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式SKIPIF1<0的展开式中，系数最大的项为．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0展开式通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为整数.要想系数最大，则SKIPIF1<0为偶数，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然系数最大项为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.(1)求n的值；(2)系数最大的项．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)或SKIPIF1<0，所以n的值为6.（2）SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式中系数最大的项为第SKIPIF1<0项，且SKIPIF1<0．【变式4】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②第6项和第7项【详解】（1）∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0．二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以SKIPIF1<0．②设第SKIPIF1<0项系数的绝对值最大，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．题型08赋值法解决系数和问题【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是SKIPIF1<0；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0的二项展开式中，____．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)条件选择见解析，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0的二项展开式的中间项为SKIPIF1<0．②二项式SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为正数，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为负数．在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0．再令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【典例2】（2023下·山东济南·高二校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)1(2)625【详解】（1）由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0②,所以SKIPIF1<0．【典例3】（2023上·高二课时练习）设SKIPIF1<0．求：(1)SKIPIF1<0的值；(2)SKIPIF1<0的值；(3)SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（3）根据展开式的通项公式知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为负，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正；令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典例4】（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）若SKIPIF1<0，求下列各式的值.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0，两边对SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.【变式1】（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，②令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为含SKIPIF1<0项的系数，为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【变式2】（2023上·高二单元测试）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0.【答案】(1)800；(2)SKIPIF1<0；(3)0.【详解】（1）在SKIPIF1<0展开式中，含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0【变式3】（2023下·河北保定·高二校考阶段练习）设设SKIPIF1<0十SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①（2）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0；（3）因为SKIPIF1<0的和为二项式SKIPIF1<0的展开式的各个项的系数和，所以令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【变式4】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)2(2)18【详解】（1）解：由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：因为SKIPIF1<0，两边同时求导数，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型09有关整除或求余问题【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0能被7整除，则SKIPIF1<0（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0能被7整除，且SKIPIF1<0能被7整除，故SKIPIF1<0能被7整除，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）SKIPIF1<0被8除的余数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是8的整数倍，故SKIPIF1<0被8除的余数为3.故选：B【典例3】（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过SKIPIF1<0天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0除以7的余数为1，所以经过SKIPIF1<0天后是星期四，故选：B．【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设SKIPIF1<0的小数部分为x，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的整数部分为4，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选:B【变式2】（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式SKIPIF1<0展开式的各项系数之和被7除所得余数为．【答案】6【详解】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均能被7整除，所以余数为6，故答案为：6【变式3】（2023上·高二课时练习）用二项式定理证明SKIPIF1<0能被8整除．【答案】见解析【详解】证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0能被8整除.所以SKIPIF1<0能被8整除.题型10利用二项式定理近似计算【典例1】（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算SKIPIF1<0的近似值，可以这样操作：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，用这样的方法，估计SKIPIF1<0的近似值约为（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【详解】SKIPIF1<0，故选：C.【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）估算SKIPIF1<0的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【详解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：A．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）SKIPIF1<0的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【详解】SKIPIF1<0.故选：C【变式2】（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0的计算结果精确到0.01的近似值是．【答案】1.34【详解】SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0的项是SKIPIF1<0．故选：C.2．（2023上·湖北黄冈·高三校联考期中）若SKIPIF1<0为一组从小到大排列的数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的第六十百分位数，则二项式SKIPIF1<0的展开式的常数项是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以二项式为SKIPIF1<0，其展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以常数项为SKIPIF1<0，故选：B.3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）在SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项的系数为（

）A．SKIPIF1<0 B．20 C．SKIPIF1<0 D．15【答案】A【详解】SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，系数为SKIPIF1<0.故选：A4．（2023下·山东滨州·高二统考期中）若SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为40，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0的展开式的SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为40，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【详解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D6．（2023下·四川资阳·高二统考期末）SKIPIF1<0展开式中，系数最大的项是（

）A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.故选：D.7．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末）SKIPIF1