高中数学函数各类题

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1.(2009年高考江西卷改编)函数'13x+4的定义域为

[-X*2-3X+4>0,

解析：口八=^xG[-4,0)U(0,l]

一¥0,

答案：[—4,0)U(0,1]

2.(2010年绍兴第一次质检)如图，函数/(x)的图象是曲线段OAB,

其中点。，A,8的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则火点)

的值等于

解析：由图象知负3)=1,/(而j)=/(1)=2.答案：2

[r,xwi,

3.(2009年高考北京卷)已知函数加)=若负X)=2,则》=________.

[—X,X>1.

解析：依题意得时，3"=2,.*.x=log32;

当x>l时，~x=2,x=-2(舍去).故x=1og32.答案：k)g32

4.(2010年黄冈市高三质检)函数f｛I,啦｝一｛1,6｝满足/[/(!-)]>1

的这样的函数个数有个./\

解析：如图.答案：1；

5.(原创题)由等式*3+432+42工+。3=0+I)'+仇(x+1))+\\/b2(x+1)+

仇定义一个映射遂0,。2,6)=(仇，b2,①)，则/2,1，-1)=.

解析：由题意知x34*+2x2+x-1=(x+I)3+b\(x+I)2+Z>2(x+1)+bi，

令X=-1得：-1=①；

-]=]+仇+岳+仇

再令x=0与x=l得<

3=8+46+2岳+仇

解得h\=-1,b2=0.

答案：(-1,0,-1)

(.1

I+T

6.已知函数以)=jf+i(_]Wx或l),(1)求义1—i2)]｝的值；(2)求

、2x+3(x<—1).

3

—1);(3)若｛a)=g,求a

解：/(x)为分段函数，应分段求解.

(1)V1-^7=1-(V2+1)=-V2<-hAX-V2)=-2V2+3,

又••/-2)=-1,,/[/(-2)]=/-1)=2,.VV[/(-2)]｝=14=l-

213x

(2)若3x-1>1,即X>T,J(3x-1)=1+-----=----r;

73八73x-13x-1

3

若一lW3x-1^1,即fi3x-1)=(3x-I)2+1=9x2-6x+2;

若即xvO,1)=2(3%-l)+3=6x+1.

〃3x

3x—1

,心-D=<9f_6x+2(0«|),

<6x+1(x<0).

3

(3)=2，**•1或-IWaWl.

i3

当a>l时,有1+)=5，.*.(7=2;

当一iWaWl时，a2+1=1,：.a=±^.

；・。=2或土乎.

B组

1.(2010年广东江门质检)函数y=■Mg(2x-1)的定义域是

解析：由3x-2>0,2x-1>0,得x>|■.答案:{小>]}

—2r+l,(x<—1),

3

2.(2010年山东枣庄模拟)函数,危)=j—3,(―14W2),则加/以)+5))=_.

Jlx~1,(x>2),

解析：；-*卜2,.•城+5=-3+5=2,X2W2,/./2)=-3,

...火-3)=(-2)义(-3)+1=7.答案:7

3.定义在区间(一1,1)上的函数”x)满足“(X)一大-x)=lg(x+l),则<x)的解析式为.

解析：：对任意的xe(-1,1),有

由孙)一火-尤)=尼。+1),©

由加-x))=lg(-x+1),②

①X2+②消去<-x),得二x)=21g(x+l)+lg(-x+l),

=|lg(x+1)+|lg(l-x),(-1<X<1).

答案：>(x)=§lg(x+l)+；lg(l—x),(—1<X<1)

4.设函数y=/(x)满足/(x+l)=/(x)+1,则函数了=/(》)与夕=》图象交点的个数可能是

个.

解析：由於+1)=危)+1可得加)=10)+1,火2)=>0)+2,<3)=_/(0)+3,…本题中如

果40)=0，那么>=")和y=x有无数个交点；若火0)70,则y=")和y=x有零个交点.答

案：0或无数

2(x>0)

5.设函数.危)=2,人工，〈八、，若X—4)=/(0)，义-2)=—2,则义x)的解析式为

x-\-bx-\~c(xSO)

<x)=，关于X的方程/(x)=x的解的个数为个.

