2020-2021学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年湖南省永州市高二(上)期末数学试卷

一、选择题(共8小题).

1.设，是虚数单位，复数1-2i的虚部是()

A.-2B.2C.-2zD.2;

2.设尤eR,贝是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量；=(1,m,2),b=(l,-5,-3)-且则实数加=()

A.-1B.2C.-2D.1

4.已知点A(4,jo)为抛物线J=8x上的一点，B为该抛物线的焦点，则|4引=()

A.4B.6C.473D.8

5.2020年5月14日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改革，充

分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格

局”.某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客

更好的了解当地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达

图.图中A点表示十月的平均最高气温为15°C,8点表示四月的平均最低气温为5。C.下

面叙述不正确的是()

M

--平均最低气温—平均最隅气温

A.各月的平均最低气温都在0°C以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20°C的月份有5个

22

6.已知椭圆&式J_=i的左、右顶点分别为A,B,尸为椭圆上异于A,B两点的动点,

43

贝1JkpA，kpB=()

7.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图.估计这批产

品的中位数为（）

频率

组距

0.0S

6

6

8

101520253035长度（nun）

A.20B.25C.22.5D.22.75

22

8.双曲线C：勺l（a,b>0）左、右焦点为尸i，尸2,直线丫飞弓岫C的右支相交

abz

于P,若|PFi|=2『BI，则双曲线C渐近线方程为（）

A-y=±不xB.y=±—xC.y=±--D.y=±——x

NS2x5

二、多项选择题（共4小题）.

9.下列结论正确的有（）

A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不

是互斥事件

B.在标准大气压下，水在4。C时结冰为随机事件

C.若一组数据1,a,2,4的众数是2,则这组数据的平均数为3

D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从

该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级

本科生人数之比为6：5：5：4,则应从四年级中抽取80名学生

10.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A2CD是正方形，PAL平面ABC。，点

E为PA的中点，则下列判断正确的是（

A.尸8与CO所成的角为60°B.8。_L平面PAC

C.PC〃平面BOED.VB-CDE-Vp-ABC£)=1：4

11.已知B、尸2分别为双曲线!-4^l（a〉0,b〉0）的左、右焦点，且a,b,c成等

比数列（c为双曲线的半焦距），点尸为双曲线右支上的点，点/为△尸尸1尸2的内心.若

SAIPF=$△工PF_+入$△工FF.成立，则下列结论正确的是（）

121£.

A.当尸治J_x轴时，ZPFIF2=30°

B.离心率eJ+行

2

C..=代_1

2

D.点/的横坐标为定值a

12.已知函数f（x）=ln|x卜xd，g（%）=x-（x-1）Inx,则下列结论正确的是（）

A.g（x）存在唯一极值点沏，且（1,2）

B./（x）恰有3个零点

C.当左<1时，函数g（x）与〃（x）=丘的图象有两个交点

D.若即入2>0且/（即）+/（X2）=0,则X1X2=1

三、填空题（共4小题）・

13.已知命题p：3xGR,X-2X-3<0,则一.

14.在长方体ABCZ）-A/iG5中，”为AC与。出的交点，设AD=h百兀，

则向量氤=（用b>蔗示）.

15.已知M为椭圆C：=1上一点，Fi，6为椭圆C的焦点，则△〃尸上2的周长

为.

16.已知函数/(x)—In(尤+1)-ax',对任意的(0,1),nE(0,1),当时,

Wl.）<L则实数0的取值范围是.

m-n

四、解答题（共6小题）.

17.已知函数/（尤）=X3+3X2-9x.

（1）求曲线/（无）在点（1,-5）处的切线方程；

（2）求/（x）在区间［-1,2］上的最小值和最大值.

18.已知抛物线C:尤2=4y.

（1）若直线/：x+y+4=0,求曲线C上的点到直线/距离的最小值；

（2）过点A（0,2）且倾斜角为45°的直线相交C于M,N两点，求也见.

