高考数学复习 专题七 解析几何 7.2 圆锥曲线的标准方程与性质练习 理-人教版高三数学试题

7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验·对方向1.(2019北京·4)已知椭圆x2a2+y2b2A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b解析椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4答案B2.(2019全国Ⅱ·8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2A.2 B.3 C.4 D.8答案D解析∵y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±3p-p3.(2017北京·9)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=答案2解析由题意知a=1,b=m,m>0,c=a2+b2=1+m4.(2016北京·13)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点答案2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴ba=1,即a=b.又|OB|=22∴c=22.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.典题演练提能·刷高分1.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模拟)若双曲线x2a2-y2=1(a>0)的实轴长为2,则其渐近线方程为(A.y=±x B.y=±2xC.y=±12x D.y=±2答案A解析由双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.2.(2019江西新八校高三第二次联考)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B,A点坐标为(3,4).则|PA|+|PB|的最小值是()A.5 B.4 C.25 D.25-1答案D解析根据题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=22+42-1=25-3.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则A.43 B.1 C.45 D答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1面积为12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=124.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>A.x2-y24=1 B.x2-y2C.x2-y23=1 D.x2-y答案B解析由点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b∵点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.5.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2 B.234 C.161534 D答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×6.如图,椭圆x2a2+y24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则A.20 B.10 C.25 D.45答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2⊥x轴,所以Nc,4a,则H0,2a.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2a,代入椭圆方程得4c2a∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,∴c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,△F2MN的周长为4a=45.7.(2019北京昌平区高三年级第二次统一练习)已知双曲线C1:x2-y23=1,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,则抛物线C2的方程为答案x2=8y解析双曲线C1:x2-y23=1的渐近线方程为3x±y=0,抛物线的焦点坐标为0,p2,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,可得p21+3=1,解得p=4.故抛物线C2的方程为:x2=命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1 B.xC.x24+y23=答案B解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b).∴kAF过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.∴|F2P|=12又kAF∴|BP|=12b.∴点B3把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+2.(2018全国Ⅱ·5)双曲线x2a2-y2b2=1(A.y=±2x B.y=±3xC.y=±22x D.y=±3答案A解析∵e=ca=3,∴c2a∴ba=2.∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±bax,∴渐近线方程为3.(2018全国Ⅰ·11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32 B.3 C.23 D.答案B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.4.(2017全国Ⅲ·5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52A.x28-y210=C.x25-y24=答案B解析由题意得ba=52又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-5.(2019江苏·7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是答案y=±2x解析∵双曲线x2-y2b2=∴32-42b解得b2=2,即b=2或b=-2(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±2x.6.(2019全国Ⅲ·15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2答案(3,15)解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴x02解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).7.(2018全国Ⅲ·16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=.

答案2解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x⇒y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1m=典题演练提能·刷高分1.若F(c,0)是椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为A.c,±b2a B.-c,±b2aC.(0,±b) D.不存在答案C解析由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以M+m2=a,椭圆上与F点的距离等于2.(2019黑龙江大庆实验中学高三下学期二模)在平面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下顶点,M,N在椭圆上,若四边形OPMN为平行四边形,α为直线ON的倾斜角,若α∈A.0,63 B.0,32C.63,32 D.6答案A解析∵OP在y轴上,且平行四边形中,MNOP,∴M、N两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即M,N两点关于x轴对称,而MN=OP=a,可设Mx,-a2,Nx,a2,代入椭圆方程得|x|=32b,得N32b,a2.因为α为直线ON的倾斜角,tanα=a23因为α∈π6,π4,∴33<∴33<a3b≤1.∴1<ab∴13≤b2a2<1.而e=ca=1-b2a2.∴03.