解析：由题意得

\6-4b+c=c6=4

=><

4-26+c=-2c=2

〃2(x>0)

^•AX)=I21.

导+以+2(xWO)

由数形结合得y(x)=x的解的个数有3个.

[2(x>0)

答案：1+4X+2(后0)3

6.设函数/(x)=log6Km>0,aWl),函数g(x)=—f+bx+c,若/(2+啦)一/(、n+1)=；,g(x)

的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a=,函数而(x)]的定义域为.

答案：2(-1,3)

x2—4x+6,xZO

7.(2009年高考天津卷改编)设函数危尸,,则不等式作)次1)的解集是

x+6,x<0

解析：由已知，函数先增后减再增，当x》0,7(x)刁(1)=3时，令./(x)=3,

解得x=1,x=3.故亦)刁(1)的解集为OWx<l或x>3.

当x<0,x+6=3时，x=-3,故y(x)次1)=3,解得-3<xv0或x>3.

综上，/(x)刁⑴的解集为{x|-34:<1或x>3}.答案：国一3々<1或x>3}

Flog2(4—x),xWO,

8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数{x)满足加)=〃~八则

/3)的值为.

解析：；/(3)=火2)-/1),又义2)=")-川)，.\/(3)=-胆)，•]0)=log24=2,..g)

=-2.答案：一2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分

钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y

之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x220),y与x之间

函数的函数关系是.

解析：设进水速度为卬升/分钟，出水速度为升/分钟，则由题意得

5al=20<7)=4

，得,则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又因为水放完

5al+15(a1-⑹=35。2=3

为止，所以时间为X〈苧，又知x》20,故解析式为y=-3x+95(20WxW竽).答案：y=—

3x+95(20WxW予

10.函数次》)=\/(1-/上2+3(]—4注+6

(1)若.危)的定义域为R,求实数a的取值范围；

(2)若./)的定义域为[—2,1],求实数。的值.

解:⑴①若1-J=0,即。=±1,

(i)若。=1时，/(x)=#,定义域为R,符合题意；

(ii)当〃=-]时，代x)=^6x+6,定义域为[-1,+8),不合题意.

22

②若1-/#(),贝g(x)=(1-a)x+3(\~a)x+6为二次函数.

由题意知g(x)与0对xdR恒成立，

1-a2>0,J_l<a<l,

•1△WO,••[(〃-1)(11〃+5)W0,

-.Wa<l.由①②可得-1WaWL

(2)由题意知,不等式(1-/*+3([-q)x+620的解集为[-2,1],显然1-办0且-2,1

是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根.

；工a=±2..'.a=2.

-2=_2,5

-yy或a>l

<A=[3(1-a)]2-24(l-a2)>0'

11.已知<x+2)=Xx)(xWR),并且当xG[-1,1]时，./)=-?+1,求当xG[2k~l,2k+l](kGZ)

时、/(x)的解析式.

解：由y(x+2)=；(x),可推知y(x)是以2为周期的周期函数.当XG[2/1-1,2北+1]时，2k

-14W2左+1,-lWx-28WL.\AX-2@=-(X-2A)2+1.

又7(x)="-2)=/x-4)=—=J(x-2k),

：.J(x)=-(x-2k)2+[,xe[2k-1,2*+1],kGZ.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了

包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的

总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工

6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，

设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为蛉)，其余工人加工完H

型装置所需时间为Mx).(单位：h,时间可不为整数)

(1)写出g(x),"(x)的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间;(x)的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g(x)=2；OO(0〈X<216,xeN*),h(x)=(0<x<216,x&N*).

mz1ox

「2000

(0〈xW86,xGN*).

⑵危尸1。。。(3)分别为86、130或87、129.

1216-x(87Wx<216,xGN*).

第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考福建卷改编)下列函数/(x)中，满足“对任意修，必6(0,+8),当不42时,

都有人为)如2)”的是.

