圆的标准方程导学案

2.4.1圆的标准方程

导学案

【学习目标】

1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点

2.会根据已知条件求圆的标准方程

3.能准确判断点与圆的位置关系

【自主学习】

知识点一圆的标准方程

(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心，定长称为

圆的半径.

(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示.

(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x—a)2+(y—6)2=户.

当。=%=0时，方程为/+>2=/，表示以原点。为圆心、半径为「的圆.

知识点二点与圆的位置关系

222

(x—a)+(^—h)=r(r>0),其圆心为C(a,h),半径为r,点、P(x0,泗)，设d=\PC\=

yl(xo—a)2+(y>o—b)2.

位置关系“与r的大小图不点P的坐标的特点

1

点在圆外d>r送kUo—a)2+(yo—力产二产

点在圆上d=ruUo-a)2+(yo—份之三/

点在圆内d<r(%-«)2+(70-*)2<^

1u0

2

【合作探究】

探究一直接法求圆的标准方程

【例1】(1)己知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,小)在圆C上，且圆心到直线2x

—y=0的距离为番，则圆C的方程为.

(2)与y轴相切，且圆心坐标为(-5,一3)的圆的标准方程为.

【答案】(1)。-2)2+丁=9(2)(x+5)2+(y+3)2=25

解析(1)设圆心C的坐标为(。,0)3>0),

由题意知唱=W，解得”=2,

则圆C的半径为r=|CM=#22+(币)2=3.

.•.圆的标准方程为(犬-^>+产=9

(2)：圆心坐标为(-5,-3),

又与y轴相切，

该圆的半径为5,

•••该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.

归纳总结：(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程

时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.

(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，

如“弦的中垂线必过圆心''”两条弦的中垂线的交点必为圆心''等.

【练习1】以两点4一3,-1)和8(5,5)为直径端点的圆的方程是()

A.(x+1)2+。+2)2=10

B.(X-1)2+(>-2)2=100

C.(x+l)2+(y+2)2=25

3

D.(犬一1)2+&-2)2=25

【答案】D

解析为直径，

，AB的中点(1,2)为圆心，

；忸8]=知(5+3>+(5+1)2=5为半径，

该圆的标准方程为。-1)2+()，-2)2=25.

探究二待定系数法求圆的标准方程

【例2】求经过点尸(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+l=0上的圆的方程.

解方法一(待定系数法)

设圆的标准方程为(X—4)2+0，一与2=匕

a2+h2=r2,

则有:(1-4+(1—与2=产,

.2a+3b+l=0,

a=4,

解得<b=-3,

J=5.

，圆的标准方程是(x-*4)2+(y+3)2=25.

方法二(直接法)

由题意知是圆的弦，其垂直平分线为x+y—1=0.

•.•弦的垂直平分线过圆心，

[2x+3y+l=0,

.­•由]

[x+y—I=0,

4

x=4,

即圆心坐标为(4,-3),

半径为/--\/42+(—3)2=5.

圆的标准方程是(x—4)2+6+3)2=25.

归纳总结：

【练习2】已知aABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(l,—2),C(-3,一4),求该三角

形的外接圆的方程.

解方法一设所求圆的标准方程为

(x-a)2+(y—b)2=r2,

因为4(0,5),8(1,-2),C(-3,-4)都在圆上，

所以它们的坐标都满足圆的标准方程，

(0—a)2+(5—Z?)2=r2,(a——3,

于是有《(1—。)2+(—2—匕)2=於，解得<方=1,

.(—3—a)2+(—4—/>)2=r2,J=5.

故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y—1>=25.

方法二因为二(0,5),8(1,-2),

所以线段AB中点的坐标为(；，1),直线A8的斜率为乂7,

221—0

31

-

因此线段AB的垂直平分线的方程是y2?即x-7y+10=0.

同理可得线段8c的垂直平分线的方程是2x+y+5=0.

fj-7y+10=0,

由c「，c得圆心坐标为(-3,1).

t2r+y+5=0,

5

又圆的半径长T（-3-0）2+（l—5）2=5,

故所求圆的标准方程是（x+3）2+（y—1）2=25.

探究三点与圆的位置关系

【例3】（1）点P（〃，5）与圆^+y2=24的位置关系是（）

A.点P在圆内

B.点P在圆外

C.点P在圆上

D.不确定

（2）己知点加（5班+1,g）在圆（彳-1）2+）2=26的内部，则“的取值范围是

【答案】(1)B(2)[0,1)

解析(1)由(，/)2+52=，/+25>24,

得点尸在圆外.

a20,

（2）由题意知,

(56+1-1/+(6)2<26,

即,解得OW〃vl.

26a<269

归纳总结：（1）判断点与圆的位置关系的方法

①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.

②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.

（2）灵活运用

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.