19.某企业为了提高销售利润，从2016年至2020年每年都对生产环节的技术改造进行投资,

每年的投资金额X（单位：万元）与年利润增长量y（单位万元）的数据如表

年份20162017201820192020

投资金额无（万元）4.05.06.07.08.0

年利润增长量y（万元）6.07.09.011.012.0

（1）记3=年利润增长量-投资金额，现从2016年至2020年这五年中抽出两年进行调

查分析，求所抽两年都是3>2万元的概率；

（2）如果2021年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，请用最小二乘法求出y

关于尤的回归直线方程，并估计该企业在2021年的年利润增长量.

nn

£（x「x）（y「y）£xiy--nxy

_i=l_i=l

参考公式:a=y-bx;

bn_82-2

［（x「x）2工叼-nx

i=li=l

55

参考数据：£x1Y.=286,Zx：=190.

i=l1i=l

20.如图，在四棱锥P-A8CD中，AB//CD,AB=2DC=2«，ACHBD^F,且△尸4。与4

A&9均为正三角形，AE为的中线，点G在线段AE,且AG=2GE.

（1）求证：G尸〃平面PDC；

（2）若平面平面求平面尸4。与平面G8C所成锐二面角的余弦值.

22

21.已知椭圆C：三吃=l(a>b>O)的离心率为"，4,4分别为椭圆左、右顶点，

b?2

Bi，星分别为椭圆上、下顶点，且四边形418凶2员的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(咯，0)的直线/与椭圆C相交于P,。(异于点Ai，4)两点，证明：4P

5

±Aig.

22.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=(x2-2x)e-x-ax.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意(0,1),f(x)+g(x)<0,求整数〃的最小值.

参考答案

、选择题（共8小题）.

1.设，是虚数单位，复数1-H的虚部是（

A.-2

【分析】根据复数虚部的定义即可得出.

解：复数1-2i的虚部是-2.

故选：A.

2.设尤CR,则"x<l"是的（

A.充分不必要条件必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式的范围可得所对应集合的关系，然根据充分条件、必要条件的定义

进行判定即可.

解：因为（0,1）反（-8,1）,

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

3.已知向量；=（1,m,2）,b=（l,-5,-3），且Z1E，则实数加=（）

A.-1B.2C.-2D.1

【分析】利用向量垂直的性质直接求解.

解：：向量；=（1,m,2）,b=（l,-5,-3），且Z1E，

（b=l-5m-6=0,

解得实数m=-1.

故选：A.

4.已知点A（4,加）为抛物线J=8x上的一点，/为该抛物线的焦点，则|4回=（）

A.4B.6C.473D.8

【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离1=|4-（-2）

I，计算可得.

解：由题意可得抛物线y2=8x的焦点为尸（2,0）,准线的方程为x=-2,

由抛物线的定义可知IAFI等于点A到准线的距离d,

而d=|4-(-2)|=6,故|4目=6

故选：B.

5.2020年5月14日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改革，充

分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格

局”.某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客

更好的了解当地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达

图.图中A点表示十月的平均最高气温为15°C,8点表示四月的平均最低气温为5。C.下

面叙述不正确的是()

--平均最低气温—平均最高气温

A.各月的平均最低气温都在0°C以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20°C的月份有5个

【分析】根据图中给出的数据信息进行分析判断即可.

解：由图可知，各月的平均最高气温都在5。C以上，故选项A正确；

七月的平均温差比一月的平均温差大，故选项2正确；

三月和十一月的平均最高气温基本相同，故选项C正确；

平均最低气温高于10°C的月份有3个，故选项。错误.

故选：D.

22

6.已知椭圆&三-+X_=i的左、右顶点分别为A,B,尸为椭圆上异于A,B两点的动点,

43

则kpA，kpB=(

R3

AD.--------D

-14-4

【分析】由椭圆性质可设出点尸的坐标，在将PA,P8的斜率表示出来，即可解决.

解：由题意可知，A(-2,0),B(2,0),

设尸（无,y）‘则，kpA/k

2

..._y

••kpA-kpB-2

x-4

222

又因点P的坐标满足椭圆方程，所以得x2_4=-生二，代入上式可得,

4313

故选：B.

7.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图.估计这批产

品的中位数为（）

频率

0.0S

6

6

6

101520253035长度（mm）

A.20B.25C.22.5D.22.75

【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数

即可.

解：根据频率分布直方图，得；

0.02X5+0.04X5=0.3<0.5,

0.3+0.08X5=0.7>0.5；

中位数应在20〜25内，

设中位数为x,则

0.3+(x-20)X0.08=0.5,

解得了=22.5；

，这批产品的中位数是225

故选：C.