①人劝=(②/(x)=(x-l)2③/(x)=e*④/(x)=ln(x+l)

解析：・.,对任意的Xl，X2^(0,+8),当

加］)次切，・・・府)在(0，+8)上为减函数.答案：①

2.函数加)(x£R)的图象如右图所示,则函数g(x)

川ogd)(0vav1)的单调减区间是.

解析：=lo&x为减函数，.•・log/£［0,

为减函数.

由答案：[6,1](或(也，1))

3.函数9="¥-4+,15-3%的值域是.

解析:令x=4+sin%,，£[0,争,y=sina+小cosa=2sin(a+j),1WyW2.

答案：[1,2]

4.一知函数人工)=同+备3《11)在区间［0,1］上单调递增，则实数。的取值范围.

解析：当a〈0,且e'+彩。时，只需满足e°+/N0即可，则-K<0;当。=0时,

y(x)=|e［=e*符合题意；当q>0时，/(x)=e'+氏，则满足，(x)=e*-在xC［0,l］上恒成

立.只需满足〃或(小端加成立即可，故综上

答案：一IWaWl

5.(原创题汝I果对于函数人刈定义域内任意的x,都有为常数)，称M为段)的下

界，下界M中的最大值叫做兀0的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是.

1(x>0)

颂x)=sinx；颤x)=lgx；(gy(x)=ev；颂x)=«0(x=0)

.-1(x<-l)

解析：；sinxN-1,.,.fix)=sinx的下确界为T,即/(x)=sinx是有下确界的函数；

=lgx的值域为(-8,+8),.•.人工)=1乎没有下确界；."决x)=e*的值域为(0,+°°),••Ax)

=e'的下确界为0,即/(x)=e1是有下确界的函数；

-1(xX)fl(x>0)

•.7(x)=<0(x=0)的下确界为-1".於)=<0(x=0)是有下确界的函数.答案：

,-1(%<-1)1-1(xvT)

①③④

6.已知函数/3)=/,g(x)=x—1.

(1)若存在XGR使兀0幼-g(x),求实数b的取值范围；

(2)设尸(x)=/(x)一机g(x)+l一机一机2,且|F(x)|在［0,1］上单调递增，求实数，〃的取值范围.

解：(1)3xeR,J(x)<b-g(x)x^R,x2-bx+b<0A=(-Z>)2-4b>0b<0或b>4.(2)F(x)

x2-mx+1-A=TH2-4(1-m2)=5w2-4,

①当AWO即-^邛^时，则必需

六。

-半WZ0.

.平Z不

②当△>()即〃7V-邛^或〃7>邛^时，设方程产(%)=0的根为X],X2(X1<X2)»若胃21,则

修W0.

—^1

2支

机22.

.F(0)=1-/n2^0

777

若,W0,则、24。，

m)，八

尹0-1Wm<-邛5.综上所述：-1WmWO或/w22.

.F(0)=1-w2^0

B组

1.(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(-8,0]的是.

®y—~^②y=一(x-1)®y=x2—2④y=-|x|

解析：由函数y=-团的图象可知其增区间为(-8,0].答案：④

2.若函数加)=10g2(x2—ax+3a)在区间[2,+8)上是增函数，则实数。的取值范围是

解析：令g(x)=x2-or+3。，由题知g(x)在[2,+8)上是增函数，且g(2)>0.

界2,

；・一4<aW4.答案：一4<aW4

、4-2。+3。>0,

3.若函数_Xx)=x+fm>0)在《，+8)上是单调增函数，则实数。的取值范围

Q39

解析：..7[x)=x+F(a>0)在(g,+8)上为增函数，0<«'大

答案：(0,

4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数;(X),对任意与，x2e[0,+°°)^^2),

有/2)一危|)<0,则下列结论正确的是

X2—X1

①A3)勺(一2)勺(1)②AD勺(―2)饮3)

③A—2)勺。)9(3)刨3)勺(1)供一2)

