线性代数习题册(答案)

线性代数习题册(答案)x12x2x3x41

2．已知线性方程组2x22x36x42，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变

2x3x2x9

241

换化为阶梯形、行最简形。

210

3．已知A，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。

132

021

4．已知A213，利用矩阵的初等变换，求A1。

334

5117A1132

364

110

11，AX2XA，求X。

5．已知A0

101

练习二

班级学号姓名1.选择题：

1）Amn的行阶梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行为非零行，则R(A)为（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.

2）非零矩阵Amn（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（D）

Em

（A）

00000010

；（B）；（C）；（D）

0E00000mnmnmnmmn

3）方阵An的秩R(A)=n，则An必定不满足（D）（A）An可逆；（B）An与E等价；（C）R(A)n；（D）存在BO,使ABO

4）An为奇异矩阵，下列的错误的是（C）

T

（A）R(A)R(A)；（B）R(A)n；（C）A0；（D）An不与单位阵E等价

3102

2.已知矩阵A1121，求R(A)。

1344

R(A)=2

123k

3.设A12k3，问k为何值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？

k23

4.已知n阶方阵A，使A2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。

练习三

班级学号姓名1．选择题：

1）当（D）时，齐次线性方程组Amnx0一定有非零解。

（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1，1,2是Ax0的两个不同的解向量，k为任意常数，则AxO的通解为（C）

（A）k1；（B）k2；（C）k(12)；（D）k(12).2．填空题:

1）设4阶方阵A(1234)，且1234，则方程组Ax的一个解

向量为(1111)。

2）设方程组A(n1)nxb有解，则其增广矩阵的行列式Ab

x1x2a1xxa232

3）若有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件xxa334x4x1a4

a

i1

4

i

0

1x1112

4）已知方程组23a2x23无解，则a=-1。

1a2x03

11121112

23a2301a11a20

00(a3)(a1)a3x1x2x50

3．求齐次线性方程组x1x2x30的解。

xxx0345

4．解矩阵方程：

12310

X

23101

x1x2x31

5．取何值时，非齐次线性方程组x1x2x3（1）有唯一解；（2）无解；（3）有

2x1x2x3

无穷多解？并在有解时，求解。解：

112111

r1r3

A1111

112111

11r2r1

r3r1011

01122

213

112

r3r2

0112

0022132112

011(1)

200(2)(1)(1)(1)

112

（1）当2,1时，有唯一解；A011

2(1)001

2

x1(1)2(1)322

1001110222

x1(1)2(1)2

0100102

222

(1)2(1)2(1)2x3001001222

（2）当2时，无解；

1111

（3）当1时，有无穷多解。A0000，

0000

x1111

xc1c（其中c1,c2是任意实数）21200，x0103

自测题

1．选择题：

1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素aij的代数余子式Aij0，则方程组AxO的基础解系所含向量个数为（B）

（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.

x1x22x30

2）方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO，

xxx0

312

使得ABO，则（A）

（A）1，B0；（B）1，B0；（C）1，B0；（D）1，B0.3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AxO，BxO有相同的基础解系1,2,3，则以下方程组以1,2,3为基础解系的是（D）

（A）(AB)xO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）

A

xO.B

2．判断题:

1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（√）

Er

2）任一秩为r的矩阵A必与

O

T

O

等价（√）O

3）AxO与AAxO为同解方程组（√）4）方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解（√）3．设n阶方阵A的列向量为i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为

12,23,,n1n,n1，试问：当R(A)n时，BxO是否有非零解？

试证明你的结论。

4．若齐次线性方程组AmnxO的解均为齐次线性方程组BlnxO的解，试证明R(A)R(B)。

5．求方程组

x1x20x1x2x30

与的非零公共解。

x2x40x2x3x40

解：

11001100101010101r3r1r32r20A11100210r4r2001110111010r4r3

00

10

01

101r1r20

0012

0000

1

101

012

00000

1

0

101012

012

1x1

非零公共解为x2c1（c0,c是任意实数）2x3

x4

6．设非齐次线性方程组Amnxb的系数矩阵Amn的秩为r，1,2,,nr是Amnx0的一个基础解系，是Amnxb的一个解。证明：Amnxb的任一解可表示为

xk1(1)k2(2)knr(nr)knr1,(k1k2knr11)

7．设1,2,3,4,为四维列向量，A(1,2,3,4)，已知Ax的通解为

11111*****

xk1k2，其中，为对应的齐次方程组的基础解系，k1,k2为

2010111010

任意常数，令B(1,2,3)，试求By的通解。

第四章向量组的线性相关性

练习一

班级学号姓名

1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，试求向量32.解：3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6)2．已知向量组A:10,1,2,3,23,0,1,2,32,3,0,1,

