高考文数一轮复习课件第九章平面解析几何第三节圆的方程

第三节圆的方程总纲目录教材研读1.圆的定义考点突破3.圆的标准方程4.圆的一般方程考点二与圆有关的最值问题考点一求圆的方程5.确定圆的方程的方法和步骤6.点与圆的位置关系考点三与圆有关的轨迹问题1.圆的定义在平面内,到①定点

的距离等于②定长

的点的③集合

叫做

圆.教材研读2.确定一个圆最基本的要素是④圆心

和⑤半径

.3.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥(a,b)

为圆心,⑦

r

为半径.x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧

D2+E2-4F>0

,其中圆心为

⑨

,半径r=⑩

.4.圆的一般方程5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0))(1)点在圆上:

(x0-a)2+(y0-b)2=r2

;(2)点在圆外:

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

;(3)点在圆内:

(x0-a)2+(y0-b)2<r2

.

1.(2015北京,2,5分)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是

()A.(x-1)2+(y-1)2=1

B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y-1)2=2答案

D由题意得圆的半径为

,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.D2.(2015北京海淀二模)圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心坐标和半径分别是

()A.(-2,1),

B.(2,1),

C.(-2,1),2

D.(2,-1),2答案

A圆C:x2+y2+4x-2y+3=0化为标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2,所以圆

心坐标为(-2,1),半径为

,故选A.A3.(2017北京石景山一模)以(-1,1)为圆心且与直线x-y=0相切的圆的方程

是

()A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y+1)2=4答案

A以(-1,1)为圆心且与直线x-y=0相切的圆的半径等于圆心到直

线的距离,即r=d=

=

.∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.故选A.A4.(2016北京石景山期末)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x

对称,则圆C的标准方程为

()A.(x-1)2+y2=1

B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1

D.(x+1)2+y2=1答案

C∵圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,∴圆心C的坐标为(0,1).又∵圆C的半径为1,∴圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.C5.(2016北京东城一模)以抛物线y2=4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆

的方程为

.答案(x-1)2+y2=1解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),故圆心为(1,0).又∵圆过(0,0),∴r= =1.∴圆的方程为(x-1)2+y2=1.(x-1)2+y2=1典例1(1)(2015课标Ⅱ,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于

M,N两点,则|MN|=

()A.2

B.8

C.4

D.10(2)(2017北京海淀一模)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为

()A.(x-1)2+y2=1

B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1考点一求圆的方程考点突破答案(1)C(2)C解析(1)设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=

=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,则P(1,-2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2

,则|MN|=|(-2+2

)-(-2-2

)|=4

.(2)设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r>0).∵直线y=2与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径r.∴r=1.故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方

程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据

已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.方法指导2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.1-1若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,

则该圆的标准方程是

()A.(x-2)2+(y-1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1

D.(x-3)2+(y-1)2=1答案

A由于圆C的半径为1,圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心

为(a,1)(a>0),又由圆与直线4x-3y=0相切可得

=1,解得a=2(舍负),故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.A1-2求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.解析∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线的方程为y=-

(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有

解得

∴C(2,1),r=|CA|= =

,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.典例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.考点二与圆有关的最值问题解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,

为半径的圆.(1)

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设

=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时

=

,解得k=±

.所以

的最大值为

,最小值为-

.(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵

截距b取得最大值或最小值,此时

=

,解得b=-2±

.所以y-x的最大值为-2+

,最小值为-2-

.(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识及题意知,

在x轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.

方法技巧1.与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO|

+r;(2)过圆内一点的弦最长的是圆的直径,最短的是以该点为中点的弦;(3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距

离为d+r,最小距离为d-r;(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.2.与圆上点(x,y)有关的最值(1)形如

形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用

三角代换求解;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方

的最值问题.2-1

(2015北京西城一模)设P,Q分别为直线x-y=0和圆x2+(y-6)2=2上的

点,则|PQ|的最小值为

()A.2

B.3

C.4

D.4答案

A由圆的方程x2+(y-6)2=2知圆心为(0,6),设圆心到直线x-y=0的

距离为d,则d=

=3

.而圆的半径r=

,所以|PQ|的最小值为d-r=3

-

=2

.故选A.A2-2已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求

的最大值和最小值.解析(1)由题意知,圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8,∴圆心C的坐标为

(2,7),半径r=2

.又|QC|= =4

>2

,∴|MQ|max=4

+2

=6

,|MQ|min=4

-2

=2

.(2)因为

表示直线MQ的斜率,所以设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)

,即kx-y+2k+3=0.由题意知直线MQ与圆C有交点,所以

≤2

,解得2-

≤k≤2+

,所以

的最大值为2+

,最小值为2-

.典例3已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上

的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.考点三与圆有关的轨迹问题解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+