解析：由已知叁D二曲Zo,得寅X)在xd[0,+8)上单调递减，由偶函数性质得42)=

乃-X]

人-2)，即43)勺(-2)8).答案：①

\a(x<0),

5.(2010年陕西西安模拟)已知函数上)=L,一，、八满足对任意修。必，都有

[(。―3)%十4夕(工30)

曲二曲成立，则a的取值范围是

0<<2<1,

解析：由题意知，段)为减函数，所以<q-3<0,解得

3)X0+4a,

6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数｛x)的图象是如下图所示的折

线段048,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0),定义函数

g(x)=/(x>(x—1)，则函数g(x)的最大值为.

[2x(x7)(00<1)，

斛析：g(x)=\

[(-x+3)(x-1)(1WXW3),

当OWxvl时，最大值为0;当1WXW3时，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数/=危)的值域为[-2,0],则函数y

=*04)的值域是.

解析：；con&G[-1,1],函数y=Ax)的值域为[-2,0],.•.y=/(coS)的值域为[-2,0].答

案：[—2,0]

8.已知<x)=k)gM+2,xC[l,9],则函数产=[/€*2+/(，)的最大值是.

解析：：函数y=[Ax)/+兀$的定义域为

1WXW9,

2

1<X<9令logM=/,/^[0,l],

...y=(/+2)2+2f+2=(f+3)2-3,.•.当f=l时，如《=13.答案：13

9.若函数/(x)=log/2f+x)m>0,QWI)在区间(0,；)内恒有/(x)>0,则火x)的单调递增区间

为.

解析：4'//=2x~+x,当xG(0,3时，〃G(0』)，而此时乂x)>0恒成立，...Ovavl.

"=2(x+H，则减区间为(-8,而必然有2f+x>0,即x>0或xv-

的单调递增区间为(-8,-1).答案：(一8,一3

10.试讨论函数y=2(log^x)2—21og1x+l的单调性.

解：易知函数的定义域为(0,+°°).如果令〃=g(x)=10埼丫，y=XW)=2w2-2w+1,那

么原函数y=/［g（x）］是由g（x）与处/）复合而成的复合函数，而〃=Io/x在工£（0,+8）内是减

函数，y=2〃2-2〃+1=2（〃-；y+T在〃£（-8,3）上是减函数，在〃£（；,+8）上是增函

数.又〃即匕或只，得坐；得0＜A•〈坐由此，从下表讨论复合函数y=/［g（x）］

11.（2010年广西河池模拟）已知定义在区间（0,+8）上的函数加）满足姆）=＜修）一"2）,

x2

且当x＞l时,Xx）＜0.

（1）求7U）的值；（2）判断火x）的单调性；（3）若＜3）=-1,解不等式负团）＜一2.

解：⑴令xi=X2＞0,代入得/1）=火/）-90=0,故—）=0.

（2）任取X|,x2e（0,+8）,且为＞如则红＞1,由于当x＞l时，./（x）V0,

所以.婚）＜0,即於D-火X2）＜0,因此兀V|）q（X2），

所以函数次刈在区间（0,+8）上是单调递减函数.

（3）由心）=曲）一/2）得忌=心）"3），而43）=7,所以＜9）=-2.

由于函数外）在区间（0,+8）上是单调递减函数，

由义［x|）勺（9）,得|x|＞9,Ax＞9或-9.因此不等式的解集为{x\x＞9或x＜-9}.

Y~+QX+h

12.已知：-Oulogs1------x£（0,+°°）,是否存在实数。，b,使於）同时满足下列三

个条件：（1）在（0,1］上是减函数，（2）在［1,+8）上是增函数，（3m）的最小值是L若存在，求

出a、b\若不存在，说明理由.

］+q+6

解：;危）在。1］上是减函数，［1,+8）上是增函数，・・.工=1时，/）最小，iog3-j~-

=1.即。+b=2.

、〃~~cX」++bX2+ax2+h.仁、

设0＜的＜应＜1，则rtI《为）〉/（工2）,即一^-----!—-----=---恒成文.