6

【练习3］已知点(1,1)在圆(x—a)2+(y+〃)2=4的外部，则«的取值范围是

【答案】(-8,-1)U(1,+8)

解析由题意知，(1—。)2+(1+")2>4,

2cr-2>0,

即a<—1或a>\.

探究四与圆有关的最值问题

【例4】已知实数x,y满足方程(x-2)2+V=3,求学勺最大值和最小值.

解原方程表示以点(2,0)为圆心，以小为半径的圆，

设;=鼠即y—kx.

当直线与圆相切时，斜率上取最大值和最小值，

此时讨=小’

解得

故:的最大值为小，最小值为--小.

归纳总结：与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

(1)形如〃=三形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(a,力的动直线斜率的最值问题.

⑵形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线

产一齐+;截距的最值问题.

(3)形如。一幻2+。一勿2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点3,勿的距离的平方的

7

最值问题.

【练习4】已知尤和y满足。+1)2+尸=小试求：

(DW+y2的最值；

(2)x+)，的最值.

解(1)由题意知，f+V表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原

点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.

原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离为4=1,

13

故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+U，

最小距离为1—

91

因此d+y2的最大值和最小值分别为

(2)令x+y=z并将其变形为y=—x+z,

问题转化为斜率为一1的直线在经过圆上的点时，在)，轴上的截距的最值.

当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，

此时有।出"LT，

解得z=¥-l,

因此x+y的最大值为堂-1,最小值为一堂一1.

8

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.圆(x+1)2+。-2)2=4的圆心与半径分别为()

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

【答案】A

2.已知一圆的圆心为点4(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和)，轴上，则圆的标准方程

为()

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.2)2+0+3)2=13

C.(x—2>+。+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

【答案】B

解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，

圆的半径为r=^/(2-0)2+(-3-0)2=VT3.

故所求圆的标准方程为

(x-2)2+Cy+3)2=13.

3.过点A(l,-1),仇一1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的标准方程是()

9

A.(X-3)2+CV+1)2=4B.(x+3)2+&-1)2=4

C.(X-1)2+(J-1)2=4D.(x+1)2+。+1尸=4

【答案】C

解析根据圆在直线x+y-2=0上可排除B、D,再把点8的坐标代入A,C选项中，可得

C正确.

4.点(54+1,12")在圆(x-l)2+V=l的内部，则实数a的取值范围是()

A.\a\<1B.

C.|〃|<士D.I〃|V七

【答案】D

解析依题意有(5a)2+144a2<],

所以16942V1,

所以/〈焉，即同〈上，故选D.

5.若圆心在x轴上，半径为小的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的

标准方程为()

A.Q—小F+y2=5B.(x+小/+y2=5

C.(x—5>+y2=5D.(X+5)2+/=5

【答案】D

解析设圆心坐标为3,0),

由题意知第=/，，|a|=5.

•.•圆C位于)，轴左侧，...a=-5,

，圆C的标准方程为(尤+5)2+,2=5.

6.若直线y=ar+。通过第一、二、四象限，则圆(x+a)2+(y+b)2=i的圆心位于()

10

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

解析(一。，一人)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0,b>0,即一〃>0,

一床0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限.

7.己知圆C与圆(龙-1)2+>2=1关于直线丫=一犬对称，则圆C的标准方程为()

A.(x+l)2+y2=iB./+丁=1

C.『+0+1)2=1D.1)2=1

【答案】C

解析由已知圆(r-1)2+/=1,得圆心Cl的坐标为(1,0),半径长n=1.

设圆心G(l,0)关于直线丫=一、对称的点的坐标为(a,h),即圆心C的坐标为(a,h),

所以圆C的标准方程为f+(y+l)2=l.

8.设P是圆。-3)2+°，+1)2=4上的动点，。是直线*=-3上的动点，则|PQ|的最小值为

()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

解析如图，圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为附。|=3—(-3)=6.又圆的半径

为2,故所求最短距离为6—2=4.

11

二、填空题

9.若圆C与圆M：。+2)2+。-1)2=1关于原点对称，则圆C的标准方程为.

【答案】(X—2)2+。+1)2=1

解析已知圆的圆心例的坐标为(-2,1),关于原点对称的点的坐标为(2,-1),...圆C的

标准方程为(x—2)2+。+1)2=1.

10.圆。的方程为(》-3)2+。-4)2=25,则点(2,3)到圆上的最大距离为.

【答案】5+观

解析点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆

心(3,4)的距离正加上半径长5,即为5+啦.

11.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=。和x轴都相切，则该圆的标

准方程是.

【答案】(x-2)2+(y-l)2=l

解析圆心在第一象限，而且与x轴相切，

二可设圆心坐标为3,1),

则圆心到直线4x-3y=0的距离为1,

即可=1,得。=2或。=一；(舍去)，

，该圆的标准方程是(X—2)2+。-1)2=1.