22

8.双曲线C：刍■-勺1心，b〉0)左、右焦点为B，尸2,直线y飞弓岫C的右支相交

abz

于P,若|PE|=2|尸尸2I，则双曲线C渐近线方程为()

D

A.y=±-|-xB.y=±-|-xC.y=±^^-x-y=±2g*

NS25

【分析】求出双曲线的焦点坐标，解出尸的坐标，利用双曲线的定义转化求解。，6关系，

即可求解双曲线的渐近线方程.

解：把y=«b代入C的方程可得x=2a；，P(2a,JR)，B(-c,0),尸2(c,0),

由双曲线的定义可知：1PBi=4°,|P6|=2a,

V(2a+c)2+3b2=4a>V(2a-c)2+3b2=2fl,整理可得8ac=12/，；.2c=3m

.1.4(a2+b2)=9a2,

.•.且至，所以双曲线的渐近线方程为：y=±近空

a22

故选：C.

二、多项选择题(共4小题).

9.下列结论正确的有()

A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不

是互斥事件

B.在标准大气压下，水在4。C时结冰为随机事件

C.若一组数据1,a,2,4的众数是2,则这组数据的平均数为3

D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从

该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级

本科生人数之比为6：5：5：4,则应从四年级中抽取80名学生

【分析】由互斥事件的定义即可判断A；由随机事件的定义可判断&根据众数的定义求

得a的值，再由平均数的计算方法求其平均数，即可判断C；利用分层抽样的性质直接

求解即可判断D.

解：对于4从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，

恰有一个黑球是：一黑一红，至少有一个红球是：一黑一红和两红，

两个事件可以同时发生，故不是互斥事件，故A正确；

对于8,在标准大气压下，水在4℃时结冰是不可能事件，故8错误；

对于C,若一组数据1,a,2,4的众数是2,则a=2,则这组数据的平均数为《（1+2+2+4）

4

=号，故C错误；

对于。，因为该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4,

所以应从四年级中抽取学生人数为400X：4丁=80,故。正确.

6+5+5+4

故选：AD.

10.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD是正方形，PA_L平面ABC。，点

E为PA的中点，则下列判断正确的是（）

A.尸8与CD所成的角为60°B.8。_1平面尸/^

C.PC〃平面8OED.VB-CDE-VpABCD-i：4

【分析】由Cr>〃AB,得/PBA（或其补角）为网与C。所成角，求出角的大小即可判

断A；由线面垂直的判定可得8。，平面PAC,得到B正确；连结AC,交8。于点

连结ER得EFV/PC,由线面平行的判定判断C；设AB=PA=尤，分别求出三棱锥与四

棱锥的体积，即可判断。正确.

解：对于A,.,.NPA4（或其补角）为PB与CD所成角，

平面ABC。，A3u平面ABC。，：.PA_LAB,

在RtZ\P48中，PA^AB,：.ZPAB=45°,

即PB与CO所成角为45°,故A错误；

对于3,：四边形ABC。为正方形，J.ACLBD,

•.•尸4_1平面42。。，BOu平面A8C£）,：.PA±BD,

PA,ACu平面PAC,平面PAC,故B正确；

对于C,连结AC,交BD于点F,则尸为AC的中点，连结EF,

:E为PA的中点，J.EF//PC,而EFu平面BDE,PCC平面BDE,

•."（?〃平面8。£,故C正确；

对于D设A8=PA=x,则%如⑪《.小人"^=上',

X3.

VB-CDE=VE-BCD=

**•VB-CDE*Vp-ABCD=~Tx:~x^=1：4,故。正确.

J./o

故选：BCD.

11.已知尸1、6分别为双曲线三-号l（a>0,b>0）的左、右焦点，且a,b,c成等

bz

比数列（。为双曲线的半焦距），点P为双曲线右支上的点，点/为△PBB的内心.若

^AIPF=SaITF.+入，△工FF-成立，则下列结论正确的是（）

1214

A.当PF2_Lx轴时，ZPFIF2=30°

B.离心率e±匹

2

C.（=立-1

2

D.点/的横坐标为定值a

,2|PF?I

【分析】对于4求出点尸（c,"）,再求tan/PPi4=1c,：।的值即可判断;对

a।卜1卜2।

于8,由62=改=C2-J,e=£>l,解出e的值，即可；对于C,设圆/的半径为r,可

a

推出产为|=|尸产2|+入下内|,再结合双曲线的定义，即可得解；对于D,设直线PFi，PF2

和分别与圆/相切于点M,N,T,结合双曲线的定义和切线长的性质可求得|7尸2I的

长，从而确定点T（a,0）,进而得解.