X1%2

由此得在331〉。恒成立.

X\X2

又,.•修一工2＜0，工1必＞0,，.也一一＜0恒成立，

设1<工4，则Xx3)<义工4)恒成立.~_a<0恒成立.

VX3-x4<0,X3X4>0,/.X3X4>b恒成立..,・力〈1.由1且bW1可知b=1,.二。=1./.

存在4、by使/(X)同时满足三个条件.

第三节函数的性质

A组

1.设偶函数兀v)=log加一臼在(一8,0)上单调递增，则.火。+1)与寅6+2)的大小关系为

解析：由於)为偶函数，知6=0,...危)=log0|x|,又|x)在(-8,0)上单调递增，所以

0<a<l,l<a+1<2,则网在(0,+8)上单调递减，所以J(a+1)>/(/>+2).答案:/0+1)次6

+2)

2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数/(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，

则人1)十穴4)+负7)等于.

解析：/(x)为奇函数，且xGR,所以/(0)=0,由周期为2可知，/(4)=0,{7)=/(1),又

由於+2)=外)，令x=-1得式1)=火-1)=_火1)=/1)=0,所以<1)+{4)+<7)=0.答案：

0

3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数/(x)满足<x-4)=-/(x),且在区间［0,2］

上是增函数，则/(一25)、人11)、/(80)的大小关系为.

解析：因为人x)满足负x-4)=-兀c),所以./(X-8)=兀v),所以函数是以8为周期的周期

函数，则-25)=/-1).火80)=/(0),加1)=次3),又因为义x)在R上是奇函数，的)=0,

得人80)=/(0)=0,4-25)=")=-/I),而由"-4)=一危)得用1)”3)=-/-3)=-

"-4)=负1),又因为义x)在区间［0,2］上是增函数，所以述1)次0)=0,所以-人1)<0,即火-

25)勺(80)依11).

答案：X-25)<A80)<AH)

4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数./(x)在区间［0,+8)上单调增加，则满足/(2x—1)勺6)

的x取值范围是________.

解析：由于.火x)是偶函数，故{x)=Ak|),由川2x-l|)勺6)，再根据.次x)的单调性得|2x

-1|<|，解得U.答案:(|,|)

5.(原创题)已知定义在R上的函数义x)是偶函数，对xdR,<2+x)=/(2—x),当人-3)=一

2时，式2011)的值为.

解析：因为定义在R上的函数/(x)是偶函数，所以/(2+x)=/(2-x)=/(x-2),故函数/(x)

是以4为周期的函数，所以<201l)=/(3+502X4)=犬3)=/(-3)=-2.答案：一2

6.已知函数y=/(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=*x)(—1WxW1)是奇函

数，又知y=/(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值

-5.(1)证明：7(1)+/(4)=0;(2)求1=/)，乂€［1,4］的解析式；(3)求.=段)在［4,9］上的解析

式.

解：⑴证明:：危)是以5为周期的周期函数，.\/(4)="4-5)=1-1),

又••？=Ax)(TWxWl)是奇函数，.•决1)=4-1)=-负4),••坎1)+<4)=0.

(2)当xG［l,4］时，由题意可设外)=。@-2)2-5(&>0),由./(1)+44)=0,得.(1-2)2-5

+«(4-2)2-5=0,：.a=2,：.J(x)=2(x-2)2-5(1^x<4).

(3)；y=<x)(-IWxWl)是浮函数，.；即)=0,又知y=/(x)在［0,1］上是一次函数，...可设

/(x)=fcc(OWxWl),而./(I)=2(1-2y-5=-3,.,.k=-3».,.当OWxWl时，危)=-3x,从

而当-1Wx〈0时，./(x)=~x)=-3x,故-1WxW1时，fix)=-3x./.当4WxW6时，有

-1Wx-5W1,.,./(x)=./(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当6<xW9时，-5^4,J.J［x)=j(x

-5)=2［(x-5)-2］2-5=2(x-7)2-5.