已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=34x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为(A.x216-y29=C.x264-y236=答案C解析∵双曲线的一条渐近线方程是y=34x∴ba∵|3c|32+∵c2=a2+b2,∴a2=64,b2=36,∴双曲线方程为x264-4.(2019四川宜宾高三第三次诊断性考试)已知双曲线x2a2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,以它的一个焦点为圆心,半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点,则四边形FA.3 B.4 C.5 D.6答案D解析因为双曲线x2a2-y23=1的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),双曲线的渐近线方程为y=±3ax,即其中一条渐近线方程为3x-ay=0.以它的一个焦点为圆心,半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点,根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a、b、c的关系,可得|3c|a2+3=a,c2=a2+3,所以解得a=3,c=5.如图F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的虚轴长为答案2解析设双曲线C2的半实轴长为a,半虚轴长为b,则|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=2×2=4,∵|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(24-1)2=12,∴42+(2a)22=12,∴a2=2,b2=c∴2b=2,即C2的虚轴长为2.命题角度3求椭圆、双曲线的离心率高考真题体验·对方向1.(2019天津·5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且A.2 B.3 C.2 D.5答案D解析由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x由y=-bax,∴AB=2b由|AB|=4|OF|得2ba=4,故baca2=a2+∴e=5,故选D.2.(2017全国Ⅱ·9)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2A.2 B.3 C.2 D.2答案A解析可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-3.(2019全国Ⅱ·11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点A.2 B.3 C.2 D.5解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=c2.∴Pc2,又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+即c22=a2,∴e2=c2a2=2,答案A4.(2019全国Ⅰ·16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若答案2解析如图,由F1A=AB,得又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由F1B·F2B=0,得F1则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.则ba=tan60°=3所以e=ca=1+典题演练提能·刷高分1.(2019甘肃兰州高考一诊)已知点F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q在射线F1P的延长线上,且|PQ|=|PF2A.35 B.13 C.45答案C解析因为|PQ|=|PF2|,|PQ|的最小值为1,最大值为9,∴|PF2|的最大值为a+c=9,最小值为a-c=1,∴a=5,c=4.∴椭圆的离心率为e=ca2.如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.12 B.33 C.22答案D解析椭圆的短轴长为圆柱的直径,椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形,且长轴与直径的夹角为30°.b=r,a=rsin30°=2∴c=4r2-r2=33.(2019广东揭阳高考二模)设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PFA.1013 B.58 C.35答案A解析由题意,因为△F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,∴|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,△PDF2是直角三角形,所以2a+c32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=ca=104.(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1,a>b>0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠A.22,1 B.0,22C.12,1 D.0,12答案D解析依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,∠PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则90°>(∠PF1F2)max≥60°.所以tan(∠PF1F2)max≥tan60°=3.即bc≥3,整理得b≥3c.又a2=b2+c2≥3c2+c2=4c2,即a2≥4c2,所以e=ca=c2a25.(2019福建龙岩高三5月月考)已知点F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,直线y=kx(k>0)与C相交于M,N两点(其中M在第一象限),若|MN|=2a2-b答案3-1解析设右焦点为F',连接MF',NF',由椭圆对称性知四边形FMF'N为平行四边形.又|MN|=2a2-b2=2c=FF',故FMF'N为矩形.|FM|≤3|FN|=3|F'M|,|FM|+|F'M|=2a,即2a-|F'M|≤3|F'M|,∴又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故0<e≤3-1.故答案为3-1.命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题高考真题体验·对方向1.(2013全国Ⅰ·10)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若A.x245+y236=C.x227+y218=答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,∴x①-②,得(x1即b2a2∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为x218+y22.(2014江西·15)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若答案2解析由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得x①-②,并整理得x1+x2a2(∵M是线段AB的中点,且过点M(1,1)的直线斜率为-12,∴x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2∴e=ca典题演练提能·刷高分1.已知双曲线E:x24-y22=1,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为12,-1A.4x+y-1=0 B.2x+y=0C.2x+8y+7=0 D.x+4y+3=0答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124-y∴x12-∴x1+x24-kl∴2×124-kl·-1×22=∴l:y-(-1)=-14x-12,整理得2x+8y+7=0.2.以双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1 B.y2-xC.y23-x2=1 D.x2-y答案B解析由题意设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),M(x1,y1),则y12a2-x12b2=1且y22a2-x22b2=1,则(y1+y2)(y1-y2)a2=(x13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3 B.2或4 C.