第16届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。题号12345678910共得分答案1。等于A． B． C． D．观察到分母的每一项与分子的每一项都成的关系，所以结果为，选2．已知是不等式的一个解，如果是整数，那么的最大值是A．-1 B．0 C．1 D．-2将代入不等式中，得，即，为整数，所以的最大值为，选3．一个两位数的个位数和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有A．1个 B．3个 C．5个 D．6个设原来的两位数为，则，所以，又要求为质数，所以有三个，选4．有三组数；；，它们的平均数分别是，那么，，的平均数是A． B． C． D．

所以平均数为，选5．已知，则与1的大小关系是A． B． C． D．无法确定的，故选6．Giveninthe，arethreesidesofthetriangle，and，thenisA．acuteangle B.rightangle C.obtuseangle D.acuteangleorobtuseangle假设为最大边，则，，则，与题意不符。所以不为最大边，则一定不是钝角或直角，所以一定是锐角，选7．如图1，点是的边上一点，如果，，且，则是A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形如图，过做的垂线，垂足为，则

设,则，

利用勾股定理

所以

所以

三角形中，

所以为直角三角形8．已知，则的大小关系是A．B．C．D．特殊值法，令，，，分别代入得：，，

故选9．某人月初用元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加，即使他每月末都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么的值是A．9000 B．10000 C．11000 D．11100第一个月月末结余

第二个月月末结余

第三个月月末结余

即，所以，所以10．判断下列命题的真假：（）甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点的距离不大于．乙：在边长为1，一个内角为的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不大于．那么正确的结论是A．甲真乙真 B．甲真乙假 C．甲假乙真 D．甲假乙假甲命题，如图，取三角形三个顶点，和中心点，即可满足任意两点距离都大于，所以甲命题为假

乙命题，如图，先取菱形的四个顶点，以四个顶点为圆心，为半径作圆，则阴影部分的点到四个顶点的距离均大于，我们现在只要在阴影部分中找到两个点它们之间的距离大于即可，这样的两个点显然是可以找到的，所以乙命题也为假

故选二、A组填空题（每小题4分，共40分．含两个空的小题，每空2分．）11．计算：______________由等比公式，，12．分解因式：=_______________．原式

13．已知质数与满足，则=________________根据奇偶性分析知，、一奇一偶，而、都为质数，所以有一个是

若，则；若，则舍去

则14．如图2，将直径的半圆形纸片平放在桌面上，然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置，这时它扫过的面积为，则旋转的角度为_________________．如图，扫过的面积应该是一个半圆与一个扇形的面积和，设旋转的角度为

则，所以15．如图3，从一个边长为的正方形纸片中剪去一个宽为的长方形，再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为的正方形，若长方形与的面积比是，那么=_________________；正方形与正方形的面积比是____________．，

∴

∴

∴正方形与正方形的面积比是16．已知是整数，是方程的整数解，则=_______或__________．方程可化为，即，

又、、均为整数，所以或17．三种服装的进价分别是30元、40元、50元，售价分别是35元、元、60元，经核算，三种服装的总利润相同，且两种服装的销售量之和是服装销售量的4倍，则=__________；三种服装的销售量之比是___________．种服装每件利润为元，种服装每件利润为元，三种服装总利润相同，则种服装的销量是服装的倍，又两种服装的销售量之和是服装销售量的4倍，所以服装的销量也是服装的倍，所以服装每件利润也是元，所以

销量之比为18．已知，，且，则=__________或_____________．原方程可化为，又

所以，

所以

所以或19．已知一个两位整数的五次方是一个六位数，且最高位的数字与个位数字都是3，那么=________；中间的四个数字之和是_____________．个位为，所以，试数发现，所以，20．Infigure4，fivepointsarelocatedonaline.Whenthetendistancesbetweenpairsarelistedfromsmallesttolargest，thelistreads：2，4，5，7，8，，13，15，17，19．Thenthevalueofkis__________________．显然,

和分别是两端的一段

则

所以三、B组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）21．在公式（为常数）中，当时，，则的值为____________或______________．或，解得或，所以或22．已知方程（是常数，0）的解是或，那么方程（是常数，且）的解是_______________或______________．原方程可化为

所以或

所以或23．已知的某两个内角的比是4：7且，于，平分交于，则的大小是_______________或_________________．角度比为时，

角度比为时，24．已知正的面积是1，是平面上一点，并且、、的面积相等，那么满足条件的点共有______________个；的面积是_______________．内心与三个旁心，所以点共有个

当为内心时，面积为

当为旁心时，面积为25．某靶场有红、绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标数量的．若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得8．5分，小明打中了全部绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则靶场有红靶标______________个，打中的红靶标的个数为_____________．设有的红靶标，则有个绿靶标

则绿靶标的的得分为

总分与无关，则红靶标的得分应该恰好为

每个红靶标得分，所以击中了个红靶标

红靶标达不到绿靶标的，所以红靶标不到个

即，又为整数，所以

即有个红靶标，击中了个选择题1．D2．A3．B4．C5．C6．A7．B8．D9．D10．DA组填空题：11．9/4912．13．1214．15．1/3；4/916．-1；117．45；2：2：118．10；-1019．13；1920．12B组填空题：21．-3；-722．；23．；24．4；1或1/325．20；17评析：本套试题的总体难度较小，尤其是