-3x+15,4<x<6

，心)=

2(X-7)2-5,6<xW9

B组

1.(2009年高考全国卷I改编)函数7(x)的定义域为R,若<x+l)与左一1)都是奇函数，则

下列结论正确的是.

①Ax)是偶函数②Ax)是奇函数③/)=加+2)

④/(x+3)是奇函数

解析：,.,人》+1)与.危-1)都是奇函数，.*./-%+i)=-y(x+1),/(-X-1)=-fix-1),

...函数人x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数7(x)是周期7=2［1-(-1)］=4的周期函

数.：.A~x-1+4)=-j{x-1+4),y(-x+3)=-/x+3),即於+3)是奇函数.答案：④

3

2.已知定义在R上的函数人x)满足外)=一心+力且y(—2)=穴-1)=-1,<0)=2,3)

+X2)+-+A2009)+/2010)=________.

解析：外)=-加+齐如+3)=小)，即周期为3,由./(-2)=火-1)=-1"(0)=2,所

以-1,黄2)=-1,寅3)=2,所以,/(1)+/2)+-+/2009)+/2010)=>(2008)+/2009)

+<2010)=/(l)+_X2)+_A3)=0.答案:0

3.(2010年浙江台州模拟)已知<x)是定义在R上的奇函数，且<1)=1,若将<x)的图象向

右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则义1)+负2)+<3)+…+/(2010)=.

解析：/(x)是定义在R上的奇函数，所以<-x)=-4力，将人x)的图象向右平移一个单

位后，得到一个偶函数的图象，则满足/(-2+x)=-/x),即火x+2)=-y(x),所以周期为4,

XI)=1，/2)=/0)=0,火3)=-XI)=-1,,/(4)=0,所以XI)+丸2)+{3)+次4)=0,则见)

+火2)+次3)+…+义2010)=7(4)X502+人2)=0.答案:0

4.(2010年湖南郴州质检)已知函数人x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上有/(x)>0,若

人-1)=0,那么关于x的不等式x/(x)<0的解集是.

解析：在(0,+8)上有/(X)>O,则在(0,+8)上段)是增函数，在(-8,0)上是减函

数，又.危)在R上是偶函数，且,-1)=0,.\/(1)=0.从而可知XG(-8,-1)时，无幻>0;

xe(-1,0)时，/(x)<o；xe(o,l)时，/(x)<0;xe(l,+8)时，兀介>0:.不等式的解集为(-8,

-1)口(0』)答案：(-8,-l)U(0,l).

5.(2009年高考江西卷改编)已知函数外)是(-8,+8)上的偶函数，若对于x》o,都有企

+2)=/(x),且当xd［0,2)时，段)=log2(x+l),则./(一2009)+/(2010)的值为.

解析：：於)是偶函数，.\/(-2009)=欣09).••先)在Q0时段+2)=加)，,危)周期

为2.：.A-2009)+X2010)=A2009)+/(2010)=/1)+/(0)=log22+log2l=0+1=1.答案：1

6.(2010年江苏苏州模拟)己知函数段)是偶函数，并且对于定义域内任意的x,满足人x+2)

=一看，若当2口<3时，y(x)=x,则义2009.5)=.

由於+2)=一点,

解析:可得fix+4)=y(x),X2009.5)=./(502X4+1.5)=/(1.5)=J[-

2.5)；%)是偶函数，.\;(2009.5)=_/(2.5)=|.答案：|

7.(2010年安徽黄山质检淀义在R上的函数加)在(一8,可上是增函数，函［数y=/(x+a)

是偶函数，当x2>a9且防一〃|<|必一。|时，则/(2。一修)与火必)的大小关系为.

解析：=/(x+。)为偶函数，+o)的图象关于y轴对称，'.y=於)的图象关于

X=Q对称.又・./x)在(-8,上是增函数，.\/(%)在口，+8)上是减函数.当修<7,X2>a,

且,］一41Vh2一夕|时，有a-x\<x2-a,即o<2a-为<%2，・\/(2Q-a)次必)・答案：人24一修)况型)

8.已知函数兀r)为R上的奇函数,当入20时,./)=%(工+1).若犬〃)=一2,则实数a=.

解析：当x20时，J(x)=x(x+1)>0,由/(x)为奇函数知x<0时，/(x)<0,・・・〃<0,j{-d)

=2,/.-a(~a+1)=2,工。=2(舍)或a=-1.答案：一1

9.(2009年高考山东卷)已知定义在R上.的奇函数/(X)满足兀v—4)=一人工)，且在区间［0,2］上

是增函数.若方程/(工)=〃2(相>0)在区间［—8,8］上者四个不同的根为，如均，M，则为+必

+闷+M.

解析：因为定义在R上的奇函数,满足於-4)=-“T),所以7(4-x)=/(x),因此，函

数图象关于直线x=2对称且/(0)=0.由於-4)=-/(x)知-8)=/)，所以函数是以8为周

期的周期函数.又因为人刈在区间［0,2］上是增函数；所以./(X)在区间［-2,0］上也是增函数，

如图所示，那么方程")=皿〃7＞0)在区间［-8,8］上有四个不同的根治，如孙x4,不妨设

X］＜必＜工3＜必.由对称性知X］+X2=-12,X3+必=4,所以为+必+工3+工4=-12+4=-8.答

案:-8

y\

0\2

10.已知<x)是R上的奇函数，且当xd(-8,0)时，y(x)=-;dg(2—X),求人x)的解析式.

解：•<Ax)是奇函数，可得负0)=-负0),.\A0)=0.当x>0时，-XV0,由已知<-x)=xlg(2

+x),-fix)=xlg(2+x),即7(x)=-xlg(2+x)(x>0).

f-xlg(2-x)(x<0),

•W)=­、/>n、即段)=-xlg(2+|x|)(xWR).

[-xlg(2+x)(x20).

11.已知函数逐x),当x,yGR时，恒有兀c+y)=Ax)+/e).⑴求证：")是奇函数；(2)如

果xGR+,/)<0,并且大1)=一去试求大x)在区间[-2,6]上的最值.

解：(1)证明：函数定义域为R,其定义域关于原点对称.

•••加+力=危)+方)，令•-，••.即户刎+人一分令-=0，♦•./())=加)+购,

得,火0)=0.+<一x)=0,得<~x)=-火x),，/)为奇函数.

(2)法一：设x,eR1,\,/(x+y)=y(x)+_/(y),：.J[x+y)-,/(x)=fiy\

Vx^R+,+y)一次工)<0，/./x+*/x+y>x,在(0,+8)上是

减函数.又；危)为奇函数，<0)=0,・；危)在(-8,+8)上是减函数.・・・/(-2)为最大值，

人6)为最小值.；/(1)=1，•••./(-2)=-,/(2)=-2Al)=h./(6)=2/(3)=2[/(1)+/(2)]=-3.A

所求兀r)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.

法二：设为<必，且片,—GR.则/2-为)=02+(-Xj)]=fix-2)+_X_彳1)=/2)-次Xi).；X2

一片>0,；.儿'2-乃)〈0:.小2)-/5)〈0.即加)在区上单调递减..\/(-2)为最大值，./(6)为最

小值...W)=-1,.*./-2)=-X2)=-2/(l)=l，X6)=2/(3)=2[Al)+X2)]=-3....所求外)

在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.

12.已知函数段)的定义域为R,且满足/(x+2)=—/(x).

(1)求证：孔0是周期函数；

(2)若兀r)为奇函数，且当OWxWl时，<x)=；x,求使大灯=一；在[0,2010]上的所有x的

个数.

解：⑴证明："：fix+2)=-fix),：.fix+4)=-fix+2)=-[-fix)]=fix),

.,•/(x)是以4为周期的周期函数.