12.若实数x,y满足/+9=1,则旨的最小值是.

3

【答案】

12

解析二Y的几何意义是两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(X，y)在圆1上,

过点P(l,2)作圆的切线,

由图知以的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求.

.•.设P8的方程为y-2=Mx-l),得kx-y-k+2^0.

又和圆相切，

.LA-+2I3

得&弋.

•••冷的最小值是京

三、解答题

13.求过点4(1,2)和3(1,10)且与直线x—2y—1=0相切的圆的标准方程.

解设圆心坐标为3,b),

：AB的中点坐标为(1,6),

.'.AB的垂直平分线为y=6.

•.•圆心(a,与在A8的垂直平分线上，

:.b=6.

由题意得y(a-l)2+(6_2)2=；12T：^，

解得a=3或一7,

当”=3时，/=^(3-1)2+(6-2)2=275.

13

当。=-7时，r=q(-7-l)2+(6—2)2=4小.

，所求圆的标准方程为3)2+(y-6)2=20

或(*+7)2+&-6)2=80.

14.求下列圆的标准方程.

(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为45,6),C(3,-4)；

⑵过两点C(一1,1)和。(1,3),圆心在x轴上的圆.

解(1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，

圆心坐标为(4,1),半径为

依。N(5—3)2+(6+4)、r-

r22)yzo,

圆的标准方程为(X—4)2+0—1)2=26.

(2)由几何知识知，CO的垂直平分线经过圆心，

1

由宣尸二[])1.CD的中点坐标为(0,2),

；.CO的垂直平分线为)，=—x+2.

则圆心坐标为(2,0),r=N(~l.2)2+(1_。)2=回,

•••圆的标准方程为(x—2)2+〉2=10.

14

B组能力提升

一、选择题

1.在圆/+产一以+2)，=0内，过点M(1,O)的最短弦的弦长为()

A.小B.2小

C.小D.2^3

【答案】D

［圆f+y2—4x+2y=0,化简为：(x—2)2+(y+l)2=5,点M(1,O)在圆的内部，记圆心为0

点，则最短弦长是过点M和0M垂直的弦，根据垂径定理得到弦长为：2W-OM2

=2/三=2小.故【答案】为D.1

2.设尸是圆(x—3)2+(y+l)2=4上的动点，。是直线x=—3上的动点，则|PQ的最小值为

()

A.6B.4

C.3D.2

【答案】B

［圆的半径r=2.圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,...IPQI的最小值为6—「=6—2=4,

故选B.1

3.设尸(x,y)是圆C：(》-2)2+尸=1上任意一•点，则(》一5)2+。+4)2的最大值为()

A.6B.25

C.26D.36

【答案】D

解析(x—5)2+(y+4)2的几何意义是点尸(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方.

因为点尸在圆我—2)2+9=1上，且点。在圆外，

所以其最大值为(IQCI+1)2=36.

4.(多选题)下列各点中，不在圆(x—l)2+(y+2)2=25的外部的是()

15

A.(0⑵B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

［由(0—1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圆内;由(3—1)2+(3+2户>25知(3,3)在圆外；由(一2一

1)2+(2+2尸=25知(一2,2)在圆上，由(4-1产+(1+2)2<25知(4,1)在圆内，故选ACD.］

二、填空题

5.若实数x,y满足。+5)2+。-12)2=142,则d+y2的最小值是-

【答案】1

解析表示圆上的点门与(o,o)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可

知，最小值为14-^/52+122=1.

6.圆C：(》一3)2+。+4)2=1关于直线/：x-3y—5=0对称的圆的方程是.

【答案】伏一1)2+。-2)2=1

［由(x-3)2+U+4)2=l知圆心为c(3,-4),半径r=l.

设圆C关于直线/：x-3y-5=0对称的圆C的标准方程为(x—a)2+(y—切2=/2,

fb+4

a=\,

则〈a+3b~4解得，b=2,故所求圆的方程为(x-1>+()-2)2=1.］

3X-T7--5=0,

，=1，

4=1,

7.己知A,B两点是圆f+(y—l)2=4上的两点，若4,8关于直线》+—一3=0对称，则

a=；若点A,B关于点(1,2)对称，则直线AB的方程为.

【答案】3x+y-3=0

［圆f+Cr-l)2=4的圆心C的坐标为(0,1),若A,8关于直线x+qy—3=0对称，则直线经

过圆心(0,1),."=3.又若圆/十。-1)2=4上存在A,8两点关于点尸(1,2)中心对称，则

CP1AB,P为A8的中点，VjtCP=Y^=l,：.kAB=-\,直线A8的方程为y-2=-(x

-1),即x