数学（人教版选修22）课件113导数的几何意义

第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的几何意义1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．(重点、难点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1．导数的几何意义(1)切线的定义：如图，设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定位置直线PT，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)__________的切线．在点P处

(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点__________处的切线的斜率k，即k＝__________．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_______________________．(x0，f(x0))f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(

)A．4

B．－4C．－3 D．2答案：D2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定解析：由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA<kB<0.由导数的几何意义，得f′(xA)<f′(xB)．答案：B3．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化情况是______(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．解析：由题意知f′(x0)<0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”．答案：逐渐下降(1)曲线上一点是否有切线，要根据割线是否有无限趋近的位置来判断．若有，则在此点有切线，且切线是唯一的；若没有，则在此点处无切线．(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个公共点．对切线的三点说明(3)若函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．若函数f(x)在x0处导数不存在，则在该点处的切线斜率不存在，但切线存在，切线的倾斜角为直角．(1)函数在一点处的导数f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限值，它是一个常数，不是变数．(2)导函数是指函数在某一区间内任一点x的导数构成的函数．(3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一．函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)、导函数f′(x)之间的区别与联系【想一想】

1.设Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，……)，P的坐标为(x0，f(x0)),割线PPn的斜率kn是多少？2．当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.[思路探究]

(1)先求切点坐标，再求y′|x＝2，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．求曲线在某点处的切线方程1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

已知抛物线y＝2x2＋1.求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?求切点坐标(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤：(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入f(x)求y0得切点坐标．2．本例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解：∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直．∴抛物线的切线的斜率为8.由本例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求点坐标为(2,9)．

已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程．[思路探究]

点P不是切点，故可设出切点P0的坐标，并用其表示出切线l的方程，然后利用切点在曲线上和点P在切线上，建立P0点坐标的方程组，解出点P0后进一步求切线方程．求曲线过某点的切线方程3．求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．1．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程：已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线过点(x0，y0)的切线方程：已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求出切点坐标．进而求出切线方程．3．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或重合；若f′(x0)>0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(