(2)当OWxWl时，4)=%,

设-IWxWO,贝”OW-xWl,/./(-x)=^(-x)=..,贝力是奇函数，.-/(x),

，二危)=-5，即,G)=$.故=IWxWl)

又设l<x<3,贝，1-1<x-2<1,：.fix-2)=|(x-2),

又二/-2)=-/2~x)=-./[(-x)+2]=-[一｛-x)]=-fix),：.-fix)=1(x-2),

(-1

=-1(x-2)(1<x<3).Z./x)=5

[-*-2)(1*3)

由於)=-;，解得x=-1.二危)是以4为周期的周期函数.故/(x)=-g的所有x=4"-

13

l(wEZ).令0W4〃-1W2010,则4W〃>502不又,.Z£Z,・・・1W〃W5O2(〃£Z),・••在[0,2010]

上共有502个x使儿:)=一

第三章指数函数和对数函数

第一节指数函数

A组

1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若心1,X0,且/+，〃=2吸，则J—的值等于_______.

解析：h<0,.,.0<ah<\,ab>\.^V(?+a-6)2=a24+a'2b+2=8,：.a2h+a'2b-

6,(a*_a^)2=a2h+a'"-2=4,a-ah=-2.答案：一2

2.已知7(x)=/+b的图象如图所示，则<3)=.

解析：由图象知/(0)=1+6=-2,；.6=-3.又/(2)=a2-3

=0,：.a=y[3,则式3)=(卜)3-3=36-3.

答案：3s—3

3.函数y=(；产i的值域是.

解析：：2X-X2=-(X-1)2+1W1,

•,•铲一:当答案：百+8)

4.(2009年高考山东卷)若函数/W="-x-a(a>0,且。灯)有两个零点，则实数a的取值

范围是.

解析：函数,/(x)的零点的个数就是函数y="与函数y=x+a交点的个数，由函数的图

象可知々>1时两函数图象有两个交点，Ovavl时两函数图象有惟一交点，故a>l.答案：(1,

5.(原创题)若函数加)=4」ig>0,a#1)的定义域和值域都是[0,2],则实数。等于.

,051a>\

解析：由题意知</-1=0无解或<J-1=00a=木.答案：小

I。0-11=2r-1=2

6.已知定义域为R的函数小)=广不^是奇函数.(1)求a,6的值；

(2)若对任意的/GR,不等式次/-2。+<2/一与<0恒成立，求上的取值范围.

一]+6

解：(1)因为兀0是R上的奇函数，所以/(0)=0,即,21J=O,解得6=1.

-2v+1-2+12

从而有Xx)=+".又由/(D=-人-1)知4+"=-］+〃，解得。=2.

，CtI0<1C/

—2"+111

(2)法一：由⑴知./)=尹.112=-5+方1，

由上式易知火0在R上为减函数，又因/(X)是奇函数，从而不等式加2-2。+/2产-4)<0

叼广-2/)<-Jilt2-^)=/-2?+k).

因/x)是R上的减函数，由上式推得--2/>-2/+k.

即对一切/6R有3/-2LQ0,从而A=4+12A<0,解得

-2V+1-2^-2,+1-?2,2-*+1

法二：由(1)知<X)=2'T+2,又由题设条件得2J_2小+2++六°

即022-E+2)(_2'。2，+D+QJHI+2)(-22,2'i+1)<0

整理得23人"-*>1,因底数2>1,故3』-2L%>0

上式对一切/《R均成立，从而判别式A=4+12%<0,解得％<-去

B组

1.如果函数—)=d+6—1(。>0且aWl)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

那么一定有.

①0<。<1且6>0②0<。<1且O<Z><1③。>1且b<0④a>l且6>0

解析：当09/<1时，把指数函数.危)="的图象向下平移，观察可知-lv6-1<0,即

O〈X1.答案：②

2.(2010年保定模拟)若/(幻=-?+2方与g(x)=(a+『r在区间［1,2］上都是减函数，则a

的取值范围是.

解析：7(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a1,所以人工)在⑷+8)上为减函数，又«v),g(x)

(aW1

都在［1,2］上为减函数，所以需00。力.答案：(0,1］

［a+1>1

3.已知40,