解：,.,q,b,c成等比数列，；.”=农,

对于A,当尸尸2，龙轴时，点尸为（C,旦-）,

a

irr9।j“1

：.tmZPFiF2=-r-^—r=~显然/尸为尸2/30°,即选项A错误;

IF1F21万T2ac2

对于5,b1=ac=c2-a,e=—>l,

a

：.e2-e-l=0,解得e=1±（舍负）,即选项B正确；

2

对于C,设圆/的半径为r,

=

•.,SAIPF1SAIPF2+XSAIF

...5|明尸■|T-|PF2|+A-X-|F1F2|,即|呐=—+入⑻码，

由双曲线的定义知，\PFi\-\PF2\=2a,

2a=X'2c,即入=包=工='无。，故选项C正确；

ce2

对于，设直线PR,和尸分别与圆/相切于点M，N,T,如图所示，

由双曲线的定义和切线长的性质可知，IPFil-|PF2|=2a=|rFi|-m，

•：\TFI\+\TF2\^2C,

：.\TF2\=c-a,即T(a,0),

，点/的横坐标为定值a,即选项。正确.

故选：BCD.

12.已知函数f(x)=ln|x|-x4,g⑴=x-(x-1)Inx,则下列结论正确的是()

A.g(x)存在唯一极值点沏，且无o€(1,2)

B./(x)恰有3个零点

C.当A<1时，函数g(x)与h(x)=丘的图象有两个交点

D.若X1X2>O且/(Xl)+f(X2)=0,则X1X2=1

【分析】根据函数的单调性，求出导函数的零点，从而求出函数的极值点，判断A,通

过讨论工的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性判断3,

对于C,问题转化为三(廿1)1空=%的根，令q(x)=xTx-l)lnx,根据函数的单

XX

调性判断C,对于。：通过讨论尤1，无2同为正，同为负的情况，分别判断即可.

解：对于A：函数g(x)=x-(x-1)lux,xe(0,+8),

则g,(x)=1-法-0=上山三

XX

设G(x)=1-xlnx,xE(0,+8),

G'(x)=-Inx-1

在(0,—)上，G'(x)>0,G(x)单调递增，

e

在(上，+8)上，G'(x)<0,G(x)单调递减，

e

故G(X)在(1,2)上单调递增，

又G(l)=1>0,G(2)=1-21rl2=1-Z«4<1-lne—0,

所以G(x)在区间(1,2)内存在零点无o，

所以函数g(x)存在唯一极值点xo,且尤oC(1,2),故A正确；

11,2—V+1

对于B；当x>0时，f(x)-1-—r=---尸-<0,

2

XxZx

所以了(无)在(0,+8)上为减函数，

又/(I)=0-1+1=0,所以/(无)在(0,+8)上只有一个零点；

当x<0时，/'(%)=---1-3=-”+：+1.<0,

同VXjx乙

所以/(X)在(-8,0)上为减函数；

又/(-1)=0+1-1=0,所以/(%)在(-8,0)上只有一个零点，

所以/(%)恰有2个零点，故5错误；

对于C：函数g(%)与h(x)="的图象交点=方程x-(x-1)历%=履的根，

即为xYx-DlnXf的根,

X

人z>,x-(x-l)lnx/z>.1-x-lnx人(、7

令q(x)=-------------------,q(x)=9，令/(X)=1-x-Inx,

X

t'(x)=-1-—<0,所以在(0,+8)_b,t(x)单调递减，

x

又/(1)=0,所以在(0,1)上，/(x)>0,q'(x)>0,q(x)单调递增，

在(1,+8)上，t(x)<0,q'(x)<0,q(x)单调递减，q(x)max=q(1)=1,

所以当上<1时，q（x）有两个零点，

即函数g（x）与〃（无）=依的图象有两个交点，故C正确；

对于。：当Xi%2>0时，若X1>O,X2>0,f（X1）+f（%2）在（。，+8）上为减函数，

1―

/（XI）4/（%2）=lnxix2+（X1+X2）（xy-1）=0,因为尤1X2=1,满足题意，所以尤1X2

12

=1,

同理尤1<0,无2<。，也成立，故。正确；

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知命题）：BxGR,X-2X-3<0,则一'p：VxeR,x?-2x-3NO.

