河北省衡水市武强中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

武强中学20232024学年度下学期期中考试数学试卷高二出题人：郝敬先一、单选题（每小题5分）1．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（

）A．3600种 B．2400种 C．360种 D．240种2．现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（

）A． B． C． D．3．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（

）A． B． C． D．4．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（

）A．3 B．6 C．10 D．155．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的数字为，第二次正面向上的数字为，记事件“为偶数”，事件“”，则（

）A．B． C． D．6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123Pa若离散型随机变量，则（

）．A． B． C． D．7．若展开式的常数项等于，则（

）A． B． C．2 D．38．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（

）A．60 B．100 C．120 D．130二、多选题（每小题6分，部分选对得部分分）9．若随机变量，下列说法中正确的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差10．下列等式中，正确的是（

）A． B．C． D．11．在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（

）A．常数项是 B．各项系数和是64C．第4项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和是32三、填空题（每小题5分）12．若，则的值为.13．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为.14．甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．四、解答题15．（13分）设随机变量X的分布列为．(1)求常数a的值；(2)求和．16．（15分）已知.求：(1)；(2)；(3).17．（15分）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？18．（17分）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.19．（17分）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．(1)写出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．参考答案：1．A【分析】利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列.【详解】先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，共有种排法．故选：A.2．A【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可.【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故.而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，故选取方式有种，从而.故，A正确.故选：A.3．C【分析】计算，根据计算得到答案.【详解】随机变量服从参数为的两点分布，则，.故选：C4．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为.故选：B5．D【分析】分别列举出事件、事件、事件的基本事件个数，代入条件概率公式求解即可.【详解】由题意知，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有25个，则事件与事件同时发生的基本事件有，，，，，，，，，，，共11个，所以.故选：D.6．A【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.【详解】由分布列的性质可知：解得，由，等价于，由表可知；故选：A.7．C【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.【详解】解：展开式的通项公式为：，所以当时，项的系数为：，的展开式无常数项，所以展开式的常数项为：，解得：故选：C.【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.8．D【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，即指中取值为1或1的个数和为1或2或3，故满足条件的元素的个数为（个），故选：D9．AC【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.【详解】因为随机变量，则，，，由期望的性质可得，由方差的性质可得，AC对，BD错.故选：AC.10．BCD【分析】根据排列数公式和组合数公式验证．【详解】对于A，，，A错；对于B，，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，∴，D正确．故选：BCD．11．ACD【分析】写出展开式的通项公式，判断A，C项的正误，通过赋值，判断B，D两项正误.【详解】通项公式，令，可得，所以常数项为，所以A正确；令，已知各项系数和是，所以B错误；第4项二项式系数最大，所以C正确；奇数项二项式系数和为，所以D正确．故选：ACD．12．20【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案.【详解】，，即，，，故答案为：20.13．/【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，则由已知得，，所以由全概率公式得,故答案为：14．120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.故答案为：120.15．(1)(2)，【分析】（1）根据概率之和为1列出方程，求出a的值；（2）在（1）的基础上，求出和的值.【详解】（1）由题意得，解得.（2）由（1）知，，可得，16．(1)256(2)32896(3)65536【分析】（1）令即可得结果；（2）令，结合（1）中结果运算求解；（3）根据二项展开式分析可知：当为偶数时，；当为奇数时，；结合（2）中结果分析求解.【详解】（1）令，可得.（2）令，可得，则，所以.（3）因为的展开式的通项公式为，即，可知：当为偶数时，；当为奇数时，；所以.17．(1)540种；(2)65种.【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；所以总共有种不同的参赛方案．18．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案；（2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可.【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为，所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为.（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，成绩在内的人数为