T

T

T

B:12,1,1,2,20,2,1,1,34,4,1,3,证明B组能由A组线性表示，但A

组不能由B组线性表示。解：

TTT

01AB2341

031240

0*****

*****0

3220XX年

32

12

2057

161281

4

479

10

0041

161570

002051525

041350

0312

4

16157

04135

00000

0312

R(A)3R(AB)，所以B组能由A组线性表示。20

12BA

11

2110

00

1

1

403211

410303

0*****

3321012

1

1

0

31132412

11011

2

1

1

2

1

01

111010

000210

0021000

11101

00210

00000

R(B)2,R(BA)3，所以A组不能由B组线性表示。

3．设可由1,2,,m线性表示，但不能由1,2,,m1线性表示，证明：m可由

1,2,,m1,线性表示，而不能由1,2,,m1线性表示。

4．已知11,4,0,2,22,7,1,3,30,1,1,a,3,10,b,4，问：（1）a,b取何值时，不能由1,2,3线性表示？

（2）a,b取何值时，可由1,2,3线性表示？并写出此表达式。解：

T

T

T

T

14

A1,2,3,

0231203

71100112

011b11b

3a401a2

20

1

0

0031

1120

000b2

0a100

20

3

1120a10

00b2

20

（1）当a1,b2或a1,b2时，R(A)R(A)，不能由1,2,3线性表示。

10

（2）当a1,b2时，A

0031

1120

00a10

0000

20

001

102

010

000

R(A)R(A)3，可由1,2,3线性表示，12203

10

当a1,b2时，A

00

31

1120

0000

00002

1

112

，000

0000

2

R(A)R(A)2，可由1,2,3线性表示。

(12k)1(2k)2k3（kR）

练习二

班级学号姓名

1．判断向量组11,1,0,0,20,1,1,0,30,0,1,1,41,0,0,1的线性相关性。

T

T

T

T

2．讨论向量组11,1,0,21,3,1,35,3,t的线性相关性？即t取何值时，向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性相关？

T

T

T

3．已知向量组1,2,3线性无关，判断2132,233,123的线性相关性。

4．如果向量可以用向量组1,2,,r线性表示，试证表示方法是唯一的充要条件是

1,2,,r线性无关。

练习三

班级学号姓名

1．已知向量组11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7，求该向量组的秩。

2．求向量组11,1,2,4,20,3,1,2,33,0,7,14,41,2,2,0的秩和最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。

1

3

3．利用初等行变换求矩阵

24

324

142

的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量342

139

用最大无关组线性表示。

4．设A为n阶矩阵（n≥2），A为A的伴随矩阵，证明：

n,当R(A)n

R(A)1,当R(A)n1

0,当

R(A)n2

练习四

班级学号姓名

x1x23x4x50

x1x22x3x4x50

1．求齐次线性方程组的基础解系。

4x2x6x5xx0*****2x14x22x34x416x50

x13x23x32x4x532x6xx3x21234

2．求非齐次线性方程组的通解。

x13x22x3x4x513x19x24x35x4x55

3．已知1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的解，R(A)2，且

112201

12,23,31,求该方程组的通解。

012123

4．设是齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,,nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,1,2,,nr线行无关；（2）,1,2,,nr线行无关。

练习五

班级学号姓名1．试判定集合V(x1,x2,,xn)x1x2xn1,xiR是否构成向量空间？

2．求向量空间R4的基11,2,1,0,21,1,1,1,31,2,1,1,41,1,0,1

,20,1,2,到基12,1,0,12,3

坐标变换公式。

2,1,1,4,2

1,3,1,2的过渡矩阵和向量的

自测题

一、选择题：

1．设向量组（1）：1,：1,2等价，则（A）。2,3与向量组（2）（A）向量组（1）线性相关；（B）向量组（2）线性无关；（C）向量组（1）线性无关；（D）向量组（2）线性相关。2．设n维向量组1,2,,m线性无关，则（B）。

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；（D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。3．设三阶行列式Daij0，则（A）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合；（B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关；（D）D中每一行向量都线性相关。4．设A:1,2,,4是一组n维向量，且1,2,3线性相关，则（D）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。5．设不能由非零向量1,2,,s线性表示，则（D）。

（A）1,2,,s线性相关；（B）1,2,,s,线性相关；

（C）与某个i线性相关；（D）与任一i都线性无关。二、填空题：

1．设n维向量1,2,3线性相关，则向量组12,23,31的秩。2．向量组,,线性相关的充分必要条件为。

3．设