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p的否定命题「「即可.

解：根据特称命题的否定是全称命题知，

命题p：%2-2x-3<0,

它的否定命题为「p：VxeR,x-2x-320.

故答案为：VxeR,x-2x-320.

14.在长方体ABCD-AiBCQi中，/为4G与AS的交点，设筋=二AD=b'而

则向量菽亭+J（用7,b-荐示）.

【分析】由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解.

AB=a,AD=b>Ah[=c,

则证=q+AJJ=函4A[C；=丽-tj(AR；+A1D；)

=AAj(AB+AD)=ga+yb+c.

故答案为：-^-a+yb+c-

15.已知M为椭圆C：\-蚩=1上一点，Fi，B为椭圆C的焦点，则△加/上2的周长为

10.

【分析】求得椭圆的。，b,c,运用椭圆的定义，即可得到所求周长.

解：椭圆C：.+=1，可得4=3,c=q残2―匕2=2,

由椭圆的定义可得/1=2。=6,

又因尸2l=2c=4,

则LMFiF2的周长是眼碎+|四尸2田尸1尸2|=6+4=10.

故答案为：10.

16.已知函数/(x)—In(x+1)-ax,对任意的机E(0,1),ne(0,1),当机W〃时，

(n+1)则实数〃的取值范围是—［0,+OD)_.

m-n6

【分析】求出函数/(x)的导数，问题转化为-五蓑在(1,2)内恒成立，求出，

的范围即可.

铲.・・f(m+l)-f(n+1)—f(n+1)

牛m-n(m+l)-(n+l)'

对任意的me(0,1),«e(0,1),当mW”时，f'n+1-'<i,

m-n

即对任意的%+16(1,2),n+lG(1,2),当机+1W〃+1时，1'n+1''-<1,

(m+l)-(n+l)

故函数/(无)<1在(1,2)内恒成立，

由/(%)=ln(x+1)-ax,(x>-1),

得f'(x)=—L-2QXV1在(1,2)内恒成立，

x+1

问题转化为。石蓑在(1,2)内恒成立，

而>=-二■在(1,2)内单调递增，故yV-g,

2x+26

故-&

6

故答案为：［-［，KO).

6

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=¥+3%2-9%.

(1)求曲线/(尤)在点(1,-5)处的切线方程；

(2)求/(x)在区间[-1,2]上的最小值和最大值.

【分析】(1)求导，由导数的几何意义可求得切线斜率，从而可求得切线方程；

(2)利用导数求得函数的单调区间，从而可求得最值.

解：(1)f(x)=3X2+6X-9,

求得了(1)=。解得/(1)=-5,

曲线了(无)在点(1,-5)处的切线方程为y=-5.

(2)令f(x)=3x+6x-9=0,xe[-1,2],解得x=-3(舍)或x=l,

当xe(-1,1)时，f(x)<0,当xe(1,2)时，f(尤)>0,

所以/(x)在(-1,1)单调递减，在(1,2)单调递增，

/(-1)=-1+3+9=11,/(1)=-5,/(2)=23+3X22-9X2=2,

故了(无)niax—11'f(X)min-—5.

18.已知抛物线C：尤2=4y.

(1)若直线/：尤+y+4=0,求曲线C上的点到直线/距离的最小值；

(2)过点A(0,2)且倾斜角为45°的直线相交C于M,N两点，求|即.

【分析】(1)设与/平行的直线与抛物线相切于点M(尤°，加)，运用导数的几何意义

求得M点处切线的斜率，可得M的坐标，由点到直线的距离公式可得所求值；

(2)可得直线机的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得所求值.

