第三章 函数的概念与性质 尖子生培优卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．设单调递增函数满足：对任意，均有，则（）A． B．C． D．2．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．3．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）A． B．1 C． D．25．已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（）A． B．C． D．6．已知是偶函数，对任意，，且，都有，且，则的解集是（）A． B．C． D．7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：，，）A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟8．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．我们把定义域为[0，+∞）且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立，下列判断正确的是（）A．若f（x）为“Ω函数”，则f（0）=0不一定成立B．若f（x）为“Ω函数”，则f（x）在[0，+∞）上不一定是增函数C．函数，在（0，+∞）上是“Ω函数”D．函数g（x）=x2+x在[0，+∞）上是“Ω函数”10．已知函数f（x）＝ln（＋x）＋x5＋3，函数g（x）满足g（－x）＋g（x）＝6．则（）A．f（lg3）＋f（lg）＝6B．函数g（x）的图象关于点（3，0）对称C．若实数a，b满足f（a）＋f（b）>6，则a＋b>0D．若函数f（x）与g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＝611．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（）A．若为的“跟随区间”，则B．函数存在“跟随区间”C．若函数存在“跟随区间”，则D．二次函数存在“3倍跟随区间”12．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（）A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是______.14．已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.15．已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是__________．16．定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．1.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．（1）判断函数是否为P函数，并说明理由；（2）是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．18．已知．（1）当时，求的值域；（2）对任意和任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．19．定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”.（1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数的值；（2）若，，且存在函数和函数的“均值函数”，求实数的取值范围；（3）若，，是和的“均值函数”，求的值域.20．已知（1）若在区间恒成立，求的取值范围；（2）当时，是否存在点，使得的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由；21．已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问：（1）当，时，验证是否为一对“太极函救”；（2）若为一对“太极函数”，求的值；（3）已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）．22．已知幂函数，满足.（1）求函数的解析式.（2）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1．C【解析】因为，故或，所以或，证明一个引理：如果存在，使得，则任意，总有.用反证法证明如下：假设存在，有，由可得，对任意的，则有，而或，故，又或，若，则即，与矛盾；故任意的，总有.因为，故存在非负整数，使得.由前述证明可知：同理有：任意的，总有；任意的，总有；任意的，总有；这样矛盾，故引理得证.又或，若，由引理可得当时，，此时，此时排除BD.若，此时，此时排除A.因为或，此时总有，故选：C.2．B【解析】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3．C【解析】由题意得在，上单调递减，因为函数的值域为，，所以，，，，，，，，，结合可得：，，，．故选：．4．C【解析】由题意，在和上均是增函数，而函数在“黄金区间”上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，又，所以，则当时，有最大值.5．A【解析】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，当时，取，成立，即得，当时，在上有解，必有，解得，则有，综上得，所以满足条件的实数构成的集合为.故选：A6．A【解析】因为是偶函数，所以的图像关于x=1对称，而，则，又因为任意，，且，都有，所以在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增.所以的解集是.故选：A.7．C【解析】根据题意，，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C8．C【解析】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以将代入得：联立解得：，等价于，即：，令，则在单增①当时，函数的对称轴为，所以在单增②当时，函数的对称轴为，若在单增，则，得：③当时，单增，满足题意综上可得：故选：C9．BD【解析】解：对于A：对任意的，，总有，，又，，则有成立，，，，故A错误；对于B：若，满足对任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥0；）若x≥0，y≥0，则有f（x+y）≥f（x）+f（y）成立，所以是函数，但不是增函数，故B正确；对于C：因为满足条件（1），如果、，则，，；如果、，设、，则，，，不满足条件（2），不是函数，故C错误；对于D：因为函数g（x）=x2+x在[0，+∞）上有，满足条件（1），，满足条件（2），是函数，故D正确．故选：BD．10．AC【解析】解：令，则为奇函数，且在上单调递增，对A：因为，所以，所以选项A正确；对B：因为函数满足，则的图象关于点对称，所以选项B错误；对C：因为，所以，又函数为奇函数且在上单调递增，所以，即，所以选项C正确；对D：若函数与图象的交点为，，,因为为奇函数，所以函数图象关于点对称，所以函数图象关于点对称，又的图象关于点对称，所以函数f（x）与g（x）图象的交点关于点对称，所以，所以选项D错误；故选：AC.11．ABD【解析】对A，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故．故A正确；对B，因为函数在区间与上均为减函数，故若存在跟随区间则有，解得：．故存在，B正确．对C，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，，即，因为，所以．易得．所以，令代入化简可得，同理也满足，即在区间上有两根不相等的实数根．故，解得，故C不正确．对D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为．当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或．故存在定义域，使得值域为．故D正确．故选：ABD．12．AD【解析】任取，，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD13．【解析】解：不等式对一切恒成立将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：对一切恒成立令即对一切恒成立等价于即解得：或所以实数x的取值范围是：14．【解析】因为，令，则所以，故所以，令，，，都有等价于，有当，即时与在上单调递减，故，所以，解得：结合得：当，即时在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，所以，化简：，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合求得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合得：当时与在上单调递增，故，所以，解得结合得：综上所述：故答案为：15．【解析】因为，时，都有成立，所以，当，则，所以，此时，当时，最大值必为与中较大者，当时，最大值为因为，所以，而当时，，所以所以只需，解得，而，故当时，，所以，此时，当或时，，所以只需，解得，由，故当时，，所以，此时，函数在上递减，当时，，所以只需，解得，又，故无解.综上，故答案为：16．【解析】由题设知，当时，，故，同理：在上，，∴当时，.函数的图象，如下图示.在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.17．（1）不是P函数，理由见解析（2）存在，a=118．（1）的值域为；（2）实数a的取值范围为.19．（1）（2）（3）20．（1）（2）存在，解：时，，若存在对称中心，则为奇函数，，因为奇函数，则，所以存在点为21．（1）不是一对“太极函救”（2）（3）时，，时，．22．（1）（2）存在