浙江省杭州市高中附属启正中学高一数学文期末试题含解析

浙江省杭州市高中附属启正中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果变量满足条件上，则的最大值（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知是第二象限角,,则A． B． C． D．参考答案：A略3.算法：此算法的功能是(

)A．输出a，b，c中的最大值 B．输出a，b，c中的最小值C．将a，b，c由小到大排序 D．将a，b，c由大到小排序参考答案：略4.函数f（x）=ax2+2（a﹣3）x+18在区间（﹣3，+∞）上递减，则实数α的取值范围是(

)A． B． C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】当a=0时，确定出f（x）解析式，满足题意；当a≠0时，利用二次函数性质求出a的范围，综上，得到实数a的取值范围即可．【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣6x+18，满足在区间（﹣3，+∞）上递减；当a≠0时，函数f（x）=ax2+2（a﹣3）x+18的图象的对称轴方程为x=，且函数在区间（﹣3，+∞）上递减，∴a＜0，且≤﹣3，解得：﹣≤a＜0．则实数a的取值范围是[﹣，0]，故选：A．【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．5.用更相减损术法，计算56和264的最大公约数时，需要做的减法次数是（）A．5、 B．6 C．7 D．8参考答案：D【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用更相减损术法即可得出．【解答】解：用更相减损术法：264﹣56=208，208﹣56=152，152﹣56=96，96﹣56=40，56﹣40=16，40﹣16=24，24﹣16=8，16﹣8=8．因此用更相减损术法，计算56和264的最大公约数时，需要做的减法次数是8．故选：D．【点评】本题考查了更相减损术法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数的值域是（

）

A.

B.2

C.

D.4参考答案：C略7.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(

)．A．简单随机抽样

B．系统抽样C．分层抽样

D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样参考答案：D略8.若右面的程序框图输出的是，则①应为

参考答案：9.．已知m，n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题中不正确的是（

）A．若

B．若C．若

D．若参考答案：A10.在等差数列{an}中，已知，，那么A．15

B．16

C．17

D．18参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为____.参考答案：【分析】可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得AB＝2CD＝4，还可得AB，解方程可得ω的值．【详解】解：由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和﹣1，可得CD＝1﹣（﹣1）＝2故AB的长度为2CD＝4，又AB为函数的一个周期的长度，故可得2，解之可得ω故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的参数的意义，得出AB的两种表示方法是解决问题的关键，属中档题．12.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，，给出下列结论：①；②直线平面；③平面平面；④异面直线PD与BC所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）参考答案：①③④⑤【分析】设出几何体的边长，根据正六边形的性质，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，异面直线所成角，线面角有关知识，对五个结论逐一分析，由此得出正确结论的序号.【详解】设正六边形长为1，则.根据正六边形的几何性质可知，由平面得，所以平面，所以，故①正确.由于，而，所以直线平面不正确，故②错误.易证得,所以平面，所以平面平面，故③正确.由于,所以是异面直线与所成角，在中，，故，也即异面直线与所成角为，故④正确.连接，则，由①证明过程可知平面，所以平面，所以是所求线面角，在三角形中，，由余弦定理得，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.【点睛】本小题主要考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，考查线线角、线面角的求法，属于中档题.13.关于的不等式（）的解集为

．

参考答案：略14.已知函数f（x）=满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，那么实数a的取值范围是．参考答案：[，）【考点】分段函数的应用．【分析】由已知可得函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．【解答】解：∵对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，当x≥1时，y=logax单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥，综上可知，a的取值范围为[，）故答案为：[，）15.下列几个命题①方程的有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称；⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.其中正确的有__________________参考答案：略16.已知是奇函数，且，若，则________.参考答案：－3【分析】由已知可知，，然后结合（1），可求，然后代入即可求解．【详解】是奇函数，，，，，，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．17..如图，为了测量树木AB的高度，在C处测得树顶A的仰角为60°，在D处测得树顶A的仰角为30°，若米，则树高为______米.参考答案：【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）设，求的值。参考答案：解：原式=---------------------------4分

因为所以当时，原式==---------------6分当时，原式=--------8分所以原式----------------------------------------------------10分19.已知函数的定义域为R.（1）求a的取值范围.（2）若该函数的最小值为，解关于x的不等式.参考答案：(1)[0,1]；(2).试题分析：(1)原问题等价于ax2+2ax+1≥0恒成立,分类讨论：当a=0和a≠0两种情况可得a的取值范围是[0,1].(2)由题意结合(1)的结论可得当x=-1时,f(x)min=,则=,a=,据此可得不等式x2-x-a2-a<0的解集为(-,).试题解析：(1)∵函数f(x)=的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,分类讨论：当a=0时,1≥0恒成立.当a≠0时,要满足题意,则有，解得0<a≤1.综上可知,a的取值范围是[0,1].(2)f(x)==,由题意及(1)可知0<a≤1,∴当x=-1时,f(x)min=,由题意得,=,∴a=,∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0.解得-<x<,∴不等式的解集为(-,).点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．20.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到表2：时间代号t12345z01235

（1）求z关于t的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程，其中,.参考答案：（1）；（2）；（3）3.6千亿．【分析】（1）利用最小二乘法求出z关于t的线性回归方程；（2）通过，把z关于t的线性回归方程化成y关于x的回归方程；（3）利用回归方程代入求值。【详解】解：（1）由表中数据，计算（1+2+3+4+5）＝3，（0+1+2+3+5）＝2.2，tizi＝1×0+2×1+3×2+4×3+5×5＝45，12+22+32+42+52＝55，所以1.2，b2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，所以z关于t的线性回归方程为z＝1.2t﹣1.4；（2）把t＝x﹣2010，z＝y﹣5代入z＝1.2t﹣1.4中，得到：y﹣5＝1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y关于x的回归方程是y＝1.2x﹣2408.4；（3）由（2）知，计算x＝2010时，y＝1.2×2010﹣2408.4＝3.6，即预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达3.6千亿．【点睛】本题主要考查了非线性回归模型问题，采用适当的变量替换，把问题转化成线性回归问题，是求解非线性回归问题的主要手段。21.已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．参考答案：考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．解答：解：（1）因为x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．（2）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f（x）≥x对一切实数x恒成立，即ax2+（b﹣1）