第七节常见曲面的方程及图形

第七节 常见曲面的方程及图形EquationandGraphofSurface教学目的:了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像.课题:曲面及其方程;常见的曲面方程及其图形.教学重点:空间曲面的图形及其方程教学难点:常见空间曲线的图形及方程教学方法:精讲常见曲面的方程及图形教学内容: 一、曲面及其方程 空间任一曲面都可以看作点的集合.在空间直角坐标系中,如果曲面上的任一点的坐标满足三元方程,不在曲面上的点的坐标都不满足该方程,那么就称该方程是曲面的方程,而曲面是该方程的图形或轨迹. 【例1】 一平面垂直平分两点和间的线段,求该平面的方程. 解 显然所求平面是与及等距离的点的轨迹.在平面上任取一点,则有,而两边平方,化简,即得所求平面的方程 二、常见的曲面方程及其图形 1.球面方程 空间动点到一定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球面.定点叫做球心,常数叫做球的半径. 设球心在点,半径为,在球面上任取一点,有,即两边平方得(1)此方程即为所求的球面方程. 当(1)式中,即球心在原点,半径为时,(1)式可化为 【例2】 下列方程表示什么曲面?(1)(2)(3) 解 将方程左端配方 (1) ,表示以点为球心,半径的球面; (2) ,由于此方程只有唯一的一组解:,即它表示一点; (3) ,这时,空间任一点坐标都不满足方程,即没有几何图像,称之为虚球面. 2.母线平行于坐标轴的柱面方程 设方程中不含某一坐标,如不含竖坐标,即(2)它在坐标面上的图形是一条曲线,由于方程中不含,故在空间中一切与上的点有相同纵坐标的点均满足方程,也就是说,经过上的任一点而平行于轴的直线上的一切点的坐标均满足方程.反之,如果与曲线上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点的坐标必不满足方程(2).满足方程(2)的点的全体构成一曲面,它是由平行与轴的直线沿平面上的曲线移动而形成的,这种曲面叫做柱面.曲面叫做准线,形成柱面的直线叫做柱面的母线.因此方程(2)在空间的图像是母线平行于轴的柱面. 同样地,方程的图像是母线平行于轴的柱面;方程的图像是母线平行于轴的柱面. (1) 方程(3)表示柱面,它的准线为面上的椭圆,母线平行于轴,称之为椭圆抛物面. 在方程(3)中,当,即时,它表示圆柱面. (2) 方程表示准线为面上的双曲线,母线平行于轴的柱面,称之为双曲圆柱面. (3) 方程表示准线为面上的抛物线,母线平行于轴的柱面,称之为抛物柱面. 3.旋转曲面 旋转曲面是由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的.这条直线叫做该旋转曲面的旋转轴,这条平面曲线叫做旋转曲面的母线. 设在平面上的曲线的方程为,把曲线绕轴旋转一周,就得到一个以轴为轴的旋转曲面.它的方程可以这样求得: 设为曲线上任一点,则有,当曲线旋转时,点转到点,这时,点和到轴的距离相等,即 把代入得这就是所求的旋转曲面的方程. 同理,平面上的曲线绕轴旋转一周,所得旋转曲面方程为平面上的曲线绕轴旋转一周,所得旋转曲面方程为 方程是平面上的抛物线绕轴旋转一周而成的旋转曲面,称为旋转抛物面. 4.常见的二次曲面及其方程 (1) 椭球面 方程所表示的曲面叫做椭球面. (2) 单叶双曲面 方程所表示的曲面叫做单叶双曲面. (3) 双叶双曲面 方程所表示的曲面叫做双叶双曲面.特别的,所表示的曲面叫做圆锥面. (4) 抛物面 (a) 椭圆抛物面 方程所表示的曲面叫做椭圆抛物面. (b) 双曲抛物面 方程所表示的曲面叫做双曲抛物面,也叫马鞍面.课堂练习:指出下列各方程表示什么曲面.(1)(2)(