解：(1)由题意可知，设与/平行的直线与抛物线相切于点M(沏，加)，

.._12./1

•y、x-••y和x，

,,k=^"Xg=-L即尤o=-2,

：.M(-2,1),

抛物线上的点到直线/的最小距离J2»4|=3*；

V22

(2)依题意得直线m方程为y=x+2,

y=x+2

联立直线方程与抛物线方程得，9,

lx2=4y

整理得8=0,

由韦达定理得％1+冗2=4,X\-X2=-8,

22=2

IMN|（l+k）[（X1+X2）-4X1X2]V2（4+32）=4^6-

19.某企业为了提高销售利润,从2016年至2020年每年都对生产环节的技术改造进行投资,

每年的投资金额彳（单位：万元）与年利润增长量y（单位：万元）的数据如表:

年份20162017201820192020

投资金额无（万元）4.05.06.07.08.0

年利润增长量y（万元）6.07.09.011.012.0

（1）记3=年利润增长量-投资金额，现从2016年至2020年这五年中抽出两年进行调

查分析，求所抽两年都是3>2万元的概率;

（2）如果2021年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，请用最小二乘法求出y

关于尤的回归直线方程，并估计该企业在2021年的年利润增长量.

nn

Y.（Xj-x）（y「y）zxiyi-nxy

i=l

参考公式：bi=l___________,—

n_

n__9a=y-bx

工（x「x）2〉,町-nx

i=li=l

55

参考数据：z=286,Xx-=190.

i=li=l

【分析】（1）2016年至2020年的O）分别记为：a）i=2,32=2,33=3,004—4,o）5=4,

利用枚举法写出抽取两年的基本事件，得到其中两年都是o）>2的基本事件数，再由随机

事件的概率公式求解;

（2）由已知数据求得b与在的值,可得线性回归方程,取、=1。求得y的值即可.

解：（1）2016年至2020年的3分别记为：必=2,a）2=2,o）3=3,34=%35=%

抽取两年的基本事件有：（31，0）2）,（必，（O3），（31，34），（31，35），（32,

（1）3），（32，（A）4），（<x）2，（1）5）,（33，（A）4），（33，35），（U）4，35），共10种,

其中两年都是3>2的基本事件有：（U）3，（04），（33，35），（Q,35），共3种,

故所求概率为「端■;

=

（2）x6,y=9,5xy=270»

5_

*ZXy--5xy

£1

.,_i=i_286-270-1A*_*_

-i-b，，

•5,_9_190-180a=y-bx=9-1.6X6=-0.e

2

£X2-5X

i=l

•・•回归直线方程为y=1.6x-0.6,

将尸1。代入上述方程得丫=15.4,

即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元.

20.如图，在四棱锥尸-ABC。中，AB//CD,AB=2DC=2代，ACHBD^F,且△尸4£）与4

均为正三角形，AE为△PAD的中线，点G在线段AE,且AG=2GE.

（1）求证：GP〃平面POC；

（2）若平面PA。，平面ABC。，求平面PA。与平面G8C所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）连结EC,证明G/〃EC,然后证明GP〃平面PDC.

（2）取的中点。，连结尸。，易知P,G,O三点共线且尸O_LA。，连结3。，易知

BO1AD,建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量平面GBC的法向量,

利用空间向量的数量积求解设二面角的平面角的余弦值即可.

【解答】（1）证明：连结EC,•.♦OC〃A8,.♦.迪•染=2....................

：ECu平面PDC,

：.GF//^PDC.........................

（2）解：取AD的中点。，连结尸。，易知P,G,。三点共线且尸

:平面尸4。_1平面48。。且4。为交线，2。_1平面48。，..........

连结B。，易知建立如图所示的空间直角坐标系，

易知平面PA。的法向量五=（0,1,0）,

易知G(0,0,1),O(0,3,0),cy,0).

GB=(0,3,-1)>GC=(-3^^，多-1)，

设面GBC的法向量另=(x,y,z),

f•一一.

n2-GB=3y-z=0厂

・•・,__3^/33,令y=2,则z=6,x=一年青

n2GC=-~~~x-^^y-z=03

・・・3二(-2/,2,6)........................................................

4o

Ini'n?|x/qc

设所求锐二面角的平面角大小为e,贝hose二一二笔

In1|向I31

所以平面尸4。与平面G8C所成锐二面角的余弦值为逗.…

22

21.已知椭圆C：三，^-l（a>b>0）的离心率为工3,4,4分别为椭圆左、右顶点,

a"b"2

Bi，为分别为椭圆上、下顶点，且四边形481%员的面积为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M（咯，0）的直线/与椭圆c相交于P,。（异于点A1，4）两点，证明：Atp

5

±Ai2，