2022年广东省茂名市第四高级中学高一数学文期末试卷含解析

2022年广东省茂名市第四高级中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，,则的形状是

（

）A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

参考答案：B略2.如果角的终边过点，则的一个可能的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D3.化简的结果等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B

4.将函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：画出图象，把轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形5.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是，且当时f（x）＝sinx，则f（）的值为（）

A.B.C.D.参考答案：解析：由已知得应选D.

6.设函数则A.在区间上是增函数

B.在区间上是减函数

C.在区间上是增函数

D.在区间上是减函数参考答案：A7.以直线x±2y=0为渐近线，且截直线x﹣y﹣3=0所得弦长为的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．y2﹣=1 D．﹣y2=1参考答案：D【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】设双曲线方程为x2﹣4y2=λ，联立方程组，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，由椭圆弦长公式求出λ=4，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线以直线x±2y=0为渐近线，∴设双曲线方程为x2﹣4y2=λ，联立方程组，消去y，得3x2﹣24x+（36+λ）=0，设直线被双曲线截得的弦为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=242﹣432﹣12λ＞0，∴|AB|=?==，解得λ=4，∴所求双曲线方程是．故选：D．8.已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），则a6等于（）A．16 B．8 C．2

D．4参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故选D．9.已知两直线l1：x+mx+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+2m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．4 B．0或4 C．﹣1或 D．参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：①当m=0时，两条直线分别化为：x+4=0，﹣x=0，此时两条直线相互平行，因此m=0．②当m≠0时，两条直线分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣，由于两条直线相互平行可得：=﹣，，解得m=4．综上可得：m=0或4．故选：B．10.在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则=

.参考答案：412.在实数R中定义一种新运算：@，对实数a，b经过运算a@b后是一个确定的唯一的实数．@运算有如下性质：（1）对任意实数a，a@0=a；（2）对任意实数a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：关于函数f（x）=ex@的性质下列说法正确的是：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）是偶函数；③函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，这三种说法正确的有．参考答案：①②③【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意写出函数f（x）的解析式，再分析题目中的3个命题是否正确．【解答】解：由题意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a，所以a@b=ab+a+b；所以f（x）=（ex）@=ex?+ex+=1+ex+，对于②，f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=1+e﹣x+=1++ex=f（x），∴f（x）为偶函数，②正确；对于③，f′（x）=ex﹣e﹣x，令f′（x）≤0，则x≤0，即f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），③正确；对于①，由②③得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f（x）最小值=f（0）=3，①正确；综上，正确的命题是①②③．故答案为：①②③．13.已知集合M{4,7,8},则这样的集合M共有

参考答案：7个略14.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．参考答案：215.已知tanα=2，则=．参考答案：【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα=2，则====，故答案为：．16.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．参考答案：64【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．17.已知幂函数的图象过点，则

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为，已知，.⑴求的值；⑵求数列的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有.参考答案：⑴；⑵；⑶当时，；当时，；当时，，此时=19.已知圆O：x2+y2=4，圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P（1，），求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．【分析】（1）先确定直线AP的方程为，求得F（2，），确定直线AE的方程为y=（x+2），求得C（2，），由此可得圆的方程；（2）设P（x0，y0），则E（x0，），求得直线AE的方程，进而可确定直线PC的斜率，由此即可证得直线PC与圆O相切．【解答】（1）证明：由P（1，），A（﹣2，0）∴直线AP的方程为．令x=2，得F（2，）．由E（1，），A（﹣2，0），则直线AE的方程为y=（x+2），令x=2，得C（2，）．∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心，半径等于．∴圆的方程为，且P在圆上；（2）证明：设P（x0，y0），则E（x0，），则直线AE的方程为在此方程中令x=2，得C（2，）直线PC的斜率为=﹣=﹣若x0=0，则此时PC与y轴垂直，即PC⊥OP；

若x0≠0，则此时直线OP的斜率为，∵×（﹣）=﹣1∴PC⊥OP∴直线PC与圆O相切．20.（本题满分12分）已知，，，求点的坐标，使四边形为直角梯形．参考答案：或

略21.已知为第三象限角，．（１）化简；

（２）若，求的值.参考答案：略22.（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．参考答案：考点： 点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题： 综合题．分析： （I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD．（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故=，由AO=1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．解答： （I）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵AO⊥BD，BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．（II）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE